初中數學的分類討論思想研究

　　摘要：分類討論思想是初中數學重要的思想方法之一，在教學中注重分類討論思想的培養，對提高學生的數學解題能力及提升學生的數學思維品質都大有益處。本文在歸納分析分類討論思想核心概念的基礎上闡述了分類討論思想的形成原因、分類原則、解題步驟和解題策略，以期通過研究和實踐培養學生的創新精神與探究意識，提高學生的數學成績與數學能力、形成學生的科學態度與踏實作風。
　　關鍵詞：初中數學；分類討論思想；解題策略
　　
　　一、問題提出
　　唯物辯證法認為，任何事物、現象、過程，內部的各個部分、要素、環節是相互聯系、相互作用著的。而要揭示事物的本質屬性及其發展規律，常常要使用人們在生產生活及科學研究中最為基本的思想方法——分類討論思想。如我們時常要計算一堆不同面值紙幣的總值，一般會先根據面值的不同將這些紙幣分成一疊疊的，再分別計算出每疊紙幣的值，最后合計出這堆紙幣的總值。
　　法國數學家笛卡爾曾說過：“把你所考慮的每一個問題，按照可能和需要，分成若干部分，使它們更易于求解。”在運用分類討論思想解決某些初中數學問題時，常常要依據問題的本質屬性中的相同點和相異點，將其分成若干個子問題，通過每個子問題的解決達到整個問題的解決。分類討論思想在初中數學中應用極為廣泛，中考試題中也經常涉及此類問題，該種數學思想對于提升學生分析問題、解決問題的能力、培養學生數學思維的嚴謹性、完整性、有序性、連貫性都很有幫助。但遺憾地看到，學生對于分類討論思想掌握的并不理想。學生不是不知道要分類討論，就是分類討論時遺漏或者重復，因而深入研究分類討論思想很有現實意義。
　　二、核心概念
　　所謂分類討論思想，就是當所要研究的問題的對象難以統一分析，或推理證明之，有通過分組的形式才能準確地表示出來時，就需要按照一定的標準將問題分為全而不重、廣而不漏的若干類子問題。再對每一類子問題進行研究，在逐一解決每一類子問題的基礎上分析歸納出整個問題的結果。
　　根據集合論的觀點，分類討論就是將問題集合A分為有限個子問題集合A1，A2，A3…An，只要解決每一個Ai（i=1，2，…n），問題集合A也就得到了解決。
　　三、形成原因
　　要熟練利用分類討論思想解決數學問題，首先要弄清“為什么要分類討論”，這樣才能準確地對所要研究的問題集合A進行分類，才能更好地解決問題。經研究分析，筆者認為初中數學中的分類討論的成因大致有以下幾個：
　　1. 分類定義的數學概念
　　如絕對值的概念：正數或零的絕對值是它本身；負數的絕對值是它的相反數。
　　2. 分類概括的運算性質
　　如不等式的性質：兩邊同時乘以一個正數，不等號的方向不變；不等式兩邊同時乘以一個負數，不等號的方向改變。
　　3. 分類判斷的數學公式
　　如一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判別式b2－4ac的取值情況的不同使得相應的一元二次方程根的個數產生了不同。
　　4. 無法確定位置關系
　　如點與線、線與線、點與圓、線與圓、圓與圓的位置關系的多樣性直接導致了所繪制的幾何圖形的不同。
　　5. 存在多種題設的問題
　　由于有些數學概念定義時存在不確定性，故而需要分類討論。如“已知一個等腰三角形的兩邊長分別為6 cm和8 cm，求該三角形的周長”。
　　6. 存在多個結論的問題
　　在解決函數問題時亦常需分類討論，如“在函數y=的圖像上存在一點A，過點A作AB⊥x軸于B。若△AOB的面積為6，求此函數的解析式”。
　　7. 含參數的問題
　　若問題集合A含有參數，而這些參數的取值是無法確定的，則要分類討論。如“已知關于x的方程mx2－（2m－1）x＋m＝0，問當m為何值時，該方程有實根。”
　　8. 部分實際問題
　　實際生活中的問題往往也存在著多種情形，也要分類討論。如“王叔叔家有一塊等腰三角形的菜地，腰長為40 m，一條筆直的水渠從菜地穿過，這條水渠恰好垂直平分等腰三角形的一腰，水渠穿過菜地部分的長為15 m（水渠的寬不計），請你計算這塊等腰三角形菜地的面積”。本題中等腰三角形的形狀未知，要分銳角三角形、鈍角三角形兩類討論求解。
　　四、分類原則
　　1. 相稱性原則
