Monte Carlo模擬和美式期權

文獻綜述:從BS公式問世以來，國際上對歐式期權的定價已經非常成熟了，但美式期權的多變量性，使其估值和執行最優方案依然是衍生品金融工程中最有挑戰性的問題之一。有限差分和二叉樹技術引入美式期權定價，但是，模擬因其天然的優點被引入到期權定價中。Monte Carlo模擬非常適用于路徑依賴的具有美式期權屬性的期權和多個隨機變量的美式期權。模擬可以使變量隨從隨機過程，如跳跌擴散（1976，Merton、Cox和Ross）、non-Markovian過程（1992，Heath、Jarrow和Morton）甚至是半鞅過程（1981，Harrison和Pliska）。

最早在1993年，Tilly考慮使用蒙特卡羅模擬的方法來解決美式期權定價問題。此后，有許多學者提出了相應的解決方法，主要包括：Barraquand and Martineau(1995)、Grant， Vora and Weeks(1996)、Broadie and Glasserman(1997)和Raymar and Zwecher(1998)等各種模型。他們提出了著名的模型有BM模型有RZ模型，這兩個模型的履約決策過程都是比較期權的履約價值和持有價值的大小：提前履約價值是利用區域中所有路徑提前履約價值的平均值；區域的持有價值是下一期每一區域的期權價值乘上對應的轉移概率后折現的現值。其缺點是每一期分隔區域的數量不充足會造成每一區域持有價值的估計偏差。Evan， K.uske and Keller(2002)則將美式期權定價問題看作是一個最優停時問題，并且具有奇異性和Monte Carlo模擬偏差和復雜性問題。由于多維美式期權定價要解決多標的資產或者是路徑依賴，而且執行策略又由將來事件集的平均決定，所以美式期權的蒙特卡羅模擬往往具有一種雙重蒙特卡羅模擬特征。很多人都為了克服這些困難提出許多改進的美式期權蒙特卡羅模擬方法，主要有以下四種：（1）Roger(2002)提出了鞅最優化期權定價模擬方法，；（2）Longstaff and Schwartz(2001)提出了最小平方蒙特卡羅模擬方法（簡記為LSM）；（3）Chaudhary(2003)將偽隨機序列應用到LSM，形成最小平方偽蒙特卡羅模擬方法；（4）Caflisch and Goldenfeld(2004)的關于美式期權定價的質點法。運用Monte Carlo模擬對美式期權繼續持有的條件期望可以在假設前提下無偏的估計，下面綜述國際上最新研究的四種方法。

一、最小平方法：

最小平方法由Longstaff和 Schwartz于2001年在Oxford Journals上發表。最小平方法通過路徑依賴和多變量隨機過程建模來估計繼續持有的收益的條件期望，從而決定美式期權的價值。Longstaff和Schwartz通過模擬路徑的交叉信息來確定條件期望的函數。他們先通過對相關變量值的一系列基礎函數下繼續持有期權最終實現的現金流進行回歸，回歸出的最適值即是對條件期望函數的無偏估計。

假設設總共有N條路徑，T個可執行點。首先考慮第T-1個執行點的期權持有價值和執行價值。在T-1時期權是虛值期權，則顯然持有價值大于執行價值，所以考慮實值期權的價值比較。在T-1時，每一條路徑下的執行價值等于T-1時的期權內在價值，而其持有價值的計算過程則通過最小平方法計算。第i條路徑中期權繼續持有的價值等于該路徑下第T時刻可執行的現金流的折現，設有a條路徑期權是實值期權，則對應a個T-1時的標的價格和a個折現的可執行現金流，假設估計持有價值與標的價格之間滿足線性多項式的關系，最小化a個折現的可執行現金流與估計持有價值之差的平方計算出各個多項式的系數，則得到持有價值與標的價格的方程式。代入每個路徑的標的資產價格，得到T-1時該路徑的持有價值。同理繼續計算T-2、T-3…2、1時刻期權的持有價值與執行價值。當持有價值大于執行價值時，選擇繼續持有；反之，則選擇立即執行該期權。期權在t時的價格則是執行價值與持有價值的最高者。

