關于指對冪函數的性質應用

　　指數函數、對數函數、冪函數是三類重要的基本初等函數，其性質經常用于比較大小，解不等式或方程，以及函數綜合問題中，下面舉例說明。
　　一、比較大小
　　例1：已知a=2.1，b=2.3，c=2.1，試比較a、b、c的大小.
　　分析：比較冪的值的大小，主要依據是指數函數和冪函數的單調性。當底數相同而指數不同時，考慮利用指數函數的單調性；當底數不同且指數相同時，考慮利用冪函數的單調性；當底數、指數均不同時，可考慮用冪函數過渡到指數函數，即尋找到合適的中間值后，再比較大小。
　　解：因為冪函數y=x在（0，+∞）上是增函數，所以a=2.1＜2.3；因為指數函數y=2.3在R上是增函數，所以2.3＜2.3=b；因為指數函數y=2.1在R上是增函數，所以c=2.1＜2.1=a.綜上，c＜a＜b.
　　變式1：已知a=0.4，b=2.5，c=0.4，則a、b、c的大小關系為?搖?搖?搖?搖?搖?搖.
　　解：因為指數函數y=0.4在R上是減函數，所以a=0.4＞0.4=c＞0.4=1，而因為指數函數y=2.5在R上是增函數，所以b=2.5＜2.5=1.綜上，b＜c＜a.
　　說明：本題中比較大小，都可以看作指數函數來考察，而b、c底數不同且指數也不同，這里是通過和中間值1比較大小，這個中間值根據題目需要而定，但通常都是和0或1比較。
　　二、解方程和不等式
　　例2：若A={x|3≤3＜27，x∈Z}，B={x||logx|＞1，x∈R}，則A∩（CB）的元素個數為?搖?搖?搖?搖?搖?搖.
　　分析：首先要利用指數函數、對數函數的單調性確定集合，在進行集合的運算，要注意對數的真數大于0。
　　解：由3≤3＜27，得到1≤3-x＜3，即0＜x≤2，所以A={1，2}.由|logx|＞1，得到logx＜-1或logx＞1，即0＜x＜或x＞2，所以B={x|0＜x＜或x＞2}，所以CB={x|≤x≤2或x≤0}，所以A∩（CB）={1，2}.故A∩（CB）的元素個數為2.
　　變式2：函數y=的定義域為?搖?搖?搖 ?搖?搖?搖?搖?搖.
　　分析：求定義域通常都是使表達式本身有意義，即本題是保證根號里的數大于等于零，同時還要保證對數式里德真數大于零即可。
　　解：由題意得到log（3-3）-1≥03-3＞0，解不等式組得x≥log6，即函數y=的定義域為［log6，+∞）.
　　三、綜合問題
　　例3：已知函數f（x）=log（a-1）（a＞0，a≠1），求函數f（x）的定義域，并討論函數f（x）的單調性（需利用定義進行證明）。
　　分析：先利用對數的真數大于0，求出函數的定義域，然后結合定義域分析單調性，并嚴格按照單調性的定義進行證明。要注意對指數函數和對數函數的底數的范圍進行討論。
　　解：要使函數有意義，則a-1＞0，則a＞a.
　　（1）當a＞1時，可有a＞a，解得x＞0，即函數的定義域為（0，+∞）.這時，
　　f（x）=log（a-1）在（0，+∞）上是增函數，下面進行證明.
　　設0＜a＜1，則
　　f（x）-f（x）=log（a-1）-log（a-1）
　　=log=log（1+）
　　因為0＜x＜x，a＞1，所以a＞a＞1，則a-1＞0，a-a＞0，
　　即＞0，1+＞1，故log（1+）＞0，從而f（x）＞f（x）.
　　所以f（x）=log（a-1）在（0，+∞）上是增函數。
　?。?）當0＜a＜1時，同理可得，函數f（x）=log（a-1）的定義域為（-∞，0），且在（-∞，0）上是增函數。
　　變式3：已知函數f（x）=a+log（x+2）在［0，1］上的最大值與最小值之和為a，則實數a的值為?搖?搖?搖 ?搖?搖?搖.
　　分析：本題主要是利用復合函數的單調性來解決的，因為h（x）=a和g（x）=log（x+2）在定義域上都是單調增函數，所以f（x）=a+log（x+2）也是單調增函數，利用單調性很容易求出參數a的值。
　　解：由復合函數的單調性可知，函數f（x）=a+log（x+2）在［0，1］上是單調增函數，所以有f（0）+f（1）=a，即a+log（0+2）+a+log（1+2）=a，解得a=.
　　變式4：已知函數f（x）=lg（3-b）（b為常數），若x∈［1，+∞）時，f（x）≥0恒成立，求實數b的取值范圍.
　　解：由lg（3-b）≥0得到3-b≥1，所以x∈［1，+∞）時，f（x）≥0恒成立，即當x∈［1，+∞），3-b≥1恒成立，即當x∈［1，+∞），b≤3-1恒成立.令g（x）=3-1，則b≤g（x），x∈［1，+∞），而當x∈［1，+∞），g（x）=2，所以b≤2.即b的取值范圍為（-∞，2］.
　　四、典型易錯問題
　　例：求函數y=log（3+2x-x）的單調區間.
　　錯解1：設μ=3+2x-x，則μ在（-∞，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減；又y=logμ在定義域上單調遞減，根據同增異減得原則，函數y=log（3+2x-x）在（-∞，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增。
　　錯解2：設μ=3+2x-x，則由μ＞0，得-1＜x＜3.則μ=3+2x-x在（-1，1］上單調遞增，在（1，3）上單調遞減，∴y=log（3+2x-x）在（-1，1］上單調遞增，在（1，3）上單調遞減。
　　錯解分析：錯解1忽視了函數y=log（3+2x-x）本身的定義域，導致錯誤；錯解2忽視了在求解復合函數的單調區間及值域問題時，應從內層函數μ=3+2x-x與外層函數y=logμ兩方面結合來考慮。
　　正解：先求函數的定義域，由3+2x-x＞0，解得函數y=log（3+2x-x）的定義域是{x|-1＜x＜3}.設μ=3+2x-x（-1＜x＜3），又設-1＜x＜x≤1，則μ＜μ，從而logμ＞logμ，即y＞y，∴函數y=log（3+2x-x）在區間（-1，1］上單調遞減。同理可得，函數在區間（1，3）上單調遞增。