例析直線上動點與兩定點的距離和的最值問題

　　在公路的兩側，有兩個村莊A、B，現在要在公路上修建一個加油站，問：怎樣建，才能使加油站到兩個村莊的距離和最短？
　　這是一道比較容易解決的問題，只要連接AB，則AB與l的交點就是加油站，因為兩點之間線段最短。
　　如果在公路l的同側，有兩個村莊A、B，那么這個問題又該怎樣解決呢？
　　如圖2，作A關于l的對稱點A′，連接A′B與l的交點P就是加油站了，為什么呢？
　　在l上任取一點P′，連P′A、P′A′、P′B，由三角形兩邊之和大于第三邊可知：P′A+P′B=P′A′+P′B＞A′B。
　　這就是運用軸對稱變換找到的一種最巧妙的解題方法。近年來，許多省市中考試題中都出現了以此題為背景的試題，所考查的深度和廣度也在不斷演變、拓展，又常與其他的數學知識相聯系，數形結合，突出了數學的思維價值和應用能力，能夠有效體現學生的數學學習能力。本文從近幾年中考試題中選取與此相關的試題來分類說明，以供廣大讀者參考。
　　1.演變成與菱形有關的試題
　　例1：（2008廣東）菱形ABCD中，∠BAD=60°，點M是AB的中點，點P是對角線AC上一個動點，若PM+PB得最小值是3，則AB長為.
　　解：如圖3，因為四邊形ABCD是菱形，所以點B關于直線AC的對稱點是點D.連DM，則線段DM的長就是PM+PB的最小值.
　　∵∠BAD=60°
　　∴△ABD是等邊三角形
　　∵M是AB的中點
　　∴DM⊥AB∴AD==2=AB
　　2.演變成與正方形有關的試題
　　例2：（2009撫順）如圖4，正方形ABCD的面積為12，△ABE是等邊三角形，點E在正方形ABCD內，在對角線AC上有一點P，使PD+PE的和最小，則這個最小值為（）.
　　A.2B.2C.3D.
　　解：正方形ABCD是軸對稱圖形，AC是對稱軸，D關于AC的對稱點位B。所以連接BE與AC交于點P，這時PB+PE最小，即正方形ABCD的邊長為2.所以選A.
　　3.演變成與圓有關的試題
　　例3：（2009龍巖）如圖5，AB、CD是半徑為5的⊙O的兩條弦，AB=8，CD=6，MN是直徑.AB⊥MN于點E，CD⊥MN于點F。P為EF上的任意一點，則PA+PC的最小值為.
　　解：∵A關于MN的對稱點為B
　　∴連接BC與MN交于點P，這時PA+PC最小
　　易知：EO==3，FO=
　　∴EF=3+4=7
　　過C作CG⊥AB于點G，如圖6，則CG=EF=7
　　AG=4-3=1
　　∴BG=8-1=7
　　∴BC=BP+PC=PA+PC=7
　　∴PA+PC的最小值為7
　　4.演變成與三角形有關的試題
　　例4：（2009陜西）如圖7，在銳角△ABC中，AB=4，∠BAC=45°∠BAC的平分線交BC于點D，M、N分別是AD和AB上的動點。則BM+MN的最小值為.
　　解：（如圖8）過B作BG⊥AC于G，交AD于M.過M作MN⊥AB于N
　　則MN+MB=MG+MB是最短值
　　∴BM+MN最小值等于4
　　5.演變成與直角坐標系有關的試題
　　例5：（2009孝感）在平面直角坐標系中，有A（3，-2），B（4，2）兩點。現另取一點C（1，n），當n= 時，AC+BC的值最小.
　　解：如圖9，找出A點關于直線x=1的對稱點A′（-1，-2），則經過B、A′的直線解析式為y=x-.
　　當x=1時，n=-.
　　6.演變成與二次函數有關的試題
　　例6：（2009烏魯木齊）如圖10，在矩形OABC中，點A、C的坐標分別為（4，0），（0，2）.D為OA中點，設點P是∠AOC的平分線上的一個動點.（不與點O重合）
　　（1）求證：無論點P運動到何處，PC=PD.
