利用《數學物理方程》培養學生的創新能力

摘要：《數學物理方程》相關理論的研究已經滲透到數學學科大部分后續課程中，目前的《數學物理方程》大多采取孤立的教學模式，沒有把《數學物理方程》這門課與數學學科的整體結合起來。因此，要利用《數學物理方程》培養學生的創新能力：利用心理學理論，結合多媒體和數學軟件的可視化，把微分方程抽象的理論結果可視化，從而達到激發學生學習興趣的目的，并通過介紹教師目前研究的問題，激發學生的研究熱情。

關鍵詞：《數學物理方程》；可視化教學模式；研究性學習方法；創新能力

新時代要求高校要培養具有創新能力的學生，而創新能力大多是在本科階段培養的，這就要求任課教師不能僅僅滿足于讓學生學會知識，還應該讓學生能夠運用所學知識去解決實際問題，提出一些具有重要價值的問題并進行解決，也就是回答“錢學森之問”，為我們民族的復興培養具有創造能力的人才。

《數學物理方程》具有很強的實際背景，主要以偏微分方程作為研究對象。作為《常微分方程》和《數學分析》的后續課程，《數學物理方程》既有《數學分析》和《常微分方程》的特點，又完全不同于這兩門課程，因而學生在學習時的困難也就更大。

一、突出《數學物理方程》的物理背景，強調問題驅動的應用數學的學習和研究

《數學物理方程》與《常微分方程》相比，由于自變量增加，研究的難度也加大，本身的理論結果就不好學，加上抽象的符號，很導致學生學習興趣降低。但是，數學物理所研究的問題大多是從物理、力學甚至生物科學中導出的，具有很強的實際背景，而這些實際背景大都是學生經常遇到的，比較容易理解甚至非常熟悉。如果有意識地引導學生從這些實際背景中提出各種各樣的問題，讓學生主動去尋求解決問題的途徑，就能使學生把被動的學習方式轉化為主動的學習方式。在引導過程中，教師從學生提出的問題中挑選出要討論的問題，啟發學生運用所學的數學知識和數學語言把要解決的問題數學化，給出要解決問題的定義域和各種初始條件，然后利用物理學中各種守恒律或變分原理進行數學建模，把實際問題轉化為數學語言——偏微分方程，學生就會對這些方程感興趣，進而就能通過努力學習數學理論來解決這些問題。

二、突出教學重點，巧妙利用比較的方法引導學生學習

《數學物理方程》的教學大都安排在大四第二學期，課時一般都比較少，如何合理地安排教學進度，使學生盡可能多學些知識就成為任課教師面臨的重要問題。

《數學物理方程》研究的對象主要是三個典型方程，因此在教學中也應以這三個方程的學習為主。教師要讓學生了解如何把一個現實問題運用數學語言來描述，也就是把這個問題轉化為數學模型，從而激發學生深入學習的興趣。例如：在學習第一章的內容時，應重點講授微小橫振動的弦振動方程和熱傳導方程的推導，然后用所學的方法去推導課后習題中的相關方程，這樣就能使學生鞏固所學知識，激發繼續深入探索問題的興趣。

三、在教學過程中重視方法和應用，提倡從不同角度去理解和求解問題，進而培養學生的實際能力

在學習《數學物理方程》中相關問題的推導時要用到數學分析的復雜公式和定理，這些復雜的公式尤其是曲面積分和法向量的證明過程非常復雜，需要學生有非常好的數學分析基礎，能夠熟練運用相關公式，但實際上并不是所有學生都能達到這一要求。因此，教師要在教學過程中突出方法，而不是突出推導和記憶的教學思路。教師在求解問題之前一定要把解題思路給學生講清楚，解題過程中要運用到的相關定理和公式也要提前告訴學生，這樣學生就可以按照教師教的方法自己來解決問題了。

另外，《數學物理方程》的內容非常豐富，方法也多種多樣，很多問題都可以從不同角度進行研究和求解。因此，在講授這門課時，教師應從理論內容和方法技巧兩個方面入手，并經常比較各類方程和各類解決問題的方法的異同，以求讓學生融會貫通。例如：在推導能量不等式時，教師可以從法向量的角度來推導，也可以直接運用格林公式來求導，通過比較學生就可以知道，直接運用格林公式來推導形式上簡單，但遇到方向變化時可能不如運用法向量法更容易理解，這樣學生就能加深對所學內容的理解，進而達到融會貫通。