　　分類應當相稱，分類后問題集合A的每一個子問題集合Ai（i=1，2，…n）外延的并集應當與問題集合A的外延相等，即對于問題集合A及每一個子問題集合Ai（i=1，2，…n），需要滿足A1∪A2∪A3…∪An=A，也就是說分類時不能遺漏。如把整數集合Z分為正整數集合Z+和負整數Z－，遺漏了零，顯然不符合相稱性原則。
　　2. 互斥性原則
　　利用集合論的觀點來解釋，對于以上的問題集合A及每一個子問題集合Ai（i=1，2，…n），除需滿足相稱性原則外，還需要滿足Ai∩Aj=?覫（i=1，2，…n；j =1，2，…n，且i≠j），即在進行分類每個子問題彼此應該互不相容，分類討論時要避免重復。如學生往往把三角形分為不等邊三角形、等腰三角形、等邊三角形三類，這就不正確了。因為等邊三角形是特殊等腰三角形，等邊三角形是等腰三角形的子集。三角形按邊分應該分為不等邊三角形和等腰三角形兩大類，等腰三角形又可以分為兩邊相等的等腰三角形和等邊三角形兩小類。
　　3. 層次性原則
　　由于研究問題的不同，分類也有一次分類與多次分類之分。一次分類是指對問題集合A只進行一次分類，而多次分類是指對于有些子問題集合Ai還要將其看做是母集合繼續分類，如前文將三角形按邊就進行了二次分類。
　　4. 同一性原則
　　有時對于問題集合A進行分類時既可以采用甲種分類標準，也可以采用乙種分類標準，但是采用何種分類方法，每次分類時都應該按照同一個標準進行，不能多種分類方法交叉并行。如將三角形分為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形、等腰三角形、等邊三角形就是采用了按邊分、按角分兩種分類標準，既混淆了概念，還使問題更加復雜，難以解決。
　　要特別強調的是使用以上原則將問題集合A分類成的子問題集合Ai應當是學生熟悉、便于解決的問題，這樣才能通過各子問題集合Ai的解決，最終達到原問題集合A的解決。
　　五、解題步驟
　　由于問題集合A可以分解成若干個子問題集合Ai，所以A與Ai就形成了從屬關系。問題集合A包含子問題集合Ai，一定條件下Ai又可以轉化成A。因而利用分類討論思想解題是邏輯劃分思想在解數學題中的具體運用，其解題策略為“化無為有、化整為零、化難為易、化繁為簡，再逐個擊破，最后聚零為整”的。
　　教師首先要充分利用日常生活具體實例中及教材中的現有素材向學生講清“什么是分類討論”；其次可以舉一些較為簡單、學生易于接受的數學問題，通過啟發引導，講明“為什么要分類討論”；然后鼓勵學生積極討論、歸納總結“如何分類討論”；最后進行強化練習，增強學生運用分類討論思想解題的意識，逐步提高和完善學生“正確分類討論”的解題能力。運用分類討論思想解題的一般步驟為：
　　（1）明確需要分類討論的問題集合A及其范圍；
　　（2）依據分類原則選擇科學合理的分類標準將A進行分類，確定子問題集合Ai；
　　（3）逐步研究解決每個子問題集合Ai；
　　（4）歸納總結，得出整個問題集合A的完整結論。
　　六、解題策略
　　
　　數學家G·波利亞曾說過：“解題過程無不蘊涵著數學思想，解題的方法技巧是數學思想下的方法技巧，數學思想是解題活動的指導思想。”分類討論思想就是在解題過程中形成和發展的，但由于學生心智發展的限制及教師講解訓練的不足，初中生分類討論的意識不強、分類討論的標準掌握不好、分類討論時較為盲目隨意，解決此類問題時較為困難。所以教師教學要適時滲透分類討論思想，并通過多種數學活動歸納總結、強化應用。
　　筆者認為在初中數學教學中引導學生運用分類討論思想解決問題的策略有以下幾點：
　　1. 審清題意
　　對于存在多種題設和存在多個結論的問題，教學時務必要使學生養成認真審題的習慣，教師可以要求學生讀題時在關鍵詞句上加著重號，先分析出題目在蘊涵的分類討論的因素再著手解題。如“已知一個等腰三角形的兩邊長分別為6 cm和8 cm，求該三角形的周長”。本題中由于等腰三角形的腰與底邊不明確，故需分類討論。又如“在函數y=的圖像上存在一點A，過點A作AB⊥x軸于B，若△AOB的面積為6，求此函數的解析式”。由于平面直角坐標系中線段的長、圖形的面積是都是正數，而利用這些正數去確定點坐標時還要考慮各象限的符號特征，故亦需分類討論。
