對(duì)不定積分計(jì)算方法的思考

　　摘 要： 本文通過(guò)分析不定積分計(jì)算教與學(xué)中的困難，提出老師和學(xué)生要注意的問(wèn)題，并對(duì)幾種常用方法作了分析。
　　關(guān)鍵詞： 不定積分計(jì)算 困難 分析 常用方法
　　
　　不定積分是大學(xué)數(shù)學(xué)關(guān)于計(jì)算問(wèn)題的一個(gè)重要內(nèi)容，是定積分、重積分、線面積分計(jì)算、微分方程求解的基礎(chǔ)。因此，熟練掌握不定積分的計(jì)算方法與技巧，對(duì)于學(xué)好高等數(shù)學(xué)是十分必要的，然而它的計(jì)算卻存在著一定的難度。
　　一、不定積分計(jì)算的困難及分析
　　不定積分計(jì)算的困難首先是由其概念本身帶來(lái)的，因?yàn)閺那髮?dǎo)的逆運(yùn)算引進(jìn)，造成了它的計(jì)算是非構(gòu)造性的一類運(yùn)算，它與求導(dǎo)相比有著顯著的不同，求導(dǎo)有一定的公式可套，但求不定積分并非如此。
　　不定積分計(jì)算的困難還在于錯(cuò)誤的思考方法，對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，解題往往通過(guò)“猜”的方式，猜原函數(shù)，這顯然相當(dāng)?shù)睦щy；在老師方面，不定積分的教學(xué)也是一個(gè)難點(diǎn)，老師的任務(wù)是理出方法，教會(huì)學(xué)生如何理解方法，而不是憑感覺(jué)?，F(xiàn)實(shí)存在的問(wèn)題有兩個(gè)：一是當(dāng)在指定讓學(xué)生用哪種方法解決時(shí)，學(xué)生可以做到，但如果把方法混在一起，學(xué)生往往不知道用哪種方法；二是在當(dāng)時(shí)學(xué)生會(huì)解決的題目，時(shí)間久了，學(xué)生就忘記了。原因都在于學(xué)生沒(méi)有真正理解透各種方法的本質(zhì)特點(diǎn)，面對(duì)問(wèn)題時(shí)，不知道怎么根據(jù)其特征選擇適當(dāng)?shù)姆椒ā?br/>　　二、不定積分計(jì)算的方法思考
　　在介紹積分方法時(shí)，老師首先應(yīng)提醒學(xué)生注意被積函數(shù)的多樣性，而不同類型的被積函數(shù)就需要不同的積分方法來(lái)解決，對(duì)于一個(gè)給定的f(x)，要求f(x)dx，這是一個(gè)未知的問(wèn)題，從宏觀上說(shuō)我們要將未知的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已學(xué)知識(shí)來(lái)討論。那么就存在兩個(gè)問(wèn)題：已知的是什么？怎么轉(zhuǎn)化過(guò)去？
　　課本根據(jù)求導(dǎo)與不定積分的關(guān)系由基本求導(dǎo)公式給出了積分基本公式，它們可以作為已知的知識(shí)，那么不能直接由積分公式解決的問(wèn)題，就要通過(guò)幾種轉(zhuǎn)化方法轉(zhuǎn)化到現(xiàn)有的公式上，轉(zhuǎn)化的依據(jù)要根據(jù)被積函數(shù)的結(jié)構(gòu)和轉(zhuǎn)化方法的特點(diǎn)。常用方法有以下幾種。
　　1.基本變形。這個(gè)方法是由不定積分的性質(zhì)線性引出的，只要做恒等變形就可以將要求的不定積分轉(zhuǎn)化到基本積分公式中去，它的特點(diǎn)就是多個(gè)變單個(gè)。
　　2.湊微分法。顧名思義，關(guān)鍵在于一個(gè)“湊”字，如果能想到如何“湊”，則題目會(huì)迎刃而解，若想不到方法，則會(huì)無(wú)處入手。因此，歸納并熟記常用的湊微分公式是十分必要的。
