開展建模學

　　摘 要： 學生對應用問題建模的過程就是要求學生靈活應用所學到的數學知識，以及有關的數學思想和方法解決實際問題的過程。本文提出中職數學教學開展建模活動的實施構想，并且結合具體實例探討了開展數學建模學習，培養中職學生數學應用能力的措施。
　　關鍵詞： 中職數學教學 建模學習 實施構想 具體實踐 應用能力
　　
　　一、問題的提出
　　對于中職學生而言，學習數學的主要目的是利用所學的數學知識去解決生產和生活中所遇到的問題，而應用的關鍵是數學應用能力的培養。現行的中職數學課程多是“掐頭去尾燒中段”，也就是說數學主要著眼于內部的理論結構和它們之間的邏輯關系，著重訓練學生的邏輯思維能力，而沒有著重討論和訓練如何從實際問題中提煉出數學問題，到頭來還是不會解決實際問題。沒有充分的有意識的訓練，學生的應用意識是不會形成和提高的。數學建模是運用數學思想、方法和知識解決實際問題的過程，也是連接應用問題與發展學生數學應用意識的紐帶。如果學生能將與所學數學知識相關的實際問題自覺模型化，就說明學生的數學應用意識和應用能力很強了。根據長期的教學實踐，我認為開展數學建模學習能夠有效培養中職學生的數學應用能力。
　　二、中職數學教學開展建模活動的實施構想
　　第一階段（一年級實施）：結合教材，以應用題為突破口，培養學生運用數學建模方法的意識，以簡單建模為主要目標。例如：暑假考慮全家外出旅游，找兩家旅行社聯系，甲社的收費標準為：家長一人購全票，其余成員全部可購半票；乙社的收費標準為：家庭旅行按團體票優惠，照標價的三分之二計算。已知旅行社的原價是一樣的，試就家庭成員的多少分析哪家旅行社更實惠。本題解法其實很簡單，只不過要將現實世界的問題經簡化轉換成現實模型，然后翻譯成數學模型，再采用數學方法和計算工具求解模型，接著將此解翻譯成實際問題的解，最后分析此解是否符合實際，是否需要修改、深化、拓展等。經過這樣一段時間訓練之后，學生的建模能力將逐漸提高，同時運用數學知識解決實際問題的興趣也會逐漸提高，享受到數學學習的樂趣，增強學好數學建模的信心。但要注意的是由于剛開始接觸這一新的思想方法，因此選取的例子要貼近教材內容，要考慮到中職生的數學基礎，貼近學生的認知水平，貼近學生的生活實際，涉及的專業知識不能太多，且要易于理解。此階段的重點是站在提高學生素質的高度，把滲透數學建模的意識作為首要任務，并注重培養學生的閱讀理解能力和數學語言的轉換能力。同時，此階段師生共同討論，分析尋找等量關系或函數關系，將實際問題數學化，本階段主要是落實簡單建模的教學目標。
　　第二階段（二年級實施）：安排與教材內容有關的典型案例，落實典型案例教學目標，讓學生初步掌握建模的常用方法。到了中職二年級階段，學生所學知識逐漸增多，教師應結合教材內容精心挑選典型案例，有計劃地讓學生參與建模過程。例如：某零售商店對甲商品的需求量為每天一個單位，而前置時間（訂貨至到貨的時間）是兩天。如果甲商品成本為每單位500元，存貨1單位每年的存貯費為成本的20%，每次訂貨所付訂貨費為20元。（1）決策S：每2天訂貨一次，每次訂貨2個單位；決策：S每20天訂貨一次，每次訂貨20個單位。試比較哪種決策為優?（2）能否找出更好的訂貨決策?在解決這類決策問題時可適宜介紹數學建模方法，以激發學生進一步學好數學的熱情，拓寬學生視野，接觸更多的社會知識和科學知識。此階段主要落實典型案例教學目標。為此，教師應該改變傳統教學方式，精心指導學生自己獨立完成，然后由學生匯報并寫報告，使他們能對經過提煉加工、忽略了次要因素保留下來的諸因素之間的數量關系比較清楚的實際問題，構建其數學模型。