　　（2）當點P運動到與點B距離最小時，求過O、P、D三點的拋物線的解析式。
　　（3）設點E是（2）中所確定的拋物線的頂點，當點P運動到何處時，△PDE的周長最小？求出此時點P的坐標和△PDE的周長。
　　解：（1）證明：易知△POC≌△POD，得PC=PD.
　　（2）過點B作∠AOC的平分線的垂線.
　　垂足為P，點P即為所求（如圖10）.
　　易得此時P點坐標為（2，3）.二次函數解析式為y=x-2x.
　　（3）如圖11，找到D關于角平分線的對稱點C，連EC與∠AOC的平分線的交點即為所求的點P.
　　∵PE+PD=CE
　　∵E（1，-1），C（0，2）
　　∴CE所在直線的解析式為y=-3x+2
　　由y=-3x+2y=x解得x=y=
　　∴P點坐標（，）
　　7.演變成綜合型試題
　　例7：（2009舟山）如圖12，已知點A（-4，8）和點B（2，）在拋物線y=ax上.
　　（1）求的值及點B關于軸對稱點P的坐標.
　　（2）平移拋物線，經平移后點A的對應點為A′，點B的對應點為B′，點C（-2，0）和點D（-4，0）是軸上的兩個定點.
　　①當拋物線向左平移到某個位置時，A′C+CB′最短，求此時拋物線的函數解析式.
　　②當拋物線向左或向右平移時，是否存在某個位置，使四邊形A′B′CD的周長最短？若存在，求出此時拋物線的函數解析式；若不存在，請說明理由.
　　解：（1）將點A（-4，8）的坐標代入y=ax，解得a=.將點B（2，n）的坐標代入y=x，解得B坐標為（2，2），
　　則B點關于軸對稱點P的坐標為（2，-2），
　　直線AP的解析式是y=-x+，
　　令y=0，得x=.
　　∴Q點坐標是（，0）
　　（2）①解法1：CQ=|-2-|=
　　故將拋物線y=x向左平移個單位時A′C+CB′最短，此時拋物線的函數解析式為y=（x+）.
　　解法2：如圖13，設將拋物線y=x向左平移個單位，則平移后A′，B′的坐標為A′（-4-m，8）和B′（2-m，2），點A′關于軸對稱點的坐標為A″（-4-m，-8）.直線A″B′的解析式為y=x+m-.要使A′C+CB′最短，點C應在直線A″B′上.將C（-2，0）代入直線A″B′的解析式，解得M=.
　　故將拋物線y=x向左平移個單位時A′C+CB′最短，此時拋物線的函數解析式為y=（x+）.
　　②（如圖14）左右平移拋物線y=x，因為線段A′B′和CD的長是定值，所以要使四邊形A′B′CD的周長最短，只要使A′D+CB′最短.
　　第一種情況：如果將拋物線向右平移，顯然有A′D+CB′＞AD+CB.
　　因此不存在某個位置，使四邊形A′B′CD的周長最短.
　　第二種情況：設將拋物線向左平移了b個單位.
　　則點A′和點B′的坐標分別為A′（-4-b，8）和B′（2-b，2）
　　∵CD=2，因此將點B′向左平移2個單位得B″（-b，2）
　　要使A′D+CB′最短，只要使A′D+DB″最短
　　直線A″B″的解析式為y=x+b+2
　　要使A′D+DB″最短，點D應在直線A″B″上，將點D（-4，0）代入直線A″B″的解析式，解得b=.
　　故將拋物線向左平移時，存在某個位置，使四邊形的周長最短，此時拋物線的函數解析式為y=（x+）.
　　綜上所述，解決動點與兩定點的距離和的最值問題，要數形結合，往往先用“對稱”的方法轉化為兩點之間的距離問題。利用兩點之間線段最短，找出相應的位置及最值。此類問題較為自然地考查了正方形、梯形、圓、坐標及函數的相關知識，同時也考查了化歸思想、分類討論思想，較好地落實了新課標對應用能力的要求。
　　
　　參考文獻：
　　［1］王柏校.中學數學，2010，4.
　　［2］天利38套，2009.