立體幾何求證問(wèn)題的解題策略

　　摘 要： 本文通過(guò)實(shí)例，從分析法、探索法與認(rèn)知心理等學(xué)角度出發(fā)，探索立體幾何求證問(wèn)題的解決策略。
　　關(guān)鍵詞： 立體幾何求證問(wèn)題 解題策略 “目標(biāo)轉(zhuǎn)換、嘗試探索”法
　　
　　在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們經(jīng)常會(huì)遇到這樣的現(xiàn)象：同學(xué)們一見(jiàn)立體幾何求證問(wèn)題就會(huì)發(fā)蒙，不知從哪里下手求解。如果學(xué)生能想到“怎樣找到證明的思路？”“為什么會(huì)想到這種方法？”“你是怎樣想到的？”就說(shuō)明學(xué)生大腦處在一種積極的思考探索中，這時(shí)若老師因勢(shì)導(dǎo)利、合理引導(dǎo)并讓學(xué)生付諸實(shí)踐，學(xué)生的思維和能力都會(huì)得到長(zhǎng)足提高，在不斷地探索與反思中走向成功的彼岸。
　　這些問(wèn)題實(shí)際上就是怎樣探索解題思路的問(wèn)題。波利亞在論著《怎樣解題》中進(jìn)行了理性的思考并提供了行之有效的方法和措施。其中“怎樣解題表”將解題程序劃分為四個(gè)過(guò)程：①弄清問(wèn)題。也就是明白“求證題”的已知是什么？條件是什么？未知是什么？結(jié)論是什么？也就是我們常說(shuō)的審題。②擬定計(jì)劃。找出已知與未知的直接或者間接的聯(lián)系。在弄清題意的基礎(chǔ)上，從中捕捉有用的信息，并及時(shí)提取記憶網(wǎng)絡(luò)中的有關(guān)信息，再將兩組信息資源作出合乎邏輯的有效組合，從而構(gòu)思出一個(gè)成功的計(jì)劃。即是我們常說(shuō)的思考。③執(zhí)行計(jì)劃。以簡(jiǎn)明、準(zhǔn)確、有序的數(shù)學(xué)語(yǔ)言和數(shù)學(xué)符號(hào)將解題思路表述出來(lái)，同時(shí)驗(yàn)證解答的合理性。即我們所說(shuō)的解答。④回顧。對(duì)所得的結(jié)論進(jìn)行驗(yàn)證，對(duì)解題方法進(jìn)行總結(jié)，對(duì)思路策略進(jìn)行歸納，對(duì)思維歷程進(jìn)行回顧而進(jìn)行經(jīng)驗(yàn)積累，為今后解決新問(wèn)題提供理論依據(jù)與實(shí)踐基礎(chǔ)。
　　學(xué)生在教科書(shū)或資料的例題學(xué)習(xí)中，只能看到最終的解答，而隱含在解答背后的思考過(guò)程和思維歷程則是看不見(jiàn)的，也就是不能了解解答人的探索過(guò)程。這就是學(xué)生學(xué)習(xí)的困難所在。正如波利亞所說(shuō)：“擬定計(jì)劃往往是不容易的，而執(zhí)行計(jì)劃要容易得多，我們所需要的主要是耐心。”這說(shuō)明探索思路是解決問(wèn)題的關(guān)鍵和難點(diǎn)。因此，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生自己獨(dú)立地探索出解題思路，自然地、積極地將原有的知識(shí)、方法、思維等圖式拓展為更豐富、有序、高效的圖式的過(guò)程。
　　我根據(jù)多年的立體幾何教學(xué)實(shí)踐，總結(jié)了“目標(biāo)轉(zhuǎn)換，嘗試探索”的分析方法，對(duì)幫助學(xué)生分析和解決立體幾何求證問(wèn)題有很好的指導(dǎo)作用，特別是幫助初學(xué)立體幾何的同學(xué)鞏固知識(shí)、探索求解、積累經(jīng)驗(yàn)有很好的導(dǎo)向作用，在實(shí)踐中取得了理想的效果。為進(jìn)一步與大家探索，現(xiàn)總結(jié)如下。
