“問題導學”下的探究課教學模式

【關鍵詞】問題導學 探究課 教學模式

【文獻編碼】 doi:10.3969/j.issn.0450-

9889（B）.2011.07.003

數學能力宏觀上看有兩個層面，一是“獨立創造”具有社會價值的數學新成果的能力，一是在數學學習過程中“學習數學”的能力。對于中學數學教學而言，培養學生的“數學學習能力”無疑是首要任務，因為這是學生將來學習數學、運用數學、進行數學創新的基礎。但是，學習數學的最終目的，卻是數學的運用與創新。而這一切，都離不開探索，沒有了探索，任何學科都會失去靈魂。

探究課，就是在教師引導下學生參與包括探索、發現在內的獲得知識全過程的課型。對教師而言，探究課的主要任務，就是培養興趣、指導方法、鼓勵質疑、鼓勵創新；對學生而言，探究課的目的就是學習探索的方法、策略，激發創造欲望，拓展思維空間，提高求知能力。

“黃河清問題導學教學法” 探究課的教學模式，將教學過程分為四個環節：問題引入—通法探究—另辟蹊徑—總結歸納。每個環節都明確了教學的核心要素，據此組織實施教學，對有效提高教學效益、促進學生能力的發展都有重要的促進作用。以下就此作個簡要的闡述。

一、 問題引入

“問題引入”是一節探究課的關鍵，選取的問題是否具有典型性，它決定著一節課教學目標的走向。

首先，問題設置要具有探索性。波利亞曾說過：“我們所指的問題，不僅是尋常的，它還要求人們具有某種程度的獨立見解、判斷力、能動性和創造精神。”對于課堂教學而言，問題的設置必須考慮它能否給學生一個充分自由思考、充分展現思維的空間，讓學生在一種改變思維方式就能引發新的結論的情境中去探索，學生的思維能力才能得到有效的訓練。

其次，問題要能激“惑”。學生的探索活動都是以“惑”為前提的，“惑”是人類心理活動的內驅力，是引導思維、啟迪智慧的重要的心理因素。因此，設置的問題要聯系實際，使教學的客觀要求與學生已有經驗形成矛盾，讓“惑”誘導學生思維的靈感，讓“惑”激發學生的興趣和欲望。

再次，把握問題設置與學生“最近發展區”的關聯性。問題要能激發學生的原認知力，使探究過程成為學生在自己原有認知的基礎上逐步探索、逐步認知、逐步攀升的構建過程，讓學生充分享受到“翻箱倒柜” 的探究求解體驗，使探索成為符合學生認知水平的智力與情感體驗，培養學生主動探究、主動思考、主動建構的意識和能力。

二、 通法探究

通法，指對一類問題的共同特征進行處理解決的通用策略。宏觀上看，解題過程存在著大量共同的客觀規律，通法探究，就是讓學生掌握這種客觀規律的表現形式——解題決策模式，它是解題思維起步必須遵循的最一般的活動規律。而從微觀上說，通法體現了最基本的數學思想方法，是培養學生學會運用知識解決問題的基本手段，這是解題教學的重要內容。

通法探究，著重解決三個問題：

一是通法的“合理性”。為什么通法是解決問題最一般的方法？教師要從它的邏輯結構、方法本質上向學生闡述其合理性，讓學生理解通法之所以“通”，是因為它遵循了解題的基本原則，符合知識發生發展最一般的規律，是解決問題最普遍的法則，促進學生提高對通法內涵的認識和掌握。這是學生學會運用通法解決問題的基礎。

二是通法的“針對性”。“通”也是相對的，對于一類問題而言，它又是啟發數學解題思維的具體方法。因此，要讓學生在對通法探究的過程中，了解通法產生的來龍去脈，想通“為什么想得到它（通法）”的思維進程，明白“通法”對解決一類問題的“針對性”，將“通法”內化為自己的知識結構，從而學會舉一反三，觸類旁通。

三是通法的“程序性”。通法作為解決問題的基本工具，怎樣讓學生熟練掌握并靈活運用，就成為教學的一大任務。因此，這一環節的教學，教師要注重向學生強調、分析運用“通法”解題的基本程序、應用范圍、解題規范等，并加強例題的典范作用，使學生對通法運用有深刻的認識，能熟練掌握和運用通法去解決實際問題。

