初中數學開放題探析

　　 摘要：本文從代數開放題、幾體開放題、綜合性開放題三個方面討論了初中數學開放題的類型和解法以及具體實施時應注意的問題。
　　 關鍵詞：代數開放題；幾何開放題；綜合性開放題
　　
　　數學開放題指條件不完備，結論不確定，解題策略多樣化的題目。由于它具有與傳統封閉型題不同的特點，因此在數學教育中有其特定功能。數學開放題教學為學生提供了更多的交流與合作的機會，為充分發揮學生的主體作用創造了條件；數學開放題的教學過程是學生主動構建，積極參與的過程，有利于培養學生數學意識，發展學生的數感，使學生真正學會“數學地思維”；數學開放題的教學過程也是學生探索和創造的過程，有利于培養學生的探索開拓精神和創造能力；數學開放題教學是應試教育向素質教育轉軌的重要體現，是當前數學教育的一個發展潮流。本人平時對初中數學開放題進行積累研究，下面就開放性問題的類型進行歸納，并通過典型實例探討其解法。
　　一、代數開放題
　　代數開放題包括：數與式開放題、方程開放題、函數開放題三類。
　　數與式的開放題常以找規律的閱讀題形式出現，解題要求能善于觀察分析、歸納所提供的材料，猜想其結論。方程開放題主要是以方程知識為背景，探索方程有解的條件或在某種條件解的情況，求字母參數的值。函數開放題是以函數知識為背景，設置探索函數解析式中字母系數的值及關系，滿足某條件的點的存在性等。下面舉一函數開放題對其解法加以探究：
　　例1 已知二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖像（如圖1）所示，問由此圖像中所顯示的拋物線的特征，可以得到二次函數的系數a，b，c的哪些關系。
　　分析：①a>0；②-=，即2a+3b=0;
　　 ③c=-1；④=-；⑤從而得a=；
　　⑥由②，⑤得b=-。
　　此題是一道典型的“圖像信息”開放題，只有認真觀察圖像上所給出的各個數據及位置特征，靈活運用函數性質，才能找出所有的關系與結論。
　　二、幾何開放題
　　這類問題以幾何圖形為背景，設置探索幾何量間的關系或點、線位置關系。
　　例2 （如圖2） 四邊形ABCD是
　　⊙○的內接四邊形，A是的中點，
　　過A點的切線與CB延長線交于點E。
　　（1）求證：AB?DA=CD?BE；
　　（2）若點E在CB的延長線上運動，點A在上運動，使切線EA變為割線EFA，其他條件不變，問具備什么條件使原結論成立？
　　（要求畫出示意圖，注明條件，不要求證明）
　　思路分析：此題第（2）小題是一道條件探索性問題。其解法是“執果索因”（如圖3）。要得到AB?DA=CD?BE，即要得到=，即要得△ABE∽△CDA，已有條件∠ABE=∠CDA，還需增加條件：∠BAE=∠ACD，或BF=AD，或BF=DA，或FA∥BD，或∠BCF=∠ACD等。
　　（1）證明：連接AC（如圖3）∵點A是BD的中點，∴=。∵EA切⊙○于點A，點C在⊙○上，
　　 ∴∠1=∠3=∠2。∵四邊形ABCD是
　　⊙○的內接四邊形
　　∴∠ABE=∠D ∴△ABE∽△CDA
　　 ∴ = ∴AB?DA=CD?BE
　　（2）解（如圖4）：具備條件=（或BF=DA，或∠BCF=∠DCA，或∠BAF=∠DCA，或FA∥BD）等，使原結論成立。
　　此題是一道條件探索性試題。解答這類題目的一般方法是“執果索因”，能畫出圖形的要盡量畫出圖形，再結合圖形逆向推導直到探索出需要增加的條件。此題要使原結論成立，可探索出的條件較多，從而打破了封閉性問題的“已
　　知——求證”的模式，激發學生的思維積極
　　性，對所研究的問題進行探索，訓練了他們
　　的思維的廣度。
　　三、綜合性開放題
　　此類問題是以幾何、代數綜合知識為背景，考查分析、推理能力，綜合運用知識的解題能力。
　　 例3 如圖5，已知：在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8 cm，AD=24 cm，BC=26 cm，AB為⊙○的直徑。動點P從點A開始沿AD邊向點D以1厘
　　米/秒的速度運動，動點Q從點C開始
　　沿CB邊向點B以3厘米/秒的速度運
　　動。P，Q分別從點A，C同時出發，當其中
　　一點到達端點時，另一點也隨之停止運動。設運動時間為t秒。
　　求：（1）t分別為何值時，四邊形PQCD為平行四邊形、等腰梯形？（2）t分別為何值時，直線PQ與⊙○相切、相交、相離？
　　分析：此題考查了在點P，Q運動的過程中，四邊形PQCD形狀的變化情況，直線PQ與⊙○位置的變化情況。第（1）問要抓住兩種特殊四邊形的性質特征，第（2）問要從PQ與⊙○相切的關鍵位置入手，尋求其數量關系。
　　解：（1）∵AD∥BC，∴只要QC=PD，四邊形PQCD為平行四邊形。此時，有3t=24-t，解得t=6。故當t=6時，四邊形PQCD為平行四邊形。同理，只要PQ=CD，PD≠QC
　　四邊形PQCD為等腰梯形。過P，D分別作
　　BC的垂線交BC于E，F兩點（如圖6），則
　　由等腰梯形的性質可知：EF=PD，QE=FC=2。
　　∴ 2=[3t-(24-t)]∴t=7。
　　∴當t=7秒時，四邊形PQCD為等腰梯形。
　　（2）設運動t秒時，直線PQ與⊙○相
　　切于點G（如圖7），過P作PH⊥BC，
　　垂足為H， 則PH=AB，BH=AP，即PH=8，HQ=26-3t-t=26-4t。
　　由切線長定理，得PQ=AP+BQ=t+26-3t=26-2t。
　　由勾股定理，得PQ2=PH2+HQ2，即（26-2t）2=82+（26-4t）2。
　　化簡整理，得3t2-26t+16=0，解得t1=，t2=8。
　　即t=秒或t=8秒時，直線PQ與⊙○相切。
　　 ∵t=0秒時，PQ與⊙○相交；當t==8秒時，Q點運動到B點，P點尚未運動到D點，但也停止運動，此時PQ也與⊙○相交。
　　故當t=或t=8時，直線PQ⊙○相切；當0≤t<或8≤t<8時，直線PQ與⊙○相交；當　　本例是一個“動態型”開放題，解這類問題的關鍵是分析運動變化過程，尋找變化中的特殊位置，即“動”中求“靜”、“一般”中見“特殊”，再探求特殊位置下應滿足的條件，利用分類討論思想，各個擊破。
　　初中數學開放題，思維廣闊，可以打破學生的思維定式，消除“模仿解題”的習慣，同時根據學生個性發揮其聰明才智，敢于創新，發散思維及嘗試探索的能力。
　　
　　參考文獻：
　　[1]胡炯濤.數學教學論[M].南寧：廣西教育出版社，1998.
　　 （浙江師范大學數理學院）