關(guān)于指對(duì)冪函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用

　　指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)是三類重要的基本初等函數(shù)，其性質(zhì)經(jīng)常用于比較大小，解不等式或方程，以及函數(shù)綜合問題中，下面舉例說明。
　　一、比較大小
　　例1：已知a=2.1，b=2.3，c=2.1，試比較a、b、c的大小.
　　分析：比較冪的值的大小，主要依據(jù)是指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的單調(diào)性。當(dāng)?shù)讛?shù)相同而指數(shù)不同時(shí)，考慮利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性；當(dāng)?shù)讛?shù)不同且指數(shù)相同時(shí)，考慮利用冪函數(shù)的單調(diào)性；當(dāng)?shù)讛?shù)、指數(shù)均不同時(shí)，可考慮用冪函數(shù)過渡到指數(shù)函數(shù)，即尋找到合適的中間值后，再比較大小。
　　解：因?yàn)閮绾瘮?shù)y=x在（0，+∞）上是增函數(shù)，所以a=2.1＜2.3；因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)y=2.3在R上是增函數(shù)，所以2.3＜2.3=b；因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)y=2.1在R上是增函數(shù)，所以c=2.1＜2.1=a.綜上，c＜a＜b.
　　變式1：已知a=0.4，b=2.5，c=0.4，則a、b、c的大小關(guān)系為?搖?搖?搖?搖?搖?搖.
　　解：因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)y=0.4在R上是減函數(shù)，所以a=0.4＞0.4=c＞0.4=1，而因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)y=2.5在R上是增函數(shù)，所以b=2.5＜2.5=1.綜上，b＜c＜a.
　　說明：本題中比較大小，都可以看作指數(shù)函數(shù)來考察，而b、c底數(shù)不同且指數(shù)也不同，這里是通過和中間值1比較大小，這個(gè)中間值根據(jù)題目需要而定，但通常都是和0或1比較。
　　二、解方程和不等式
　　例2：若A={x|3≤3＜27，x∈Z}，B={x||logx|＞1，x∈R}，則A∩（CB）的元素個(gè)數(shù)為?搖?搖?搖?搖?搖?搖.
　　分析：首先要利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性確定集合，在進(jìn)行集合的運(yùn)算，要注意對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0。
　　解：由3≤3＜27，得到1≤3-x＜3，即0＜x≤2，所以A={1，2}.由|logx|＞1，得到logx＜-1或logx＞1，即0＜x＜或x＞2，所以B={x|0＜x＜或x＞2}，所以CB={x|≤x≤2或x≤0}，所以A∩（CB）={1，2}.故A∩（CB）的元素個(gè)數(shù)為2.
　　變式2：函數(shù)y=的定義域?yàn)?搖?搖?搖 ?搖?搖?搖?搖?搖.
　　分析：求定義域通常都是使表達(dá)式本身有意義，即本題是保證根號(hào)里的數(shù)大于等于零，同時(shí)還要保證對(duì)數(shù)式里德真數(shù)大于零即可。
　　解：由題意得到log（3-3）-1≥03-3＞0，解不等式組得x≥log6，即函數(shù)y=的定義域?yàn)椋踠og6，+∞）.
　　三、綜合問題
　　例3：已知函數(shù)f（x）=log（a-1）（a＞0，a≠1），求函數(shù)f（x）的定義域，并討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性（需利用定義進(jìn)行證明）。
　　分析：先利用對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0，求出函數(shù)的定義域，然后結(jié)合定義域分析單調(diào)性，并嚴(yán)格按照單調(diào)性的定義進(jìn)行證明。要注意對(duì)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)的范圍進(jìn)行討論。
　　解：要使函數(shù)有意義，則a-1＞0，則a＞a.
　　（1）當(dāng)a＞1時(shí)，可有a＞a，解得x＞0，即函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞）.這時(shí)，
　　f（x）=log（a-1）在（0，+∞）上是增函數(shù)，下面進(jìn)行證明.
　　設(shè)0＜a＜1，則
　　f（x）-f（x）=log（a-1）-log（a-1）
　　=log=log（1+）
　　因?yàn)?＜x＜x，a＞1，所以a＞a＞1，則a-1＞0，a-a＞0，
　　即＞0，1+＞1，故log（1+）＞0，從而f（x）＞f（x）.
　　所以f（x）=log（a-1）在（0，+∞）上是增函數(shù)。
　　（2）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，同理可得，函數(shù)f（x）=log（a-1）的定義域?yàn)椋?∞，0），且在（-∞，0）上是增函數(shù)。
　　變式3：已知函數(shù)f（x）=a+log（x+2）在［0，1］上的最大值與最小值之和為a，則實(shí)數(shù)a的值為?搖?搖?搖 ?搖?搖?搖.
　　分析：本題主要是利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性來解決的，因?yàn)閔（x）=a和g（x）=log（x+2）在定義域上都是單調(diào)增函數(shù)，所以f（x）=a+log（x+2）也是單調(diào)增函數(shù)，利用單調(diào)性很容易求出參數(shù)a的值。
　　解：由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)f（x）=a+log（x+2）在［0，1］上是單調(diào)增函數(shù)，所以有f（0）+f（1）=a，即a+log（0+2）+a+log（1+2）=a，解得a=.
　　變式4：已知函數(shù)f（x）=lg（3-b）（b為常數(shù)），若x∈［1，+∞）時(shí)，f（x）≥0恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.
　　解：由lg（3-b）≥0得到3-b≥1，所以x∈［1，+∞）時(shí)，f（x）≥0恒成立，即當(dāng)x∈［1，+∞），3-b≥1恒成立，即當(dāng)x∈［1，+∞），b≤3-1恒成立.令g（x）=3-1，則b≤g（x），x∈［1，+∞），而當(dāng)x∈［1，+∞），g（x）=2，所以b≤2.即b的取值范圍為（-∞，2］.
　　四、典型易錯(cuò)問題
　　例：求函數(shù)y=log（3+2x-x）的單調(diào)區(qū)間.
　　錯(cuò)解1：設(shè)μ=3+2x-x，則μ在（-∞，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減；又y=logμ在定義域上單調(diào)遞減，根據(jù)同增異減得原則，函數(shù)y=log（3+2x-x）在（-∞，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增。
　　錯(cuò)解2：設(shè)μ=3+2x-x，則由μ＞0，得-1＜x＜3.則μ=3+2x-x在（-1，1］上單調(diào)遞增，在（1，3）上單調(diào)遞減，∴y=log（3+2x-x）在（-1，1］上單調(diào)遞增，在（1，3）上單調(diào)遞減。
　　錯(cuò)解分析：錯(cuò)解1忽視了函數(shù)y=log（3+2x-x）本身的定義域，導(dǎo)致錯(cuò)誤；錯(cuò)解2忽視了在求解復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及值域問題時(shí)，應(yīng)從內(nèi)層函數(shù)μ=3+2x-x與外層函數(shù)y=logμ兩方面結(jié)合來考慮。
　　正解：先求函數(shù)的定義域，由3+2x-x＞0，解得函數(shù)y=log（3+2x-x）的定義域是{x|-1＜x＜3}.設(shè)μ=3+2x-x（-1＜x＜3），又設(shè)-1＜x＜x≤1，則μ＜μ，從而logμ＞logμ，即y＞y，∴函數(shù)y=log（3+2x-x）在區(qū)間（-1，1］上單調(diào)遞減。同理可得，函數(shù)在區(qū)間（1，3）上單調(diào)遞增。