三、 另辟蹊徑

“另辟蹊徑”是探究課的核心環節，在“問題”引導下，讓學生學習怎樣從問題的條件或結論所具有的特征，通過自主轉換思維角度，尋求出區別于常規的解題方案。

“另辟蹊徑”環節的教學，教師要重點解決三個方面的問題，給學生具體的要求和適當的引導：

第一，引導學生學習轉換思維的方法。事實上，數學問題的解決過程就是一系列轉化的過程。從思想層面看，轉換有化高次為低次，化多元為一元，化高維為低維，化超越方程為代數方程等；從具體內容上看，轉化有加減法的轉化，乘除法的轉化，乘方與開方的轉化，對數與指數的轉化，數形轉化等；而添置輔助線，設輔助元，構造方程，構造不等式，構造模型等，則是實現轉化的具體手段。教師要通過這個環節的教學，引導學生感悟這些思想方法的特征，不斷學會尋找“另辟蹊徑”的切入點，拓展創新思維的空間。

第二，抓符合學生思路的問題解決。學生在探索的過程中，思考問題的角度常常帶有很大的獨立性，其思路與教師的想法常常相距甚遠。這就要求教師要學會贊賞其獨到的見解，并給予學生展示這種想法的機會。在這基礎上，教師要對這種思路進行評價，幫助學生解決認知上的結構度、理解度、記憶度、靈活運用度。長此以往，學生就會逐步脫離對教師的依賴，充分發揮、發展自己的獨立性，形成獨立學習和獨立解決問題的能力。

第三，對學生的探索給予積極的評價。事實上，學生探索的過程或結果，常常不全是合情推測的結果，而是思維的直覺和發散的產物，這樣的探索是否合乎邏輯、合乎算理，是否是有效的推理，學生并無清楚的認識。因此，教師要注重從不同的角度、不同的維度、不同的層次幫助學生理解其想法的合理性，以及想法中所蘊含的數學思想，尊重和贊賞學生獨特的和富有個性化的探索活動，這對鼓勵學生堅持探索的信心會起到積極的幫助和影響。

四、 總結歸納

一節探索課，開展了眾多思維的訓練，面對成功或失敗的種種探索，怎樣在頭腦大量的認知中總結出最精華的思想、方法，這對學生而言是比較模糊的，需要教師引導、升華。通過這一環節的教學，教師要著重提高學生的信息素養，包括：高效獲取信息的能力，熟練、批判性地評價信息的能力，有效吸收、存儲、快速提取信息的能力，傳達信息、創造信息的能力，從而將駕馭信息的能力轉化為自主、高效的學習與交流的能力，這是提高學生創新思維品質的重要手段。

這一環節的教學，要抓好以下三個重點：

一是對學生探索的方法特點“結構化”。學生的每一個探索活動都包含了眾多的因素，主要有：思維的邏輯起點、探索活動的結構特點、有何規律性等，教師引導學生對探索活動的這些特點進行分析、概括，讓學生明確這些方法的合理性與局限性，明確每一種方法的邏輯結構與本質特征，形成完整的知識結構，這對學生今后應用這些方法進行探索實踐是非常重要的。

二是將探索過程中的數學思想“明晰化”。每一個探索過程，都滲透了很多重要的數學思想方法，但這些數學思想在探究的過程中，往往是一種樸素的運用，學生并沒有意識到，通過這一環節的點撥、總結、提煉，學生對這種數學思想方法的本質和它在探究過程中的作用，都會有重新的認識和感悟。堅持這樣訓練，學生就會逐步將這種思想、意識內化為自己的認識，從而不斷提高數學思維的能力。

三是把探索過程中的精彩之處“亮點化”。學生在探索過程中“山窮水盡疑無路”時思維是怎樣轉換的，“柳暗花明又一村”時又是怎樣“水到渠成”的，這種在碰撞中迸發火花，在碰撞中生成智慧的深切感悟，對發展學生思維品質影響巨大，也是一節探究課最精彩的一環，教學中注重對這些思維狀況進行反思、抽象、概括，將其提升到一個高度，形成“亮點”，會讓學生對探索活動有更深刻的記憶，對數學探究的魅力充滿更多的期待，成為學生進行創新實踐強大的“催化劑”。

以下以一個案例為例，詮釋探究課教學模式的思想和方法。

案例：一道習題的解法探究（節選）

一、 問題引入

題目：在橢圓[x245+y220=1]上，求一點[P]，使它與兩焦點的連線互相垂直（人教版高二數學（上）。

師：同學們，這是課本中一道非常好的習題。說它“好”，一是從思維的角度看，它有很多切入點去求解；二是通過對其解法的探究、歸納、總結和拓展，我們能對圓錐曲線的性質及一般解題方法和規律理解得更深刻。