　　老師在講解這個(gè)方法的時(shí)候可以先通過(guò)幾個(gè)簡(jiǎn)單的湊微分的例子引出湊微分這個(gè)方法，以形象地觀察出湊微分法的本質(zhì)、特點(diǎn)，書上給出的定理是比較抽象的，在對(duì)其證明中，可以采取比較通俗的方式，如：要驗(yàn)證f［φ(x)］·φ′（x）dx=f(u)du=F(u)+C=F［φ(x)］+C是否成立，只要驗(yàn)證（F［φ(x)］+C）′=f［φ(x)］·φ′(x)是否成立。
　　如果成立，則證明了該定理，也證明了前幾個(gè)例子的做法是正確的。再結(jié)合例子和定理歸納出湊微分法的特點(diǎn)就是“變?cè)賲f(xié)同”。
　　有些例題要“湊”多次，老師可以舉相關(guān)例題讓學(xué)生充分體會(huì)湊微元法的本質(zhì)特點(diǎn)是變?cè)賲f(xié)同中的“再”，總的來(lái)說(shuō)湊微元法就是一個(gè)“變?cè)賲f(xié)同”的過(guò)程。
　　3.變量代換法。從被積函數(shù)中會(huì)發(fā)現(xiàn)一些難以處理的因式，使用湊微元怎么也協(xié)同不了，在講解這個(gè)方法的時(shí)候可以先舉幾個(gè)這樣的例子，告訴學(xué)生思考這個(gè)問(wèn)題的方法，多列幾個(gè)學(xué)生就會(huì)知道想辦法去掉難以處理的因式，當(dāng)然是有多種代換方法的。在學(xué)生接受了這種思路后再給出定理，證明手段類似湊微元的證明。
　　例1：求.
　　思路一：被積函數(shù)中既有x，又含有x，所以我們想辦法通過(guò)變?cè)紖f(xié)同到x上，然后再觀察，再協(xié)同。
　　解一：===
　　 =d=d
　　 =arctan+C
　　思路二：考慮被積函數(shù)中含有根號(hào)，想辦法去掉根號(hào)，使用三角代換很容易將其算出。
　　觀察這兩種方法的各自特點(diǎn)，第一種思路它比較難想到，但計(jì)算起來(lái)比較簡(jiǎn)單，第二種方法它雖然操作起來(lái)相對(duì)麻煩一些，但指向性非常明確。三角換元法一般是把被積函數(shù)中含有的，，，分別用x=asint，x=atant，x=asect做變換去掉根式，沒(méi)有太多的技巧，但是有些含有這樣根式的不定積分不需要采取變量代換的方法，例如xdx，dx，被積函數(shù)中含有了比較難處理的因式，而變量代換就是起到一個(gè)去掉難處理的因式的作用，但在有些題目中只要用湊微元做就可以了，提醒學(xué)生不要犯教條。
　　4.分部積分。其基本公式為udv=uv-vdu，此方法用于求udv不易，而求vdu較易的題目。在運(yùn)用分部積分法關(guān)鍵是u與dv的選取，掌握此方法的一個(gè)關(guān)鍵在于你要對(duì)哪個(gè)求導(dǎo)，du是一個(gè)局部求導(dǎo)，求導(dǎo)之后要方便運(yùn)算才有意義。
　　例2：求xedx.
　　分析：被積函數(shù)是指數(shù)函數(shù)e與三角函數(shù)x的乘積，用分部積分有兩種方案：xedx=edx=ex-xdexde，第一種方案是對(duì)e局部求導(dǎo)，而我們知道對(duì)它求導(dǎo)還是本身，所以解決不了根本問(wèn)題，所以學(xué)生在做題的時(shí)候要思考到底對(duì)誰(shuí)局部求導(dǎo)能達(dá)到目的，這題中對(duì)x局部求導(dǎo)就可以去掉這個(gè)因式，所以選擇第二種方案。
　　這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)要求我們要對(duì)各類積分法進(jìn)行總結(jié)比較，分析各類積分方法的特征，達(dá)到掌握并熟練運(yùn)用的目的。
　　
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