數學是自然界最簡潔的語言，具有高度的概括性，為人們理解自然界的規律提供了一個最佳的表達方式。但是，有了數學理論知識還不等于能夠解決實際問題。在《數學物理方程》的教學過程中，教師要注意培養學生理論聯系實際的能力，具體地說就是要培養學生以下三個方面的能力：一是具備發現問題的能力。遇到一類現象，能夠發現這種實際現象蘊涵的各種實際問題。二是具備對實際問題進行數學建模的能力。對遇到的實際問題，能夠運用數學語言描述出來，然后進行數學建模。三是能夠把推導出來的數學公式和定理還原到實際問題中，從而解釋實際問題。

總之，《數學物理方程》教學不能單純地從理論到理論，而應貫徹“數學服務于物理”的原則，既要重視數學物理的結合，運用數學方法解決物理問題，又要防止出現完全數學化而不考慮其物理含義的現象，只有這樣才能使學生對這門課產生興趣。

四、采用可視化教學模式培養學生的興趣和創新能力

盡管《數學物理方程》的理論結果都有明確的物理意義，但是怎樣讓學生從這些復雜的、看起來讓人眼花繚亂的數學公式中觀察其中所表達的物理圖像，著實是一件很棘手的事情，這也正是《數學物理方程》枯燥乏味的原因所在。如果能通過計算機軟件把這些公式所表達的圖像展現出來，讓這些無言的公式“開口說話”，甚至通過動態的形式讓這些公式“表演”，就會極大地增強學生的學習興趣。

對于復雜的《數學物理方程》，教師可以引導學生利用所學的計算機語言和數值計算方法進行編程，或者利用編程實現《數學物理方程》的動態行為的演化，激發學生的學習興趣，引導學生直觀化理解理論問題，并對理論問題所反映的實際問題進行深入思考和理解，從而有效提高學生解決實際問題的能力。

五、采用課堂互動式教學方法培養學生獨立思考的能力

課堂教學是教師傳授知識的主要途徑，我國傳統的教學模式主要是“灌輸式”，學生被動地學習。盡管許多高校都在嘗試利用現代先進的多媒體進行教學，但這也僅僅是從視覺上提高學生學習的積極性，并沒有從根本上解決問題。

從本質上來說，教學的目的是讓學生學到新知識，最終能夠靈活運用。因此筆者主張，在《數學物理方程》教學過程中，學生一定要成為教學活動的主體，學生與教師的關系一定要是朋友間的平等關系，而不能是傳統的“師徒關系”。在課堂上，教師與學生之間也不能是聽與被聽的關系，而應是朋友關系，兩者進行聊天談話，學生在課堂上可以隨時與教師互動，不清楚的地方可以隨時提問；教師也應改變過去那種說教的模式，轉而利用商量和引導的模式，注重引導學生提出問題。這樣就可以使學生變被動為主動，從被強迫學習變成積極主動地想學習。另外，在課堂上，教師還可以針對本節課的內容，利用以前學過的理論，設計一些比較簡單的問題，啟發學生的思維。

六、教師結合自己的研究課題，利用研究性教學模式，引導學生提出問題、解決問題，從而培養學生的創新能力

目前的教學大多是教師手把手教學生，一旦讓學生自己獨立發現問題、解決問題，就會出現許多意想不到的事情。這充分反映了學生獨立創新能力的不足。因此，在教學過程中教師可以適當穿插一些自己目前所從事的研究項目的相關內容，讓學生能夠獨立對這些前沿問題進行數學建模、求解等，從而培養學生獨立創新的能力。學生一旦深入這個課題，就會為戰勝了這樣或那樣的困難而信心十足，就會越來越希望鉆研，獨立科研創新能力也就會不斷提高。

參考文獻：

[1]彭芳麟.《數學物理方程》的MATLAB解法與可視化[M].北京:清華大學出版社，2004.

[2]姜禮尚.《數學物理方程》講義[M].北京:高等教育出版社，2007.

[3]谷超豪.數學物理方程[M].北京:高等教育出版社，2002.

[4]王正斌，毛巍威，楊正紅.“數理方程”課程教學改革探索[J].宜春學院學報，2006，(6).

[5]周浩淼，歐小偉，魏靜.數學物理方程課教學方法改革[J].中國電力教育，2010，(33).

責編：一木