　　“目標(biāo)轉(zhuǎn)換、嘗試探索”法：從要解決的問(wèn)題出發(fā)，借助相關(guān)的知識(shí)、方法、經(jīng)驗(yàn)探索出與所要解決問(wèn)題等價(jià)、相關(guān)的各種可能，然后對(duì)每一種可能進(jìn)行嘗試，得出可行的解決辦法。也就是利用等價(jià)轉(zhuǎn)換的思想，將目標(biāo)轉(zhuǎn)換為若干類(lèi)（每類(lèi)可能有一個(gè)或若干個(gè)小目標(biāo)）具體的目標(biāo)，再利用驗(yàn)證、假設(shè)、反證等手段討論各類(lèi)目標(biāo)的可行性，從而找出解題思路。如果一次轉(zhuǎn)換與嘗試不能解決，再進(jìn)行第二次轉(zhuǎn)換與嘗試或更多次轉(zhuǎn)換與嘗試，直到問(wèn)題解決為止。目標(biāo)決定了研究的方向，具有指導(dǎo)性；嘗試決定了研究的可能，具有實(shí)踐性，在目標(biāo)的指導(dǎo)下，不斷地進(jìn)行嘗試找到解決問(wèn)題的途徑或最優(yōu)化途徑。
　　下面通過(guò)實(shí)例，垂直的問(wèn)題分析、嘗試如下：
　　例：已知四邊形ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，過(guò)A且垂直P(pán)C的平面分別交PB、PC、PD于E、F、G，求證：AE⊥PB，AG⊥PD。
　　分析：要證空間線(xiàn)線(xiàn)垂直問(wèn)題，可轉(zhuǎn)換為線(xiàn)線(xiàn)垂直、線(xiàn)面垂直等思路，因此從知識(shí)方法思考得兩種嘗試途徑：一、轉(zhuǎn)換為線(xiàn)線(xiàn)垂直，二、轉(zhuǎn)換為線(xiàn)面垂直。下面就AE⊥PB探索嘗試如下。
　　在解題思路的基礎(chǔ)上，執(zhí)行解題計(jì)劃，得出解答如下：
　　證明：∵PA⊥面ABCD，BC?奐面ABCD
　　∴PA⊥BC目標(biāo)〈6〉
　　∵ABCD是矩形，∴AB⊥BC
　　又PA?奐面PAB，AB?奐面PAB，PA∩AB＝A
　　∴BC⊥面PAB目標(biāo)〈5〉
　　又AE?奐面PAB
　　∴BC⊥AE目標(biāo)〈3〉
　　∵PC⊥面AEFG，AE?奐面AEFG
　　∴PC⊥AE目標(biāo)〈4〉
　　又PC?奐面PBC，BCN?奐面PBC，PC∩BC＝C
　　∴AE⊥面PBC目標(biāo)〈2〉
　　又PB?奐面PBC
　　∴AE⊥PB目標(biāo)〈1〉
　　學(xué)生在開(kāi)始學(xué)習(xí)時(shí)，需要時(shí)間了解和熟悉，教師應(yīng)放慢腳步，給學(xué)生充分的時(shí)間讓學(xué)生理解與明白，吃懂吃透。當(dāng)學(xué)生的實(shí)踐積累到一定的程度，就會(huì)很迅速地直觀感覺(jué)出哪些轉(zhuǎn)換是可行的，哪些轉(zhuǎn)換是不可行的，按可行性的思路追尋下去，快速作出解題的計(jì)劃。
　　通過(guò)以上探索，同學(xué)們不僅能鞏固知識(shí)、方法，而且能加強(qiáng)知識(shí)、方法的應(yīng)用，提高分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力，同時(shí)培養(yǎng)探索問(wèn)題的能力與創(chuàng)新素質(zhì)。
　　
　　參考文獻(xiàn)：
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　　［3］過(guò)伯祥.波利亞的解題觀，中等數(shù)學(xué)，1988，2.
　　［4］鄭毓信，肖柏榮，熊萍.數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)方法論.成都：四川教育出版社，2001.
　　［5］波利亞著.閻育蘇譯.怎樣解題.北京：科學(xué)出版社，1982.