最小平方法可以拓展到各種方式中去，可以通過考慮巨大數量的執行點來近似模擬實際期權價值。V和S的關系可能更加復雜，可能須要考慮更大的冪次項。當價值由多個變量決定時，可以通過回歸得出V與所有變量的回歸函數，通過使誤差平方最小的方式估計最適合的期望值。LSM估值運算的框架在Black和Scholes（1973）、Merton(1973)、Harrison和Kreps（1979）、Harrison和Pliska(1981）、Cox、Ingersoll和Ross(1985)、Heath、Jarrow和Montorn（1992）的基礎上發展而來。其基本框架為通過對資產價格路徑的最優近似建立LSM運算方程式。首先，在tk時刻，期權的最優策略就簡化為比較直接執行的價值和繼續持有的條件期望值的大小，美式期權應在直接執行的價值為正并且大于繼續持有的條件期望時立即執行，在假設標的資產價格服從Markov過程以此得出期權持有價值。這個模型經過多位學者檢驗，認為該模型簡單卻十分有效，在模擬美式和百慕大期權價值方面十分有力。基于這個模型結構，除LSM外也可用如加權最小平方、歸一化的最小平方或者GMM方法，應根據資產價格的內在規律采用最有效的方法建模。另外，Kernel對longstaff和Schwartz的LSM方法有所改進，他使用內部的乘法效應降低了基礎公式的特定形式的重要性。Kernel方法在運算量上更少，比LS最小平方法更加快捷。

最小平方法也有幾個缺點尚待被克服。比如多維度問題，當資產價格受更多的因素影響時，回歸出比較準確的資產價格的表達式是非常不容易的，多維的表達式會給模擬過程中十分重要的過程產生較大的偏差，從而使模擬結果不理想。所以，最小平方法比較適用于標的資產價格受較少因素影響的期權。另外，很多實證結果都表明，LSM計算過程在選擇基礎函數上十分有效，但區分不同類別資產價格的基礎函數對準確地估計資產價格路徑是十分重要的。

二、執行邊界參數化模型

以Andersen為代表的一些學者提出了執行邊界參數化模型，他們把提前執行的條件進行參數化，通過將期權在到期時的價值回推的方式來確定最優化的參數價值。仍沿用N條路徑、T個執行點的假設，并且，t時以資產價格表示的執行邊界可以被參數化為S*(t)，對看跌期權來說如果資產價格小于S*(t)，則期權被立即執行，否則在t時刻不執行。首先可以得知，第T時刻的S*(T)等于期權合約的執行價格。然后，利用S*(T)推導T-1時刻的執行邊界S*(T-1)，在此以看跌期權為例，其步驟如下：

第一步：假設S*(T-1)小于所有路徑中最小的期權價格，則所有路徑下期權均不被執行，則可計算出N條路徑下期權的平均價值，即T時執行現金流折現的平均值。

第二步：逐步提高S*(T-1)的假設值，計算出每一假設下期權的平均價值。

第三步：最優化的S*(T-1)則是平均價值最高時的S*(T-1)。

通過以上步驟推導出S*(T-2)、…、S*(2)、S*(1)，則可確定每個時刻期權執行的最優策略，美式期權的價格也可以通過平均各路徑的價值和得出。

在實踐中，成千上萬條路徑模擬來決定執行邊界條件。一旦確定了最優邊界，應拋棄價格的路徑變化，再新建一個固定最優邊界參數的Monte Calo模擬。這個方法原理簡單，然而，因其倒推的方式十分復雜，所以該模型對百慕大期權更加有效，在美式期權模擬中會異常繁瑣。在Diego Cacia的努力下，高于三維的期權定價模型通過Monte Carlo模擬也可以比較精確地估計出美式期權的價值區間。他把數量方法分為兩個部分：最優化過程，即估計提前執行的最優化條件；估值過程，即計算期權的實際價值（內在價值與繼續持有的最大價值）。