　　第三階段（三年級實施）：由于中職三年級不再開設數學課，在此階段數學建模的學習主要以講座和專題活動的形式開展。此階段重點培養學生的對各種能力的綜合應用，它涉及文字理解能力，對實際的熟悉程度，對相關知識的掌握程度，良好的心理素質，創新精神和創造能力，以及觀察、分析、綜合、比較、概括等各種科學思維方法的綜合應用。為此，師生應組成“共同體”，在活動時結合中職生的實際情況，以建模為核心，在老師的點撥指導下，以小組為單位開展建模活動，同時為提高學生獨立工作和相互合作的能力，小組成員最好是優、良、中、差均衡搭配，并輪流擔任組長負責召集、記錄和寫報告，然后師生共同討論評定并總結，教師重點在科學的思維方法上給予點撥和總結。此時，有關課題可由教師提供，亦可由學生提供，并可讓學生去實踐，增強應用意識和經濟觀念，增長生活、生產知識，提高學生的應用能力和創新能力，為今后的工作和就業做好準備。比如下文具體舉例闡述的投資方案選擇研究課題。
　　三、開展建模學習的具體實踐
　　數學應用和建模應與平時的數學教學有機結合，把應用和數學課內知識的學習更好地結合起來。這樣的結合可以向兩個方向發展，一是向“源”的方向展開，即教師應特別注意向學生介紹知識產生、發展的背景；二是向“流”的方向深入，即教師要引導學生了解知識的功能，以及在實際生活中的應用，了解數學應用、數學建模與學生現實所學知識的切入點，引導學生在學中用，在用中學。在每學完一單元有關數學知識后，應安排該單元知識的應用專題，重點是滲透數學建模思想，提高學生的創新意識和化歸等能力。根據大綱要求和現行教材內容，主要有：函數的應用，等差數列和等比數列的應用，不等式的應用，線性規劃的應用，排列與組合和概率統計應用，導數的應用，等等。此外，結合時代發展的特點，涉及現代生活的經濟統計圖表（識別、分析、繪制），矩陣對策，股票、彩票發行模型，風險決策，市場預測，存貯原理，供求模型，就業與失業，廣告與稅款，等等，亦可以專題講座等形式向學生作介紹，以適應時代發展的要求。在此基礎上，應對上述內容結合專業需要，對其建模的主要類型進行化歸，以適應教學的需要，減輕學生負擔。
　　比如建立或化歸為函數模型，可以選擇現實生活中普遍存在著最優化問題——最佳投資、最小成本等，歸結為函數的最值問題，通過建立相應的目標函數，確定變量的限制條件，運用函數知識和方法解決。
　　例如，我對財會專業三年級學生提出投資方案選擇研究課題：假設你有一筆資金用于投資，現有三種投資方案供你選擇，這三種方案的回報如下：方案一：每天回報40元；方案二：第一天回報10元，以后每天比前一天多回報10元；方案三：第一天回報0.4元，以后每天的回報比前一天翻一番。請問：你會選擇哪種投資方案？
　　1.分析問題，激發思考。
　　學生已經在初中學過一次函數、二次函數，在前面兩年又學習了指數函數、對數函數及冪函數，對函數的知識已有一定的認識。雖然在前面已初步了解了指數函數、對數函數及冪函數的概念及其基本性質，本課題的內容只是對這些知識進行實際應用。但是在解決實際問題時，學生經常會面臨著如何選擇恰當的函數模型來刻畫一個實際問題，這對學生來說不是輕易能做到的。多數學生選擇方案三，我反問：“一定是這樣嗎？”學生陷入沉思，引起不同的思考。我引導學生分析本例中的數量關系，并思考應當選擇怎樣的函數模型來描述，鼓勵學生猜想，更引導學生確認，進而提出用數學方法解決該問題——建立相應的函數模型。
　　2.建立模型，求解作答。
　　解：設第x天所得回報為y元，則
　　方案一：每天回報40元；y=40（x∈N）
　　方案二：第一天回報10元，以后每天比前一天多回報10元；y=10x（x∈N）
　　
　　方案三：第一天回報0.4元，以后每天的回報比前一天翻一番；y=0.4×2（x∈N）