（習題的選取具有典型性，它突出了所研究問題的目的性、啟發性、示范性、延伸性、規律性，激發了學生探究的熱情，為組織教學搭建了一個很好的平臺。）

二、 通法探究

問題1：你能想出盡可能多的方法來解答這個問題嗎？

（引導學生思考、解題。共得出以下六種解法，分別請學生口述教師板書）

解法1： 由[a=35，b=25，c=5]，設[P(x0，y0)，F1(-5，0)，F2(5，0)]。

由[PF1⊥PF2]，[k1k2=-1]，有

[y0x0+5#8901;y0x0-5=-1] ①

[x0245+y0220=1]②

聯立①②得[x02=9y02=16。]

∴滿足條件的點有4個（3，4），（3，-4），（-3，4），（-3，-4）.

解法2：∵[PF1⊥PF2] ∴[P]點在以[F1F2]為直徑的圓周上，故有[x20+y20=25]，聯合[x2045+y2020=1]，余下同解法1。

解法3：∵[PF1=](-[x0]-5，-[y]0)，

[PF2=(5-x0，-y0)]由[PF1⊥PF2]，[得PF1#8901;PF2=0]。

∴[(-x0-5，-y0)(5-x0，-y0)=0]即[x20+y20=25]，余下同解法1、2。

解法4：∵[PF1=35+53x0，]

[PF2=35-53x0，][PF1⊥PF2]。

∴在[RtΔF1PF2]中，[PF12+PF22][=F1F22]代入得[x20=9]，余下略。

解法5： 設[x0=35cosθy0=25sinθ，]

[PF12=(35cosθ+5)2+][(25sinθ)2] ，

[PF22=(35cosθ-5)2+][(25sinθ)2]，

由勾股定理：[|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，] 得[cosθ=±15 ，sinθ=±25 ，] 余下同解法1.

解法6：設[m=|PF1|，n=|PF2|]，由[m2+n2=102][#8658;][100=(m+n)2-2mn]

[#8658;] [mn=40]

∴[S=12mn=20]. 又[S=12|F1F2||y0|]

∴[|y0|=4]余下同解法1。

問題2：你能歸納出每一種解法各有什么特點嗎？

（引導學生分析回答，教師評說）

解法1特點：在解析幾何中，兩直線垂直通常用斜率乘積等于-1來表示。

解法2的特點：運用交軌法，P點是橢圓上的動點，當[PF1⊥PF2]時，可以把它看成是在以[F1F2]為直徑的圓周上運動，把它看成是兩條曲線的交點，就可以求點P的坐標了。

解法3的特點：構造向量用兩個向量的數量積等于0 來解決。

解法4的特點：在[RtΔF1PF2]中，因為斜邊[F1F2]已知，如果兩條直角邊[PF1，PF2]能用P點坐標表示，那么利用勾股定理就可以解決了。而表示[PF1，PF2]用焦半徑公式就很簡單。

解法5的特點：在[RtΔF1PF2]中，由于P點在橢圓上，所以P點坐標可以用橢圓的參數方程來表示。這減少了未知數的個數，用勾股定理建立方程就可以了。

解法6的特點：用面積法，因為三角形[F1PF2]的面積可用兩種方法表示：[S=12PF1PF2和][S=12F1F2yP]建立方程也可以求解。

問題3：請同學們自我對照評價一下，以上哪種解法更符合你的思維習慣？哪一種解法你覺得比較難發現思路？

生1：解法1比較容易想到，因為在解析幾何中，垂直關系通常用斜率表示，解法3也可以想到，解法2如果在橢圓這節內容中沒學過的話，一時也不容易想到這種解法。

生2：因為求點的坐標實際上是求未知數[x、y]，它一定要解方程組，一般很麻煩，我想如果能減少未知數的個數，問題可能簡單些。于是我認為利用焦半徑法和參數方程法更簡單些，因為這兩種方法都只有一個未知數，因此我可以想到解法4、法5。

