河渠滲漏量已知條件下附近地下水非穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)的一種積分方程解法

　　 摘要：根據(jù)完整井變流量抽水附近地下水運(yùn)動(dòng)的解析解，利用積分方程的方法，推導(dǎo)出了水井水位降深以任意一種函數(shù)關(guān)系隨時(shí)間變化時(shí)含水層中地下水非穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)積分方程形式的解，并提出了相應(yīng)的處理方法。最后通過一個(gè)實(shí)例驗(yàn)證了該方法的實(shí)用性。
　　關(guān)鍵詞：完整井Theis公式變降深抽水積分方程地下水非穩(wěn)定流
　　中圖分類號(hào):TV1文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A文章編號(hào):1672-3791(2011)06(b)-0000-00
　　
　　一般來說，在地下水非穩(wěn)定流計(jì)算中，許多問題的解決，按傳統(tǒng)的方法，通常通過求解對(duì)應(yīng)微分方程的定解問題來實(shí)現(xiàn)。而對(duì)于某些問題，當(dāng)邊界條件不特別復(fù)雜時(shí)，采用積分方程的方法顯現(xiàn)出一定的優(yōu)越性。本文以第一類Volterra積分方程及其數(shù)值解法為數(shù)學(xué)手段，根據(jù)抽水井抽水流量已知條件下附近地下水非穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)的解析解，推導(dǎo)出了抽水井水位降深已知情況下地下水非穩(wěn)定流運(yùn)動(dòng)積分方程形式的解，并提出了該解相應(yīng)的處理方法。
　　
　　1 河渠水位已知時(shí)附近地下水非穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)的微分方程解
　　在均質(zhì)各向同性，具有水平隔水層的潛水含水層中，在初始潛水面水平、河渠引滲后為一維流、含水層厚度遠(yuǎn)大于地下水位變幅等前提下，當(dāng)河渠水位瞬間上升（下降），并上升后保持不變時(shí)河渠附近地下水位上升高度，根據(jù)地下水動(dòng)力學(xué)原理[1][2]，可用下式來確定
　　（1）
　　式中 為余誤差函數(shù)； 為含水層壓力傳導(dǎo)系數(shù) ；
　　——離河渠距離的點(diǎn)，在時(shí)刻的地下水位變化值（自初始水位算起）；
　　——河渠水位變化值（瞬間上升或下降后保持不變） ；——含水層滲透系數(shù) ；
　　——含水層平均厚度 ；——含水層飽和差或給水度 。
　　當(dāng)河渠水位隨時(shí)間變化時(shí)，把水位變化過程線剖分成有限個(gè)微小時(shí)段，其中某一微小時(shí)段期間的流量變化值看作是定值，從而把某一時(shí)刻河渠附近地下水位變化值就可以，根據(jù)（1）式，通過積分獲得，即
　　（2）
　　式中：——河渠水位隨時(shí)間的變化函數(shù) ，其余同上 。
　　根據(jù)Darcy定律，河渠水位已知時(shí)的河渠滲漏量為
　　
　　 （3）
　　
　　2 河渠滲漏量已知時(shí)的積分方程解
　　2.1 積分方程解的推導(dǎo)
　　當(dāng)河渠滲漏量已知時(shí)，分別對(duì)式（2）和式（3）中等號(hào)左右兩邊同時(shí)進(jìn)行Laplace變換，并變換后的二式相除，通過整理，得
　　
　　 對(duì)上式進(jìn)行Laplace逆變換，可得為未知函數(shù)的以下形式的Abel積分方程
　　 （4）
　　待求的未知函數(shù)出現(xiàn)在積分號(hào)下的方程稱為積分方程。其中以積分上限為變量的下列形式的方程
　　
　　
　　稱之為Abel積分方程。
　　
　　替換積分順序，并求導(dǎo)，得
　　
　　其中
　　
　　2.2 積分方程解的近似計(jì)算
　　待求的未知函數(shù)出現(xiàn)在積分號(hào)下的方程稱為積分方程。其中以積分上限為變量的下列形式的方程
　　
　　稱之為第一類Volterra積分方程。由此可以看出，式（4）和（5）分別是以及為未知函數(shù)的第一類Volterra積分方程，可以直接利用數(shù)值積分公式，通過線性方程組以下的迭代法[4，5]便可出求和在整個(gè)抽水過程中不同時(shí)刻的近似值，即
　　 （6）
　　（7）
　　值得注意的是，為了獲得較準(zhǔn)確的計(jì)算結(jié)果，式（6）和式（7）中的時(shí)間步長(zhǎng)根據(jù)實(shí)際情況要盡量取足夠小一些。
　　如含水層的導(dǎo)水系數(shù)、貯水系數(shù)以及水井水位降深隨時(shí)間的變化函數(shù)已知，則欲求水井流量和在任一距離，任一時(shí)刻因變降深抽水所引起的水井附近地下水位降深值，就可分別由（6）和（7）式來獲得。
　　
　　3 計(jì)算實(shí)例
　　某地區(qū)承壓含水層導(dǎo)水系數(shù)為200米2/日，貯水系數(shù)為，在該含水層建造的半徑為0.2米（）的自流完整井，開井后水井承壓水頭瞬間下降2米（）。利用式（6）和式（7）分別分析自流井開井后150天內(nèi)的流量變化以及水井500米范圍內(nèi)承壓水頭變化狀況，其結(jié)果見圖1和圖2 。
　　
　　4 結(jié)語
　　當(dāng)進(jìn)行變降深抽時(shí)，只要水井水位降深隨時(shí)間的變化函數(shù)已知，根據(jù)本文所提出的方法，就可以推導(dǎo)出相應(yīng)于水井水位降深變化函數(shù)的積分方程解，并利用積分方程的近似解法，便可分析水井附近區(qū)域地下水位變化狀況。本文利用積分方程的方法，把流量已知和降深已知條件下水井附近地下水運(yùn)動(dòng)的解統(tǒng)一地結(jié)合在一起，具有一定的理論和實(shí)際應(yīng)用意義。
　　
　　參考文獻(xiàn)
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