淺談排列組合問題常見的求解方法

一 合理分類與準(zhǔn)確分步法

解含有約束條件的排列組合問題應(yīng)按元素性質(zhì)進行分類，按事情發(fā)生的連續(xù)過程分步，做到分類標(biāo)準(zhǔn)明確，分步層次清楚，不重、不漏。例如，六人排成一排，其中甲不在排頭，乙不在排尾，不同排法有多少種？

分析：由題意可先排甲，并按其分類討論：（1）若甲在

末尾，剩下5人可自由排有A 種；（2）若甲在第二、三、

四、五位上，則有A A A 種排法。由分類計數(shù)原理，排

法共有A ＋A A A ＝504（種）。

二 正難反易轉(zhuǎn)化法

對于一些生疏問題或直接求解較為復(fù)雜或較為困難的問題，若從正面入手可能不容易解決，這時可以從反面入手，把它轉(zhuǎn)化為一個簡單問題來處理。例如，馬路上有8盞路燈，為節(jié)約用電又不影響正常的照明，可把其中的3盞燈關(guān)掉，但不能同時關(guān)掉相鄰的2盞或3盞，也不能關(guān)掉兩端的燈，那么滿足條件的關(guān)燈方法一共有多少種？

分析：關(guān)掉第1盞燈的方法有6種，關(guān)掉第2盞，第3盞時需分類討論，十分復(fù)雜。如果從反面入手考慮，每一種關(guān)燈的方法對應(yīng)著一種滿足題設(shè)條件的亮燈與關(guān)燈的排列，于是問題轉(zhuǎn)化為“在5盞亮燈的6個空中插入3盞暗燈”的

問題。所以關(guān)燈方法種數(shù)有C ＝20。

三 局部問題“整體優(yōu)行法”

對于局部排列問題，可先將局部看作一個元與余元素一同排列，然后在進行局部排列。例如，8人站成一排照相，要求甲、乙兩人之間恰好隔三人的站法有多少種？

分析：甲、乙及間隔的3人組成一個“小整體”，這3人可從其余6人中選63種，這個“小整體”與其余3人共4個元素

全提列，有A 種方法，它的內(nèi)部甲、乙兩人有A 種站法，中

間選的3人也有A 種，故符合要求的站法共有C A A A ＝

5760（種）。

四 相鄰問題“捆綁法”

對于某幾個元素要求相鄰的排列問題，可將相鄰的元素捆綁在一起看作一個大元素，與其他元素排列，然后再對“大元素”內(nèi)部元素排列。例如，8人站成一排照相，甲、乙、丙三人相鄰有多少種不同排法？

分析：可把甲、乙、丙三人看作一個整體，與其余5人

共6個元作全排列，有A 種排法，而甲、乙、丙之間又有

A 種排法，故有A A ＝43200（種）。

五 不相鄰問題“插空法”

對于某幾個元素不相鄰的排列問題，可先將其他元素排好，再將不相鄰元素在已排好的元素之間及兩端空隙中插入即可。例如，8人站成一排，若要求甲、乙、丙不相鄰有多少種不同的排法？

分析：先將其余5人排好有A 種排法，再在這些之間及

兩端的6個“空隙”中選三個位置將甲、乙、丙插入，則有

A 種，總共有A A ＝14400（種）。

六 順序固定問題用“除法”

對于某幾個元素，順序一定排列問題，可先把這幾個元素與其他元素一同排列，然后用總排列數(shù)除以這幾個元素的全排列數(shù)。例如，8個人排隊，甲、乙、丙三人按“甲—乙——丙”順序排的排隊方法有多少種？

分析：不考慮附加條件，排隊方法有A 種，而其中甲、

乙、丙的A 種，排法中只有一種符合條件。故符合條件的排

法有A ÷A ＝6720（種）。

七 構(gòu)造模型“隔板法”

對于較復(fù)雜的排列問題，可以通過設(shè)計另一種情境，構(gòu)造一個隔板模型來解決問題。例如，方程a＋b＋c＋d＝12有多少組正整數(shù)解？

分析：建立隔板模型：將12個完全相同的球排成一列，在它們之間形成的11個間隙中任意插入3塊隔板把球分成4堆，而每一種分法所堆球的4種堆球的數(shù)目即為a、b、c、d的組正

整數(shù)解，故原方程的正整數(shù)解的組數(shù)共為C ＝165（種）。

八 分排問題“一直排法”

把幾個元素排成前后若干排列問題，若沒有其他的特殊要求，可采取統(tǒng)一排成一排的方法進行處理。例如，8個人坐兩排座位，第一排3個人，第二排坐5個人，則不同坐法有多少種？

分析：8人可以在兩排隨意就座，再無其他條件，故兩

排可看作一排來處理，不同的坐法共有A 種。

九 混合問題“先選后排”

對于排列組合混合問題，可先選出元素，再排列。例如，4個不同小球放入不敷出編號為1、2、3、4的四個盒子中，恰有一空盒有多少種放法？

分析：因有一空盒，故必須有一個盒子放兩球。（1）選：

從4個球中選2個有C 種，從4個盒中選3個盒有C 種；（2）排：把選出的2個球看作一個元素與其余2球共3

個元素，對選出的3盒作全排列有A 種，故所求方法有C

C A ＝144（種）。

十 特殊元素“優(yōu)先安排法”

對于帶有特殊元素的排列組合問題，一般應(yīng)先考慮特殊元素，再考慮其他元素。例如，用0、2、3、4、5五個數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)學(xué)的三位數(shù)，其中偶數(shù)有多少個。

分析：由于該三位數(shù)為偶數(shù)，故末尾數(shù)學(xué)必有偶數(shù)，又因為0不能排首位，故“0”就是其中的“特殊”元素應(yīng)該優(yōu)先安排，按0排在末尾和0不排在末尾分兩類：（1）0排末

尾時，有A 個；（2）0不排末尾時，則有A A A 個，由

分類計數(shù)原理共有偶數(shù)A ＋A A A ＝30（個）。

排列、組合及排列與組合的綜合應(yīng)用是高中數(shù)學(xué)的重點和難點之一，也是近幾年來高考的熱點，是進一步學(xué)習(xí)概率的基礎(chǔ)。在解排列組合題目中極容易出現(xiàn)“重復(fù)”和“遺漏”的錯誤，這些錯誤有時不容易檢查出來，所以解題時要注意積累經(jīng)驗，熟練掌握解題方法的規(guī)律。

〔責(zé)任編輯：李錦雯〕