二次函數(shù)在中學(xué)階段的應(yīng)用

　　二次函數(shù)是最簡(jiǎn)單的非線性函數(shù)之一，而且有著豐富內(nèi)涵。在初中階段，學(xué)生由于基礎(chǔ)薄弱，又受接受能力的限制，對(duì)這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)多是機(jī)械的，很難從本質(zhì)上加以理解。進(jìn)入高中以后，學(xué)生還要對(duì)二次函數(shù)的基本概念和基本性質(zhì)（圖像及單調(diào)性、奇偶性、有界性）進(jìn)行深入學(xué)習(xí)。
　　一、進(jìn)一步深入理解函數(shù)概念
　　初中階段已經(jīng)講述了函數(shù)的定義，進(jìn)入高中后在學(xué)習(xí)集合的基礎(chǔ)上，接著重新學(xué)習(xí)函數(shù)概念，主要是用映射觀點(diǎn)來闡明函數(shù)，這時(shí)就可以用學(xué)生已經(jīng)有一定了解的函數(shù)，特別是二次函數(shù)為例來更深刻地認(rèn)識(shí)函數(shù)的概念。二次函數(shù)是從一個(gè)數(shù)集A（定義域）到數(shù)集B上的對(duì)應(yīng)f：A→B，使得集合B中的元素y=ax+bx+c（a≠0）與集合A的元素x對(duì)應(yīng)，記為f（x）=ax+bx+c（a≠0）。這里ax+bx+c表示對(duì)應(yīng)法則，又表示定義域中的元素x在集合B中的對(duì)應(yīng)元素，從而使學(xué)生對(duì)函數(shù)的概念有一個(gè)較明確的認(rèn)識(shí)，在學(xué)生掌握函數(shù)值的記號(hào)后，可以讓學(xué)生進(jìn)一步處理如下問題：
　　題型I：已知f（x）=2x+x+2，求f（x+1）.
　　這里不能把f（x+1）理解為x=x+1時(shí)的函數(shù)值，只能理解為自變量為x+1的函數(shù)值。
　　題型Ⅱ：設(shè)f（x+1）=x-4x+1，求f（x）.
　　這個(gè)問題理解為，已知對(duì)應(yīng)法則f下，定義域中的元素x+1在集合B中的對(duì)應(yīng)元素為x-4x+1，求定義域中元素x的在集合B中的對(duì)應(yīng)元素，其本質(zhì)是求對(duì)應(yīng)法則。
　　一般有兩種方法：
　　（1）把所給表達(dá)式表示成x+1的多項(xiàng)式。
　　f（x+1）=x-4x+1=（x+1）-6（x+1）+6，再用x代x+1得f（x）=x-6x+6.
　　（2）變量代換：它的適應(yīng)性強(qiáng)，對(duì)一般函數(shù)都適用。
　　令t=x+1，則x=t-1，所以f（t）=（t-1）-4（t-1）+1=t-6t+6，從而f（x）=x-6x+6.
　　二、二次函數(shù)的單調(diào)性、最值與圖像
　　在高中階階段學(xué)習(xí)單調(diào)性時(shí)，必須讓學(xué)生對(duì)二次函數(shù)y=ax+bx+c（a≠0）在區(qū)間（-∞，-］及［-，+∞）上的單調(diào)性的結(jié)論用定義進(jìn)行嚴(yán)格的論證，使它建立在嚴(yán)密理論的基礎(chǔ)上，與此同時(shí)，進(jìn)一步充分利用函數(shù)圖像的直觀性，給學(xué)生配以適當(dāng)?shù)木毩?xí)，使學(xué)生逐步自覺地利用圖像學(xué)習(xí)與二次函數(shù)有關(guān)的一些函數(shù)的單調(diào)性。
　　題型Ⅲ：畫出下列函數(shù)的圖像，并通過圖像研究其單調(diào)性。
　　（1）y=|x+2x-1|?搖（2）y=x+2|x|-1
　　這里要使學(xué)生注意這些函數(shù)與二次函數(shù)的差異和聯(lián)系。掌握把含有絕對(duì)值記號(hào)的函數(shù)用分段函數(shù)表示，然后畫出其圖像。
　　題型Ⅳ：設(shè)f（x）=x-2x-1在區(qū)間［t，t+1］上的最小值是g（t），求：g（t），并畫出y=g（t）的圖像.
