例說合作課堂中的學生展示環節

【關鍵詞】合作課堂學生展示

【文獻編碼】 doi:10.3969/j.issn.0450-

9889（B）.2011.07.021

一、 教學內容

人教版全日制普通高級中學教科書（必修）數學第二冊（下A）9.9球。

二、 教學目標

1．通過球與棱錐的外接關系解決球或某些特殊棱錐的相關問題。

2．重視轉化與化歸的數學思想，提高空間想象能力及觀察、歸納能力。

3．養成嚴謹、認真的學習態度，增強積極探索的科研精神，提高合作意識。

三、 教學重點

正棱錐外接球球心的確定及半徑的求法。

四、 教學難點

棱錐外接球球心的確定。

五、 教具準備

多媒體課件，8個三角板。

六、 課前準備

學生分為8個組，每組6個人。提前兩天發導學案，課前幾分鐘分配任務：第一組板書例1，第三組點評，第六組補充并做本題小結；第四組板書例2，第七組點評；第二組板書例3，第五組點評；第八組做課堂小結。分配完畢，板書組到黑板板書解題過程。

【說明：由于導學案提前兩天發給學生，大部分學生已基本完成導學案的學習。課前板書是為了節省時間；一個組板書，另一個組展示，是為了讓學生更認真地了解其他組的解法，互相取長補短。】

七、 教學過程

1. 創設情境，導入新課

師：上一節課我們研究了球與棱柱的外接問題，知道球心就是棱柱中截面多邊形的外心，球心與棱柱頂點的連線就是球的半徑，進而可以解決球的其他問題。例如：

（多媒體展示）已知棱長為2的正方體[ABCD-A1B1C1D1]的8個頂點都在同一個球面上，求[A，B]兩點的球面距離。

提問第五組，回答：[3arccos13]。

【說明：此題是上一節課的內容，且比較簡單，所以讓學生直接回答。】

師：本節課我們在此基礎上，研究球與棱錐的外接問題。

2.合作探究，精彩展示

（1）小組內展示（3分鐘）

交流心得，統一答案，研究難題，明確分工。

（2）全班展示

師：好，時間到，下面由第三組對例1及兩個變式進行展示。

例1．已知三棱錐[P-ABC]的四個頂點都在以[O]為球心的球面上， [PA]，[PB]，[PC]兩兩互相垂直，且[PA=PB=PC=2]。求[A，P]兩點的球面距離。

變式1：三條側棱兩兩互相垂直且棱長分別為[1]，[2]，[6]的三棱錐的外接球的體積為。

第三組聶同學：下面由我代表我們組進行展示。這道題是用了補形法，把三棱錐補成正方體，正方體對角線的交點就是球心，那么就可以求出半徑，進而解決問題，結果為[3arccos13]。變式1也是利用這種方法補成長方體，結果為[9π2]。大家聽明白了嗎？（掌聲）

變式2：已知[S，A，B，C]是球O表面上的點，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB= BC=，則球O的表面積等于（）

A．4[π]B.3[π]C.2[π]D. [π]

第三組韋同學：變式2也是用了補形法補成長方體，長方體的體對角線SC就是外接球的直徑，所以可求得結果為[4π]。我們還有第二種解法——（用實物投影）因為[∠ABC]是直角，所以AC就是過A，B，C的截面圓的直徑，中點就是圓心，過圓心作平面ABC的垂線，球心在垂線上，即與SC的交點，設為O，可以證明O到4個頂點的距離相等，所以問題得到解決。（掌聲）

第三組農同學：我的解法跟前面差不多，只是更簡單一點。取SC的中點O，可以證明[ΔSAC]是直角三角形，[OA=12SC]，同理可以證明[OB=12SC]，所以O是外接球的球心，這道題也就解決了。大家明白了嗎？（掌聲）

