立體幾何求證問題的解題策略

　　摘 要： 本文通過實例，從分析法、探索法與認知心理等學角度出發(fā)，探索立體幾何求證問題的解決策略。
　　關鍵詞： 立體幾何求證問題 解題策略 “目標轉(zhuǎn)換、嘗試探索”法
　　
　　在高中數(shù)學教學中，我們經(jīng)常會遇到這樣的現(xiàn)象：同學們一見立體幾何求證問題就會發(fā)蒙，不知從哪里下手求解。如果學生能想到“怎樣找到證明的思路？”“為什么會想到這種方法？”“你是怎樣想到的？”就說明學生大腦處在一種積極的思考探索中，這時若老師因勢導利、合理引導并讓學生付諸實踐，學生的思維和能力都會得到長足提高，在不斷地探索與反思中走向成功的彼岸。
　　這些問題實際上就是怎樣探索解題思路的問題。波利亞在論著《怎樣解題》中進行了理性的思考并提供了行之有效的方法和措施。其中“怎樣解題表”將解題程序劃分為四個過程：①弄清問題。也就是明白“求證題”的已知是什么？條件是什么？未知是什么？結(jié)論是什么？也就是我們常說的審題。②擬定計劃。找出已知與未知的直接或者間接的聯(lián)系。在弄清題意的基礎上，從中捕捉有用的信息，并及時提取記憶網(wǎng)絡中的有關信息，再將兩組信息資源作出合乎邏輯的有效組合，從而構(gòu)思出一個成功的計劃。即是我們常說的思考。③執(zhí)行計劃。以簡明、準確、有序的數(shù)學語言和數(shù)學符號將解題思路表述出來，同時驗證解答的合理性。即我們所說的解答。④回顧。對所得的結(jié)論進行驗證，對解題方法進行總結(jié)，對思路策略進行歸納，對思維歷程進行回顧而進行經(jīng)驗積累，為今后解決新問題提供理論依據(jù)與實踐基礎。
　　學生在教科書或資料的例題學習中，只能看到最終的解答，而隱含在解答背后的思考過程和思維歷程則是看不見的，也就是不能了解解答人的探索過程。這就是學生學習的困難所在。正如波利亞所說：“擬定計劃往往是不容易的，而執(zhí)行計劃要容易得多，我們所需要的主要是耐心。”這說明探索思路是解決問題的關鍵和難點。因此，教師應引導學生自己獨立地探索出解題思路，自然地、積極地將原有的知識、方法、思維等圖式拓展為更豐富、有序、高效的圖式的過程。
　　我根據(jù)多年的立體幾何教學實踐，總結(jié)了“目標轉(zhuǎn)換，嘗試探索”的分析方法，對幫助學生分析和解決立體幾何求證問題有很好的指導作用，特別是幫助初學立體幾何的同學鞏固知識、探索求解、積累經(jīng)驗有很好的導向作用，在實踐中取得了理想的效果。為進一步與大家探索，現(xiàn)總結(jié)如下。
　　“目標轉(zhuǎn)換、嘗試探索”法：從要解決的問題出發(fā)，借助相關的知識、方法、經(jīng)驗探索出與所要解決問題等價、相關的各種可能，然后對每一種可能進行嘗試，得出可行的解決辦法。也就是利用等價轉(zhuǎn)換的思想，將目標轉(zhuǎn)換為若干類（每類可能有一個或若干個小目標）具體的目標，再利用驗證、假設、反證等手段討論各類目標的可行性，從而找出解題思路。如果一次轉(zhuǎn)換與嘗試不能解決，再進行第二次轉(zhuǎn)換與嘗試或更多次轉(zhuǎn)換與嘗試，直到問題解決為止。目標決定了研究的方向，具有指導性；嘗試決定了研究的可能，具有實踐性，在目標的指導下，不斷地進行嘗試找到解決問題的途徑或最優(yōu)化途徑。
　　下面通過實例，垂直的問題分析、嘗試如下：
　　例：已知四邊形ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，過A且垂直PC的平面分別交PB、PC、PD于E、F、G，求證：AE⊥PB，AG⊥PD。
　　分析：要證空間線線垂直問題，可轉(zhuǎn)換為線線垂直、線面垂直等思路，因此從知識方法思考得兩種嘗試途徑：一、轉(zhuǎn)換為線線垂直，二、轉(zhuǎn)換為線面垂直。下面就AE⊥PB探索嘗試如下。
　　在解題思路的基礎上，執(zhí)行解題計劃，得出解答如下：
　　證明：∵PA⊥面ABCD，BC?奐面ABCD
　　∴PA⊥BC目標〈6〉
　　∵ABCD是矩形，∴AB⊥BC
　　又PA?奐面PAB，AB?奐面PAB，PA∩AB＝A
　　∴BC⊥面PAB目標〈5〉
　　又AE?奐面PAB
　　∴BC⊥AE目標〈3〉
　　∵PC⊥面AEFG，AE?奐面AEFG
　　∴PC⊥AE目標〈4〉
　　又PC?奐面PBC，BCN?奐面PBC，PC∩BC＝C
　　∴AE⊥面PBC目標〈2〉
　　又PB?奐面PBC
　　∴AE⊥PB目標〈1〉
　　學生在開始學習時，需要時間了解和熟悉，教師應放慢腳步，給學生充分的時間讓學生理解與明白，吃懂吃透。當學生的實踐積累到一定的程度，就會很迅速地直觀感覺出哪些轉(zhuǎn)換是可行的，哪些轉(zhuǎn)換是不可行的，按可行性的思路追尋下去，快速作出解題的計劃。
　　通過以上探索，同學們不僅能鞏固知識、方法，而且能加強知識、方法的應用，提高分析問題與解決問題的能力，同時培養(yǎng)探索問題的能力與創(chuàng)新素質(zhì)。
　　
　　參考文獻：
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　　［5］波利亞著.閻育蘇譯.怎樣解題.北京：科學出版社，1982.