　　解：f（x）=x-2x-1=（x-1）-2，在x=1時(shí)取最小值-2
　　當(dāng)1∈［t，t+1］即0≤t≤1，g（t）=-2
　　當(dāng)t＞1時(shí)，g（t）=f（t）=t-2t-1
　　當(dāng)t＜0時(shí)，g（t）=f（t+1）=t-2
　　g（t）=t-2，（t＜0）-2，（0≤t≤1）t-2t-1，（t＞1）
　　首先要使學(xué)生弄清楚題意。一般的，一個(gè)二次函數(shù)在實(shí)數(shù)集合R上或是只有最小值或是只有最大值，但當(dāng)定義域發(fā)生變化時(shí)，取最大或最小值的情況也隨之變化，為了鞏固和熟悉這方面知識(shí)，可以再給學(xué)生補(bǔ)充一些練習(xí)。
　　如：y=x-5x+6（-3≤x≤-1），求該函數(shù)的值域.（可適當(dāng)改變區(qū)間）
　　三、二次函數(shù)的知識(shí)，可以準(zhǔn)確反映學(xué)生的數(shù)學(xué)思維
　　題型Ⅴ：設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=2x+（x-a）|x-a|.
　　（1）若f（0）≥1，求a的取值范圍；
　　（2）求f（x）的最小值；
　　（3）設(shè)函數(shù)h（x）=f（x），x∈（a，+∞），直接寫出（不需給出演算步驟）不等式h（x）≥1的解集.
　　解析：本小題主要考查函數(shù)的概念、性質(zhì)、圖像及解一元二次不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想方法進(jìn)行探索、分析與解決問題的綜合能力。
　　（1）若f（0）≥1，則-a|a|≥1?圯a＜0a≥1?圯a≤-1
　　（2）當(dāng)x≥a時(shí)，f（x）=3x-2ax+a，f（x）=f（a），a≥0f（），a＜0=2a，a≥0，a＜0
　　當(dāng)x≤a時(shí)，f（x）=x+2ax-a，f（x）=f（-a），a≥0f（a），a＜0=-2a，a≥02a，a＜0
　　綜上f（x）=-2a，a≥0，a＜0
　　（3）x∈（a，+∞）時(shí)，h（x）≥1得3x-2ax+a-1≥0，△=4a-12（a-1）=12-8a，
　　當(dāng)a≤-或a≥時(shí)，△≤0，x∈（a，+∞）；
　　當(dāng)-＜a＜時(shí)，△＞0，得：（x-）（x-）≥0x＞a
　　討論得：當(dāng)a∈（，）時(shí)，解集為（a，+∞）；
　　當(dāng)a∈（-，-）時(shí)，解集為（a，］∪［，+∞）；
　　當(dāng)a∈［-，］時(shí)，解集為［，+∞）.
　　二次函數(shù)有著豐富的內(nèi)涵和外延。我們可以以它為代表來研究函數(shù)的性質(zhì)，建立起函數(shù)、方程、不等式之間的聯(lián)系，編擬出層出不窮、靈活多變的數(shù)學(xué)問題，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和綜合數(shù)學(xué)素質(zhì)，特別是能從解答的深入程度中，區(qū)分出學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和思想方法解決數(shù)學(xué)問題的能力。它對(duì)近代數(shù)學(xué)，乃至現(xiàn)代數(shù)學(xué)，影響深遠(yuǎn)，為歷年來高考數(shù)學(xué)考試的一項(xiàng)重點(diǎn)考查內(nèi)容，歷久不衰，以它為核心內(nèi)容的重點(diǎn)試題，也年年有所變化。因此，同學(xué)們必須透徹熟練地掌握二次函數(shù)的基本性質(zhì)。