初中數學典型“易錯題”的分析與思考

　　讓學生做題既對又快是每位數學教師的一個夢想，然而事實卻讓老師們深感遺憾：學生對某些數學題目做了又做，結果還是做錯了。如此拼命地解題，為什么教學效果還是不佳呢？究其原因，關鍵在于他們做錯的題大部分為數學中的“易錯題”。教師都知道解一道有代表性的題可以讓學生掌握解其他題的思路與方法，對學生來說，掌握一種方法比做一百道題更為重要。因此在范例教學中應讓學生解他們易錯的有效題，并教會學生分析解答錯誤的原因。我根據自身的教學實踐，對初中數學典型的“易錯題”，作些相應的分析與思考。
　　一、現狀分析，用“易錯題”作范例的必要性
　　在二次函數的單元測試中，有這樣一道填空題：在函數y=（2m-3m-2）x中，當m=?搖?搖 ?搖?搖時，y是x的二次函數。該題正確答案是m=3。批完試卷，我統計了一下，我所教的兩個班的96名學生，只有21名學生得分，得分率相當低。我有點納悶：本題在試卷中的位置是填空題第一題，難度應該不大，主要考查學生對二次函數概念和解一元二次方程這兩個知識點，而且初三學生對一元二次方程的解法應該是相當熟悉的。按理說，此題的得分率應該比較高，但怎么會事與愿違呢？為此我進一步作了統計，發現有60名學生都填了m=2、3兩個答案，另有10名學生方程解錯，5名學生不會做。
　　針對這種現狀，我在反思：課堂上對二次函數概念“形如y=ax+bx+c（其中a、b、c是常數，且a≠0）的函數叫做二次函數”已作了解釋，而且對a的取值也作了強調，可為什么有60名學生填了m=2、3這兩個答案？對他們的失分我有點遺憾，因為不能簡單地說他們沒有掌握知識，只能說他們對二次函數的概念掌握不嚴密，致使多了一個錯解。如果他們的思維再嚴密些，就不會犯這類錯。因此在試卷講評時，我對概念的運用又列舉了范例：如拋物線y=（m+3）x+m-9的圖像原點，則m=?搖?搖 ?搖?搖，并向學生強調，在待定函數中某個系數的值時，必須要考慮函數是否有意義。發覺在后一次的單元練習中，對于類似的習題，96名學生中，只有8個學生解答出錯，其余的學生均得分。
　　這種現象讓我感覺范例的選擇很重要。因為一道“易錯題”的出現，往往能衍生出很多細小問題，同時也能暴露學生更多錯誤。所以，在平時的教學實踐中，教師應該努力去觀察、去發現那些學生在分析與解決過程中，思路不清晰、思維不嚴密，容易顧此失彼、敘述不嚴謹的習題。選擇此類易錯習題為范例，使學生在開始解答的過程中容易犯點錯、留點缺憾，往往這樣暫時的錯誤與缺憾會給學生帶來永久的記憶。通過將學生的“易錯題”作范例分析，幫助學生透徹地分析出錯的原因，并抓住出錯的主要環節，幫助學生將缺失的知識補上。這樣學生就不會只滿足于把錯題改正過來，而是認真反思了出錯的根本原因，也防止再犯同一類型的解題錯誤，如此的過程為學生今后能更加完美地解題提供思路，能幫助學生養成良好的思考習慣。
　　二、實踐感知，學生求解“易錯題”出錯的原因分析
　　一個題目出錯的原因可以是多樣化的，因為不同的學生他們掌握知識的程度也有差別，但根據題目本身的特征，結合學生的特點，可以將學生的解題易錯大致歸納為下列四個方面。
　　（一）只重視解題，忽視概念理解。
　　可能受小學數學的影響，不少學生在學習數學時，只追求解題，以為只要會計算，會解題才是學數學的“真本領”。再則數學學科的概念很抽象，所以他們認為，這么枯燥無味的數學概念學與不學一個樣，沒有什么關系的。有了這種想法，致使他們在解題時往往容易出錯，因為他們不了解數學概念是解題的基礎，是數學推理的依據。如果沒有掌握概念而去解題，就如不拿鑰匙去開鎖一樣，只會胡搬亂套，結果導致錯誤百出。
　　例如：對“因式分解”這一概念理解，學生容易犯以下錯誤。
　　◆錯誤之一：只進行了部分分解，結果沒有化成積的形式。
　　例1-1：因式分解：a-2ab+b-1
　　錯解：原式=（a-b）-1
　　分析：錯解的根本是在只把原式的部分進行了分解成積的形式，沒有將原整式化成積的形式。
　　◆錯誤之二：分解結果不徹底，還有因式可以分解。
　　例1-2：因式分解：（x+2）-（2x+1）
　　錯解：原式=（x+2+2x+1）（x+2-2x-1）
　　=（x+2x+3）（x-2x+1）
　　分析：上面的第二個因式（x-2x+1）還可以因式分解為（x-1），致使分解不徹底。
　　◆錯誤之三：分解時因沒有看范圍而出錯。
　　例1-3：在實數范圍內因式分解：a-4
　　錯解：原式=（a+2）（a-2）
　　分析：因題目要求是在實數范圍內因式分解，因此對第二個因式還可以繼續再分解（a+）（a-）。
　　我認為，學生正確理解因式分解的概念是學好因式分解的前提，如果對以上的四個經典“易錯題”能掌握，那么在解因式分解的習題時就能舉一反三，融會貫通。
　　學生對概念的正確理解在解幾何習題中同樣非常重要，如判斷“不相交的兩條直線是平行線”這句話的真假時，學生也經常出錯，誤認為它是正確。因為他們對平行線的概念中必須有“在同一平面內”這個先決條件，而學生則經常會遺漏。因此我覺得，正確掌握數學的概念對學生解題有著非常重要的作用。
　　（二）只重視明顯條件，忽視隱含條件。
　　許多學生在解題時，只著眼于題設中已經給出的明顯條件，缺乏挖掘題目中所隱含條件的能力，特別對某些綜合性的數學問題，往往因考慮問題不嚴密，致使解答時不完整，因而出錯。
　　例如：在解關于二次方程、二次函數的有關習題中，學生經常會忽略考慮二次項系數不為零、根的判別式△≥0、頂點位置等這些隱含條件，致使解題時出錯。
　　例2-1：已知方程x-x-1=0有兩個不相等的實數根，求k的取值范圍.
　　錯解：因為原方程有兩個不相等的實數根，所以△＞0，即（）+4＞0，解得k＞-3.
　　分析：由于忽視隱含在題目中的條件k-1≥0，即k≥1，故出現錯解.
　　例2-2：已知二次函數y=2x-4x+1，求當0≤x≤5時，y的變化范圍.
　　錯解：當x=0時，y=2×0-4×0+1；當x=5時，y=2×5-4×5+1=31.
　　所以當0≤x≤5時，1≤y≤31.
　　分析：錯解的原因是對二次函數的性質缺乏了實質性的理解，忽視了拋物線頂點的位置.事實上，在拋物線對稱軸的x=1左側，y隨著x的增大而減小，于是當0≤x≤1時，y的范圍是：-1≤