在數學分析課程的概念教學中滲透數學建模思想

　　摘 要： 本文闡述了在數學分析課程的教學中，在教授極限、導數、不定積分、定積分等概念時，滲透數學建模的思想，建立概念模型，使學生理解概念模型構建過程的教學方法。
　　關鍵詞： 數學分析課程 概念教學 數學建模思想
　　
　　數學建模，是在實驗、觀察和分析的基礎上，對實際問題的主要方面作出合理的簡化與假設；確定變量和參數；應用數學的語言和方法將實際問題形成一個明確的數學問題；用數學理論、方法對該問題求解析解，或用數值計算方法、計算機編程求近似解；檢驗求解的結果是否符合實際，這樣的過程多次反復進行，直到較好地解決問題，得到用字母、數學及其他數學符號建立起來的等式或不等式，以及圖表、圖像、框圖等描述客觀事物的特征及其內在聯系的一個抽象的、簡化的數學結構表達式。這就是數學建模的全過程，所得到的數學結構表達式就是一個數學模型。
　　把數學建模思想方法融入數學分析課程教學是培養學生創新能力和實踐能力的一個有效途徑。而在極限、導數、定積分等概念的教學中滲透數學建模的思想，可使學生更好地掌握概念。
　　1.建立極限模型，形成極限的概念。
　　1.1建立數列極限模型，形成數列極限的概念。
　　在實際例子中，我們能看到各種各樣的數列。
　　（1）《莊子》中有一句話：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭。”順次把每天截取的長度列出，可得數列，該數列的通項隨著n的無限增大而無限地接近于0。
　　（2）細胞個數隨著分裂次數變化，可得數列2，該數列的通項2隨著n的無限增大并沒有無限地接近于任何常數。
　　數列雖然形式各異，但有一共同的特性：要么能夠和一個常數無限接近，要么不能。這個特性可以初步描述為：對于一個給定的數列，如果存在著一個常數A，數列的值和常數A能夠無限接近，就人為地規定A是該數列的極限（或稱數列收斂于A）；否則，認為該數列沒有極限（發散）。這就是說，當n充分大時，數列的通項a與常數a之差的絕對值可以任意小，這稱a收斂于a，否則稱a發散。把“充分大”與“可以任意小”用數學語言表達，就得到數列極限的模型：
　　x=a?圳?坌ε＞0，?堝正整數N，當n＞N時，有|x-a|＜ε.
　　即x=a的定義為：?坌ε＞0，?堝正整數N，當n＞N時，有|x-a|＜ε.
　　1.2建立函數極限模型，形成函數極限的概念。
　　觀察函數f（x）=x，不難看出，如果自變量x趨于x=2時，相應的函數值f（x）有一個總趨勢：函數值f（x）無限地趨近于4，則稱x趨于2時函數的極限等于4，記為：x=4.同理x=9，x=25.
　　再觀察其他函數在某些點的情況，經過抽象概括，得出函數y=f（x），如果自變量x趨于x時，相應的函數值f（x）有一個總趨勢：函數值f（x）無限地趨近于某個常數A，則稱x趨于x時函數的極限等于A，記為：f（x）=A.
　　把函數值f（x）無限地趨近于某個常數A表達為：函數值f（x）與常數a之差的絕對值可以任意小，就建立起函數極限的模型：
　　f（x）=A?圳?坌ε＞0，?堝δ＞0，當0＜|x-x|＜δ時，有|f（x）-A|＜ε.
　　隨之形成函數極限的概念。
　　2.利用函數極限，建立函數在一點處的導數模型，形成導數的概念。
　　考查以下兩個問題：
　　（1）已知一個質點作直線運動，位置函數為s=f（t），求t時刻的瞬時速度.
　　在時間段［t，t］（或［t，t］）上質點的平均速度為：==.
　　若極限存在，則在時刻t質點的瞬時速度為：v=.
　　（2）切線斜率問題：
　　如圖，設M（x，y），N（x，y）為曲線y=f（x）上的點.
　　割線MN的斜率為：tanφ==.
　　切線MT的斜率為：k=tanα=.