　　2. 逐步滲透
　　《全日制義務教育數學課程標準》（實驗修訂稿）中指出：“教師應激發學生的學習積極性，向學生提供充分從事數學活動的機會，幫助他們在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數學知識與技能、數學思想和方法，獲得廣泛的數學活動經驗。”可見教師在日常教學時不能僅僅局限于數學知識的講授，還要注意數學思想方法的滲透。通過循序漸進地引導和示范，使學生在數學活動中逐步感悟、接受、運用分類討論思想解題。
　　在學習負數時，教師可讓學生判斷“－a一定是負數”的正誤，引導學生分類討論；在學習絕對值后，教師可以請學生化簡“|a|”“|a-1|”；講了二次根式后，就可以解決類似化簡“”“”的問題；在掌握一次函數相關知識的基礎上學生就可以解決如“求函數y=|x-1|+|2-x|的最小值”的問題了。這樣通過步步深入、層層遞進的滲透，學生的分類討論能力一定會顯著提升。
　　3. 全面分析
　　隨著數學學習難度的加深，學生運用分類討論思想解題的能力也會參差不齊。為了彌補這種ViK/YfKoR37Vh1M3KFBNJ9AsAMdlF1pWEKUDm+N0P1I=差異，教師不僅要引導學生討論、分析、歸納出初中數學階段有哪些分類定義的數學概念、分類概括的運算性質、分類判斷的數學公式，還要向學生講明分類討論的四大原則，學會不重不漏、合理有序地分類。
　　如“已知關于x的方程mx2－（2m－1）x＋m＝0，問當m為何值時，該方程有實根”就是“量變引起質變”的典型問題。本題需要分類討論的原因一是題目中含有參數m；二是當m≠0時，該方程為一元二次方程，還需利用根的判別式b2－4ac判斷方程根的情況。同時本題分類時還遵循了“層次性原則”：先分m＝0，m≠0兩大類討論；當m≠0還要分b2－4ac＞0，b2－4ac＝0，b2－4ac＜0三小類進行討論。
　　4. 動手操作
　　無法確定位置關系的數學問題常常涉及幾何圖形、函數圖像等知識，綜合性非常強，學生解決起來較為棘手。教師務必要先使學生明確題目的已知條件，再通過動手操作幫助其分析歸納出題目中可能存在的位置關系，最后畫出所有符合條件的圖形解題。
　　如“在勞技課上，老師請同學們在一張長為17 cm，寬16 cm的長方形紙板上剪下一個腰長為10 cm的等腰三角形（要求等腰三角形的一個頂點與長方形的一個頂點重合，其余兩個頂點在長方形上的邊上），請你幫助同學們計算剪下的等腰三角形的面積。”
　　通過動手操作、畫圖分析可知本題需分三種情況解決：（1）如圖1，等腰三角形的兩腰在長方形的邊上，AE＝AF＝10 cm；（2）如圖2，等腰三角形的一腰在17 cm長的邊上，AE＝EF＝10 cm；（3）如圖3，等腰三角形的一腰在16 cm長的邊上，AE＝EF＝10 cm。
　　分類討論思想幾乎涉及了初中數學的每個章節，是貫穿整個教學內容的重要的數學思想方法之一。它以唯物辯證法的“整體與局部區別與聯系共存”的觀點、集合論中“集合與子集合”的關系作為指導思想，運用了多種數學方法及技巧，化整體為局部、化煩瑣為簡單，將所要解決的數學問題“分而治之，逐個擊破”。
　　數學思想是數學的靈魂，掌握數學思想就是掌握數學的精髓。通過對分類討論思想的滲透與培養，既可以提高學生的解題能力、增強學生的邏輯思維能力、提升學生的數學思維素養，又可以為學生后續進入高中的學習打下堅實的基礎。授之以魚，不如授之以漁。教師教學時不應只拘泥于數學成績的提高，而忽略了對各種數學思想的培養與訓練。在日常的教學中要立足于知識、著眼于思想，有意識地凸顯數學思想的教學同時還要注意多種數學思想的綜合運用，長此以往，定會收到事半功倍的教學效果。
　　
　　參考文獻：
　　[1]（美）M·克萊因.古今數學思想[M].上海：上海科學技術出版社，2002．
　　[2]肖毅.分類討論[J].數學通訊，2000（9）.
　　[3]]曹賢鳴，阮孟國.分類討論及其應用[J].中學數學教學參考，2002（8）.
　　[4]黨中.分類討論的幾點思考[J].中國新技術新產品，2010（15）.
　　（徐州市第十三中學）