從兩道錯題談周期函數

　　摘要：我們知道正弦函數y=Sinx，余弦函數y=cosx，正切函數y=tanx及余切函數y=cotx的周期以及最小正周期的求法，由此派生出來的復合函數y=Asin(ωx+φ)、y=Acos(ωx+φ)、y=Atan(ωx+φ)及y=Acot(ωx+φ)的周期求法。筆者從兩道錯題談一般的周期函數周期函數及最小周期的求法。
　　關鍵詞：周期函數；最小周期；最小公倍數
　　中圖分類號：G6文獻標識碼：A文章編號：1672-3791(2011)06(b)-0000-00
　　
　　我們知道正弦函數y=Sinx，余弦函數y=cosx，正切函數y=tanx及余切函數y=cotx的周期以及最小正周期的求法，由此派生出來的復合函數y=Asin(ωx+φ)、y=Acos(ωx+φ)、y=Atan(ωx+φ)及y=Acot(ωx+φ)的周期求法，那么不可化成上述形式的函數，而是一般的周期函數，它們的周期及最小周期怎么求呢？筆者從兩道錯題談周期函數及最小周期的求法。
　　我們看下面的例子，曾經在技校新編電子類數學教材中，有這樣兩道題：
　　求下列函數的周期
　　⑴y=tg3x+5ctg2x
　　⑵y=2Sin3x+3Sin2x
　　書中所給答案分別是6π、3π。顯然這兩個結論是錯誤的。6π是⑴題的周期，但不是最小正周期。3π不是⑵題的周期。
　　教材中給出了y=Asin(ωx+φ)、y=Atg(ωx+φ)的周期的求法，對于由A sin(ωx+φ)或Atg(ωx+φ)進行加減運算后的周期求法，并不是一件簡單的事。
　　對于一般地周期函數f(x)來說，有這樣的結論成立。
　　⑴、若L是f(x)的最小正周期，則f(x+m)=f(x)的充要條件是m=kL，k∈z
　　⑵、若L是f(x)的最小正周期，m是φ(x)的最小正周期，則L、m的最小公倍數一定是，Af(x)+Bf(x)的周期，但未必是最小正周期。
　　結論⑴證明：
　　充分性：假設L是f(x)的最小正周期
　　∴f(x+L)=f(x)
　　m=kL，k∈z當k=0時結論顯然成立。
　　當k∈z+時
　　f(x+m)=f(x+kL)=f[x+(k-1)L+L]=f[x+(k-1)L]
　　繼續作下去就可以得到f(x+m)=f(x+L)=f(x)。
　　當k∈z-時，-k∈z+
　　F(x+m)=f(x+kL)=f[(x+kL)-kL]=f(x)
　　必要性：設有m使f(x+m)=f(x)成立。
　　∵m=kL+h，k∈z，0≤h＜L
　　f(x+m)=f(x+kL+h)=f(x+h)
　　由于f(x+m)=f(x)
　　∴f(x+h)=f(x)
　　∵L是f(x)的最小正周期
　　∴h=0
　　則m=kL
　　結論⑵證明：
　　設L是f(x)的最小正周期，則f(x+L)=f(x)；
　　m是φ(x)的最小正周期，則φ(x+m)= φ(x)；
　　F(x)=Af(x)+Bφ(x)。
　　令n是L、m的最小公倍數，
　　則存在k1、k2∈z
　　使，n=k1L， n=k2m。
　　F(x+n)=Af(x+k1L)+Bφ(x+ k2m)
　　=Af(x)+Bφ(x)=F(x)
　　∴n是Af(x)+ Bφ(x)的周期
　　例：F(x)= tg(x+ )+ tg(x- )
　　F(x)= tg(x+ )最小正周期是π；
　　φ(x) = tg(x- )最小正周期是π。
　　∴最小公倍數是π。
　　但，F(x)=tg(x+ )+ tg(x- )=tg2x
　　∴F(x)的周期是 。
　　∴π是F(x)的周期，但不是最小正周期。
　　根據上述得知如果一個函數不能化簡為下面的幾種形式即：Asin(wx+φ)、Acos(wx+φ)、Atg(wx+φ)、Actg(wx+φ)而是一般的和、差式，這時的最小周期，并不是很容易求出的，即便是求出來也應考慮能否有理論保證它確實是最小正周期。數學一定要精益求精，不能想當然，一定要有充分的理論作基礎，以公理、定理作依據，能經得住考證。