在最優化過程中，在固定一系列模擬路徑的前提下，從大量待選策略集中運算最優的提前執行規則。第一部分產生美式期權估計的第一個價格。在估值過程中，運用第一部分中計算出的最優化策略，通過新的一系列隨機路徑利用標準的Monte Carlo運算出期權價值。如果在兩個部分中運用同一個隨機路徑，則運算結果會有非常高的偏性，否則偏性十分低。在Diego的方法中，在很多的情境下近似出一個執行邊界，使偏性十分地低。通過他的研究，該種方法可以有效地模擬出美式期權、百慕大期權和其他金融衍生品的價值，并且在每次模擬次數足夠大時，同一種最優化策略的估計價值在多次以相同的過程估計時差異十分小。

三、隨機利率下的Monte Carlo模擬定價美式期權（GJ模型）

在利率為隨機過程模型下，GJ方法通常用來模擬美式期權。GJ模型中標的資產價格的波動率可假設為一個二維的Brownian過程，則可模擬出標的資產的價格。簡單起見，假設該期權只能在T1=0.5T或T時執行。如果在T1沒有執行，則該期權在T時的收益與同期限的歐式期權同值；如果在T1時刻執行時，期權可以被分為兩個部分，一個部分是同期限的歐式期權，另一部分是T-T1的歐式期權。這是GJ模型定價的核心假設，通過這樣的假設，則可依靠美式期權與歐式期權的關系成功地為估計出定價公式。

通過Monte Carlo模擬，可以比較準確地模擬出期權的價值范圍。這個方法最主要的優點是兩點執行期權與控制變量之間的高度相關性保證了快速獲取可靠的估計價格。模型的運算過程也十分容易依據不同的標的資產進行改進，特別是須要同時模擬多個期權價格時，比如在風險管理模型、資產組合的壓力測試模型和資產組合最優化模型中，如此快速地估計期權價值十分重要。通過Monte Carlo模擬的另一個好處是在估計價格的同時也可以輕易獲得價格的置信區間。因此，在考慮時間消耗和直接模擬的好處時，采用此方法也可同時兼顧估計的精確度。

四、非對稱的實際波動動態過程的Monte Carlo建模

該方法比較適合于指數期權合約。股票市場數據的高頻率和實際的波動率測試使得根據基于數據時間系列建模和更精確的時間波動率參數模型的股價估計方法更加可靠。在GARCH、ARFIMA、HAR等模型的引入下，動態的波動模型得以使美式期權建模進一步發展。經過經驗分析，有兩點與期權的實價十分相關：其一是盡管標準化的二次方根的波動測量基本是服從高斯分布的，高頻率的實際波動率測量方法使時間系列難以估計；另一點是非常高杠桿的影響很大，價格的大幅下降（上升）與指數收益的高（低）波動性始終保持一致。

在設定指數收益率的條件波動、偏度、凸度后，運用雙重不對稱的實際波動率模型（DARV）建立期權定價的框架。通過GARCH族的建模，估計未來價格的走勢，計算每次模擬期權的最高價格，得出期權價值的概率分布，從而算出期權價值的期望。

因為實際資產價格的波動率比較大，所以在用Monte Carlo模擬過程中隨機產生的波動率并不能很好地和實際吻合時，模擬的偏差會比較大。因為期權未來收益波動的非線形性，通過此方法估計的價值偏差則主要產生與此。然而，當不考慮風險溢價時，波動動態模型的Monte Carlo模擬過程則有著比較強的現實意義。隨著動態風險溢價在技術上的攻克，美式期權的動態模型將有機會發揮更大的現實作用。

總結

美式期權定價的基礎是比較直接執行期權的價值和繼續持有的期望價值的大小，如果直接執行的價值更高，則應直接執行。其具體的方法遠不止上述四種，在這里不能一一敘述。除此之外，蒙特卡羅模擬方法混合應用其他技術，比如方差減小技術、樣本路徑ITO隨機微分過程等，組合出多種美式期權蒙特卡羅模擬的方法，各種方法各有千秋，也各有不足。國內目前在這一領域的研究成果可以說比較薄弱，另外，在理論與實際應用之間也有著比較大的差異，阻礙著模擬的方法大量地走入實踐中。隨著數量化工具在實際中應用的逐漸增多，并且高性能計算機如今也十分普遍，理論界的定價方法一定會逐步走入實踐中，在實踐中發揚光大。

（作者單位：復旦大學）