師：目標都是找出球心和半徑。這幾種方法你們更喜歡哪種呢？

全班同學：補形法。

師：不錯，補形更為簡單、形象。（多媒體動態演示補形過程）

師：還有哪位同學有不同的想法？

第六組陸同學：（實物投影）我們是通過補形來構造直三棱柱，我們知道直棱柱外接球的球心O就是上下底面中心連線的中點，可以通過正弦定理求出底面外接圓的半徑，連結AO，利用勾股定理求出外接球的半徑，也可以解決問題。（掌聲）

師：對于這道題你們還有什么疑問嗎？

第四組的石同學：O1，O2不應該叫底面的中心，應叫外心。因為底面是直角三角形，是這樣吧？

全班同學：是。（掌聲）

師：確實做了一個很好的補充。不過反觀第六組的思路，他們其實是提供了一個解決一般化問題的解法，也就是底面是任意三角形，都可以用這種方法解決。補形往往能使復雜的問題簡單化。還有其他解法嗎？（沉默）

師：好，下一個組展示例2。

例2．一個四面體的所有棱長都為[2]，四個頂點在同一球面上，則此球的表面積為（）

A. [3π]B.[4π]C.[33π]D.[6π]

第七組農同學：（走到黑板前）下面由我們第七組展示。題目要求球的表面積，也就是要求出球的半徑。設四面體ABCD，過D作DO1垂直于面ABC，O1是正三角形ABC的中心，設球心O在高DO1上，球半徑為R，連結OB，[OB=OD=R]，在[RtΔOBO1]中，利用勾股定理可以求出球半徑，進而解決問題。解決這類問題的通法就是找出球心，根據勾股定理求出球半徑。還有什么疑問嗎？

第五組李同學：我們有點疑問，你怎么確定球心一定在高所在的直線上？

農同學：因為這是一個正棱錐，O1是正三角形ABC的中心，也就是截面圓的圓心，所以OO1垂直平面ABC，又因為DO1也垂直于平面ABC，過O1有且只有一條直線垂直平面ABC，所以O在DO1所在直線上。大家還有什么疑問嗎？（掌聲）

第三組農同學：（走到黑板前）我們還有另一種解法，就是確定球心的方式不同。過D作DH垂直平面ABC于H，過C作[CH′]垂直平面ABD，DH與[CH′]交于點O，O就是正四面體的中心。

第一組陸同學：你怎么知道點O是正四面體的中心呢？

農同學：這是一個中心對稱的幾何體，DH，[CH′]都是它的高，高的交點應該是正四面體的中心，也就是外接球的球心。連結AH并延長交BC于E，則AH可求，連結AO，則AO=DO=R，先求出DH，用勾股定理可求出R。大家明白了嗎？（掌聲）

師：兩種方法有類似的地方，都是作高，找球心，從而算半徑。（多媒體演示老師的解題過程）

師：還有沒有其他方法可以解決？

第六組陸同學:：我們組有一種解法。（實物投影）取AB的中點E，作[AO1]垂直于面BCD，[O1]為三角形BCD的中心，過E作AB的中垂線與[AO1]交于點O，則OA=OB，同理，也等于OC，等于OD，即O為球心。在[ΔABO1]中，[cos∠BAO=AEAO=AO1AB]，從中可求出AO，也就是半徑。大家聽明白了嗎？（掌聲）

師：好，還是求半徑。還有嗎？

第七組易同學：（黑板展示）我們組還有一種解法，這種解法只是專門針對這道題的。因為這是一個正四面體，每個面的面積都相等，球心到每個面的距離也相等，且球心與頂點的連線就是外接球的半徑。這樣我們就可以把正四面體分割成4個完全相等的三棱錐，利用體積的關系，可以發現[OH∶DH=1∶4]，所以[DO=34DH]，這樣求出DH，就可以求出半徑。對于一般的三棱錐，則不能用這種方法。大家還有什么疑問嗎？（掌聲）

師：這是用了切割的方法求球的半徑，但是能力要求更高了。回顧例1和它的變式，都可以補成正方體或長方體，這里是一個正四面體，會不會也是正方體的一部分？現在用一分鐘的時間組內交流一下。

