集合與命題應用性問題

　　問題一：征婚者的推論
　　數學家斯摩林根據莎士比亞的名句《威尼斯商人》中的情景編了一道題：女主角鮑西亞對求婚者說：“這里有三只盒子：金盒、銀盒和鉛盒，每只盒子的銘牌上各寫有一句話。三句話中只有一句話是真話。誰能猜中我的肖像放在哪一只盒子里，誰就能成為我的丈夫。”如下圖：
　　問題解決策略：從問題中的一些關聯條件出發，輔之以表格或圖形，通過分析，找出解題的突破口與關鍵。再應用形式邏輯的一般規律等數學知識，以及生活中的常識，作出推理、判斷，使問題獲解。
　　解：金盒和鉛盒上的銘牌意思是截然相反的兩句話，依據形式邏輯中的排中律：這兩句話一句真一句假，必居其一。又因為三句話中只有一句真話，所以銀盒中銘牌中的話是假的。即可斷定鮑西亞的肖像在銀盒子中。
　　應用實踐：邏輯推理常出現在國內外不同層次的數學競賽中。如下題：
　　【例1】一位婦女，她和兄弟、兒子、女兒都是棋手，最差的棋手的孿生者和最好的棋手是異性，最差的棋手與最好的棋手同齡，誰是最差的棋手？
　　略解：婦、弟、兒、女的年齡有以下幾種可能：
　　婦弟孿生，兒女孿生，弟兒同齡，弟女同齡。從最壞棋手出發作推斷：
　　（1）婦（差）弟（孿生者）女（好）婦、女同齡（矛盾）
　　（2）弟（差）婦（孿生者）兒（好）弟、兒同齡（即婦兒同齡矛盾）
　　（3）女（差）兒（孿生者）婦（好）婦、女同齡（矛盾）
　　（4）兒（差）女（孿生者）弟（好）弟、兒同齡（符合題意）
　　所以，該婦女的兒子是最差的棋手。
　　問題二：誰在說謊
　　一個國家的居民不是騎士就是無賴，騎士不說謊，無賴永遠說謊。我們遇到該國居名A、B、C。A說：“如果C是騎士，那么B是無賴。”C說：“A和我不同，一個是騎士，一個是無賴。”這三人中誰是騎士，誰是無賴？
　　問題解決策略：從題設條件出發，通過分析，找出解題的突破口：一個人說的話非真即假，并輔之以反證法，對各種情形逐一推理、判斷，使問題獲解。
　　解：若A是騎士：①當C是騎士時，即C說的話應當是真話，C和A應當不同，故矛盾。②當C時無賴時，C說的是謊話，即C和A應當相同，矛盾。則A一定是無賴，他說的話是謊話。所以C與B都是騎士。
　　應用實踐：【例2】四個孩子在后院玩球，突然玻璃碎了。
　　寶寶說：“是可可打破的。”
　　可可說：“不是我，是毛毛打破的。”
　　多多說：“我沒有打破窗。”
　　毛毛說：“可可說謊。”
　　只有一個小孩說實話，他是誰？是誰打破窗戶呢？
　　略解：若毛毛說實話寶寶、可可、多多都說謊話窗不是可可、毛毛打破的，是多多打破的不產生矛盾。因此毛毛說實話，窗是多多打破的。
　　問題三：計數中的學問
　　準備知識：
　　①集合A中的元素個數記為card（A）
　　②容斥原理：card（A∪B）=card（A）+card（B）-card（A∩B）
　　card（A∪B∪C）=card（A）+card（B）+card（C）-card（A∩B）-card（A∩C）-card（C∩B）+card（A∩B∩C）
　　在100個學生中，有籃球愛好者63人，足球愛好者75人，求對籃球、足球都愛好的人數的最小值和最大值。
　　問題解決策略：依據題設條件，設定集合，借助于有限集合的元素個數的容斥原理、集合的圖示法使問題獲解。
　　解：設I={全體同學}，A={愛好籃球的學生}，B={愛好足球的學生}，則
　　card（I）=100，card（A）=63，card（B）=75.
　　由card（I）=card（A）+card（B）-card（A∩B）+card（C（A∪B））
　　得card（AIB）=card（A）+card（B）-card（I）+card（C（A∪B））≥card（A）+card（B）-card（I）
　　63+75-100=38（人）
　　又card（A∩B）≤min{card（A），card（B）}=63（人）
　　所以對足球、籃球都愛好的人數最小值為38人，最大值為63人。
　　應用實踐：【例3】有830人接受A、B、C三門課程的審定試驗。A、B、C三門課程全部及格的是83人，B與C課程及格的是131人，A與B課程及格而C不及格的是92人，三門課程中至少有兩門課程及格的是172人，A課程及格的是378人，B課程及格的是79人，515人僅及格一門課程，試問A、B、C三門課程都不及格的有幾人？
　　解：我們采用韋恩圖法來解決該問題
　　如左圖，設A、B、C三門課程及格的學生集合分別為A、B、C，則圖中各集合元素的個數分別為g=card（A∩B∩C）=83，因card（B∩C）=131，所以e=48，d=92.
　　f=172-（92+83+48）=32，b=378-（32+83+92）=171，
　　a=479-（92+83+48）=256，c=515-（171+256）=88.
　　因此A、B、C三門均不及格的人數為832-（a+b+c+d+e+f+g）=62（人）。
　　問題四：統計結果的推斷
　　某校高三年級共249人，畢業考試優秀的學生人數及及格科目如下表：
　　解：如上圖，集合A、B、C分別表示語數外各科優秀者全體。a，b，c，d，e，f，g分別表示個集合元素的個數。于是單科、兩科、三科成績優秀的學生總數為a+b+c+d+e+f+g=（a+e+d+g）+（b+d+f+g）+（c+f+e+g）-（d+g）-（e+g）-（f+g）+g=131+117+152-61-62-79+53=251.
　　僅這幾類學生數就已超過249人，這是不可能的，因此統計有誤。
　　高中數學學習對很大一部分同學來說是比較枯燥的，很多學生覺得學習數學沒什么用，我們可以在每一章節中給學生幾道生活與所學內容結合的題目。實際上這就是簡單的建模。這也是為部分學生進入大學以后參加建模比賽作個鋪墊，同時也是我們高中數學教師的職責所在。