　　上述問題，最終都歸結于討論形如的極限，這就是導數的數學模型.我們進一步會發現在計算物質比熱、電流強度、線密度等物理量時，都可以用這個導數模型。
　　再經過抽象概括，得出函數在一點處的導數的定義：設y=f（x）在x的某個鄰域內有定義，若存在，則稱該極限為y=f（x）在x的導數，記作f′（x）或|，即
　　f′（x）=.
　　導數有下面等價定義形式：f′（x）=.
　　3.利用導數，建立全體原函數的模型，形成不定積分的概念。
　　設函數f（x）與F（x）在區間I上有定義，若F′（x）=f（x），x∈I，則稱F（x）為f（x）在區間I上的一個原函數。
　　-cos2x，-cos2x+1，sinx，-cosx等都是sin2x在R上的原函數。仔細比較我們就會發現，它們兩兩之間都只相差一個常數。一般的，若F（x）=-cos2x+C，其中C為任意常數，則F′（x）=sin2x，可見sin2x的原函數有無窮多個。我們用符號?蘩sin2xdx表示sin2x的全體原函數，即?蘩sin2xdx是sin2x的全體原函數的模型。
　　一般的，函數f（x）在區間I上的全體原函數記作?蘩f（x）dx，并稱之為f（x）在I上的不定積分。
　　若F（x）是f（x）的一個原函數，則f（x）的不定積分是一個函數族{F（x）+C}，其中C是任意常數。為方便起見，寫作
　　?蘩f（x）dx=F（x）+C.
　　此時稱C為積分常數，它可取任一實數值。由以上的定義可知，不定積分的幾何意義是：若F（x）是f（x）的一個原函數，則稱y=F（x）的圖像為f（x）的一條積分曲線。于是，f（x）的不定積分在幾何上表示f（x）的某一條積分曲線沿縱軸方向任意平移所得一載積分曲線組成的曲線族，曲線f（x）+c和F（x）+c在點x有相同切線斜率f（x）。如下圖：
　　4.利用積分和的極限，建立定積分的模型，形成定積分的概念。
　　先討論曲邊梯形的面積問題：
　　（1）分割
　　在區間［a，b］中任意插入若干個分點：a=x＜x＜x＜…＜x＜x=b
　　把［a，b］分成n個小區間：［x，x］，［x，x］，…，［x，x］
　　（2）求和
　　在每個小區間［x，x］上任取一點ξ，記△x=x-x，
　　則曲邊梯形的面積A≈f（ξ）△x
　　（3）取極限
　　記λ=max{△x，△x，…，△x}，則A=f（ξ）△x.
　　再討論變速直線運動的路程問題：設某物體作直線運動的速度為v=v（t），求物體在時間［T，T］內所經過的路程。類似的：
　　（１）分割
　　在區間［T，T］中任意插入若干個分點：
　　T=t＜t＜t＜…＜t＜t=T
　　把［T，T］分成n個小區間：
　　［t，t］，［t，t］，…，［t，t］
　　（2）求和
　　在每個小區間［t，t］上任取一點τ，記Δt=t-t，則路程s≈f（τ）△t.
　　（3）取極限
　　記λ=max{△t，△t，…，△t}，則s=f（τ）△t.
　　以上兩個問題的解決過程，都有分割區間、在每個小區間上任取一點、求和、取極限，而且每一個步驟的做法都相同。這個過程，實際上就是建立了一個數學模型即定積分模型，它的定義為：
　　設f（x）是定義在［a，b］上的有界函數，在［a，b］中插入若干個分點，它們依次為
　　a=x＜x＜x＜…＜x＜x=b
　　這些點把［a，b］分成n個小區間：［x，x］，［x，x］，…，［x，x］.
　　在每個小區間［x，x］上任取一點ξ，記△x=x-x，λ=max{△x，△x，…，△x}，若極限f（ξ）△x存在，則稱該極限為f（x）在區間［a，b］上的定積分，且說f（x）在區間［a，b］上可積，記為
　　?蘩f（x）dx=f（ξ）△x
　　類似的，利用級數部分和的極限，可以建立級數的和的模型，并形成級數的和的概念。此外，在實數的連續性、反常積分、重積分等概念的教學中，通過建立相應的概念模型，學生在數學建模的過程中能加深對概念的理解，并能提高應用數學知識解決實際問題的能力。
　　
　　參考文獻：
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　　基金項目：廣西河池學院教改立項項目。