　　提供備選方案：
　　（1）投資方案選擇原則：投入資金相同，回報量多者為優，比較三種方案每天回報量。
　　（2）比較三種方案一段時間內的總回報量，哪個方案在某段時間內的總回報量最多，我們就在那段時間選擇該方案。
　　師生合作：利用計算工具列出三種投資方案對應的表格。
　　引導學生觀察表格，獲取信息，體會三種函數的增長差異，特別是指數爆炸，說出自己的發現，并進行交流。
　　引導學生觀察表格中三種方案的數量變化情況，對于“增加量”進行比較，體會“直線上升”、“指數爆炸”等。
　　根據上表我們可以先建立三種投資方案所對應的函數模型，再通過比較它們的增長情況，為選擇投資方案提供依據。
　　利用幾何畫板畫出上述三種函數的圖像。
　　引導學生利用函數圖像分析三種方案的不同變化趨勢。學生對三種方案的不同變化趨勢作出描述，并為方案選擇提供依據。
　　累積回報表
　　學生往往是將每天的回報量當作選擇的依據，因此會得出錯誤的結論，需要修正。我引導學生分析影響方案選擇的因素，使學生認識到要作出正確選擇，除了要考慮每天的收益，還要考慮一段時間內的總收益。學生通過自主活動，分析整理數據，并根據其中的信息作出推理判斷，獲得累計收益并給出本題的完整解答，然后全班進行交流。
　　3.修正錯誤，完善結論。
　　從每天的回報量來看：第1—4天，方案一最多；第5—8天，方案二最多；第9天以后，方案三最多。有人認為投資：1—4天選擇方案一；5—8天選擇方案二；9天以后選擇方案三。其實不然。
　　結論：投資8天以下（不含8天），應選擇第一種投資方案；投資8—10天，應選擇第二種投資方案；投資11天（含11天）以上，應選擇第三種投資方案.當然投資時間越長，我們越會選擇第三種投資方案——指數爆炸型。
　　由問題1的解決，我們可以得到解決實際問題的一般步驟：（1）實際問題；（2）讀懂問題抽象概括；（3）數學模型；（4）演算推理；（5）數學問題的解；（6）還原說明；（7）實際問題的解。
　　從投資方來說，總希望利潤越高越好，但實際上是不可能的，還需要受很多因素的制約，利潤不可能無限制增長，說明了理論與實際的距離。問題的分析與解決都遵循求解函數問題的一般方法，通過師生合作、生生合作的互動方式，提取各種信息，綜合運用所得的信息，轉化問題、體會過程，從而獲得結論。
　　我有效指導學生把實際問題轉化為函數模型，選擇合適的數學模型分析解決實際問題，進而在探究中比較常數函數、一次函數、指數函數、對數函數模型的增長差異，結合實例使學生體會到直線上升、指數爆炸、對數增長等不同函數類型增長的含義，使學生體驗到數學源于生活，又應用于生活，學好數學、用好數學可以提升我們自身的品位。
　　當然，現實世界中廣泛存在著數量之間的相等或不等關系，如投資決策、生產規劃、交通運輸等問題中涉及的有關數量問題，常歸結為方程或不等式求解，因此我們可以指導學生建立或化歸為方程或不等式模型。許多經濟問題，如增長率、利息（單利、復利）、分期付款等與時間相關的實際問題，常通過建立相應的數列模型求解，我們可以指導學生建立或化歸為數列模型。其他如建立或化歸為幾何模型，建立或化歸為概率模型等都可以結合學生所學專業開展建模學習，既培養了學生的數學應用能力，又為專業課教學作好了鋪墊。
　　總之，實際問題數學化是過程，數學問題生活化是目的。數學建模就是應用數學的語言和方法對一個實際問題所作的設計。中職數學建模教學的主要目標是培養學生運用數學的意識、切實提高學生運用數學知識解決解決實際問題的應用能力，讓數學服務于學生的發展。
　　
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