師：哪個組想到了？

第四組的周同學：我們組想到了一種方法，正四面體是由正方體各個面的對角線組成。（教師用多媒體動畫演示）

師：正四面體也可以補形，所以……

全體同學：球心就是正方體體對角線的中點，體對角線就是直徑，只要求出正方體的棱長即可。

師：很好，補形確實能把復雜的問題簡單化，現在下一個組繼續展示例3。

例3．正四棱錐[S-ABCD]的底面邊長為[6]，側棱長為2，點S，A，B，C，D都在同一個球面上，則該球的體積為．

第五組黃同學：（走到黑板前）這是一個正四棱錐，過S作[SO1]垂直于面ABCD，則[O1]是正方形ABCD的中心，設球心O在高[SO1]所在的直線上，球半徑為R，連結OA，由于球心O是在高[SO1]的延長線上，所以 [OO1=R-SO1] 。在[Rt△AO1O]中利用勾股定理可以求出球半徑[R]，就可以求出外接球的體積了。大家還有什么疑問嗎？

第六組黃同學：那怎么判斷球心是在高上還是在高的延長線上呢？

第五組黃同學：因為球心O到正四棱錐各個頂點的距離都相等，所以如果高[SO1]求出來，[SO1=AO1]，則[O1]就是球心；若[SO1>AO1]，球心在高[SO1]上；若[SO1

第五組農同學：（實物投影）因為球心O在高[SO1]所在的直線上，所以過S，A，C的截面是它外接球的一個大圓，只要求出[△SAC]外接圓的半徑就是球的半徑，進而求出外接球的體積。大家聽明白了嗎？

第八組雷同學：你怎么知道過S，A，C的截面是外接球的一個大圓？

農同學：球心O在[SO1]所在的直線上，而[SO1]是[△SAC]的一條高，所以[SO1]在平面SAC內，則球心O也在平面SAC內，平面SAC截球得了一個截面圓，而它過了球心，所以是一個大圓。大家聽明白了嗎？（掌聲）

師：（多媒體動態演示作截面圓過程）這里是過正四棱錐的對棱作截面得了一個大圓，再通過正弦定理求出[ΔSAC]外接圓的半徑即球的半徑，這確實是一種好方法。

（3）課堂小結

師：好了，這節課學到這里，你們學到了什么？解決棱錐的外接球問題有哪些方法？哪些題型適用哪種方法？下面進行課堂小結。

第八組陸同學：我們來總結一下，這節課我們主要研究棱錐的外接球問題，知道解決這類問題的關鍵是要確定外接球的球心，計算出球的半徑。解決的方法有補形法，如果棱錐中有兩兩垂直的棱，往往用這種方法，補成一個正方體或長方體；還有作高，設球心在高線上，用勾股定理求出球半徑；還有作截面。（掌聲）

師：那什么樣的題型適合作高呢？正四面體適合，正四棱錐適合……

全班同學：正棱錐。（多媒體顯示課堂小結）

師：很好，對于正四棱錐，還可以過對棱作截面來求球的半徑。而補形法就是把棱錐的外接球問題轉化為棱柱的外接球問題，這就是轉化與化歸的數學思想，在解題中要注意應用，用熟悉的目光去看待陌生的事物，把未知的問題轉化為已知的問題來解決。我們還要重視用多種方法解題，用陌生的目光去看待熟悉的事物，多研究多發現。

八、 課后反思

1．通過組內展示、全班展示，學生的主觀能動性得到充分的發揮，他們積極思考、探究、討論、質疑，使整節課充滿生機與活力。只要給他們平臺，學生都愿意并且能夠做學習的主人，展示自我。

2．合作課堂，教師在課堂上的價值體現在引導與點評上。我們必須用恰當的語言引導學生思考、質疑、展示，使整節課的各環節緊密地串聯成一個有機的整體；必須用準確、簡練的語言進行點評、總結，把學生不太成熟的展示語言專業化、簡約化，使學生在最短的時間內準確地掌握知識。

（責編王學軍）

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