生3：解法3雖然不易聯系到向量的知識，但解題思路清晰，容易接受。

生4：解法6雖然是解直角三角形問題，但變形技巧要求太高，同時又要用面積公式，而且還要用橢圓的定義，“彎”繞得很大，難以想到。

生5：解法6我是這樣發現的，即從減少未知數的個數入手，結合橢圓的定義，求出[PF1#8901;PF2]的積等于40，用三角形面積相等建立方程就可求得[y]了。

師：非常好。從上述解法中，我們可以得到這樣的啟示：解析幾何中解有關垂直問題，關鍵在于準確把握 “垂直”這一概念是如何反映的，如從直線方程上看，其特征為[k1k2=-1]；從向量的特征看出，是[PF1#8901;PF2=0]；還可以從解三角形知識入手，通常可以用勾股定理、面積公式等知識來解決，正如以上六種解法所敘述的。而從數學思想的層面看，其核心就是“轉化”的思想，將“垂直”轉化為符號語言、圖形語言，從中尋找規律，實施解題，這正是解決數學問題的一般規律，需要很好的掌握。

（問題2、問題3的設置，體現了“教服從于學”的教學思想。學生對知識的學習要有優化的過程，教師的教學要把學習的主動權交給學生，讓學生剖析自己的觀點，學會對問題進行比較，自主“構建”符合其認知水平的知識體系，在此基礎上，教師進行總結、提煉，將學生的認識上升到數學思想的層面，給學生展示了更高的視野。這種既遵循學生的認知規律，又有意識、有目的地對學生進行訓練和培養的做法，正是“問題導學” 教學法的重要思想。）

三、 另辟蹊徑

問題4：請同學們認真分析思考，解法6中存在一些規律性的東西嗎？

師：在解法6中，利用了面積法計算得 [SΔF1F2=20]，大家觀察一下這個結果是否有一些特殊？（學生觀察）

生：與橢圓方程中的[b2]相同。

師：這是偶然的呢？還是蘊含著某種規律？滿足題設條件的面積[S=b2]一定成立嗎？

教師變式：

問題5：如果我們把問題推廣，改為：[P]是橢圓[x2a2+y2b2=1]上一點，[F1]，[F2]為兩焦點，當[∠F1PF2=θ]時，求點[P]的坐標及三角形[PF1F2]的面積。你是否還能用上述解法的思路來求解？

（學生求解，得出答案：

[xP=][acc2-b2tanθ2][yP=b22tanθ2]

[S=b2tanθ2]）

問題6：這樣的結論是否具有一般性？

師：先請同學們再來思考這樣一個問題：（教師為問題解決作鋪墊）

在橢圓[x2100+y264=1]上有一點[P]，使得它與兩焦點的連線成[120°]，求面積[SΔPF1F2]。

生6：利用上面結論[S=b2tanθ2]得 [S=643]

師：請把你的解答過程寫出來，供大家欣賞！

生6：如圖

[S=12|PF1||PF2|sin120°=34|PF1||PF2|]

又 [a=10，b=8#8658;c=6] ，

[在ΔF1PF2]中，[|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-]

[2|PF1||PF2|cos120°]

代入，得[|PF1||PF2|=256]

∴[S=34#8901;256=643]。

師：大家覺得他的解法對了嗎？

眾生：對！我們認為做得很好！

師：好，現在請同學們觀察，當[P]點在什么位置時，三角形的面積最大？

生8：因為底邊[F1F2]為定值，高為b時最大，所以當點[P]在短軸的兩個端點時，面積最大。

師：不錯，那現在請大家來計算這個最大面積。

生9：S=bc=48，48[<]64[3]。

（一石激起千層浪，這時學生似乎感到有些不對勁了，教室里突然間安靜下來，緊接著學生開始討論起來，問題不斷……）

師：上述答案是否有問題？

生10：好像[∠F1PF2]是取不到[120°]的！

師：為什么？請你解釋給大家聽聽。

生10：當點[P]落在橢圓的頂點[B1]或[B2]時，[∠F1PF2]最大，設[∠F1PF2]=[θ(θ∈(0，π))]，

[sinθ2=ca=35，cosθ2=45]

[∴cosθ=cos2θ2-sin2θ2=725>0]

∴[θ]為銳角，取不到[120°]。

師：非常好！那[∠F1PF2]有范圍限制嗎？

生11：我想應該有。

師：如果有，那限制條件又是什么呢？怎樣才能找到這個限制條件？

生12：應該與橢圓的形狀有關。

師：橢圓的形狀也就是它的圓扁程度，又由哪個量來確定？

生13：由離心率[e]確定。

師：既然這樣，我想請大家來思考下面問題：

如果橢圓[x2a2+y2b2=1]上存在點[P]，使得[∠F1PF2=θ]，問橢圓的離心率[e]應滿足什么條件？

學生陷入了深深的思考中……

生14：由推廣引申的結論[xp=][acc2-b2tanθ2]，要使存在滿足條件的點[P]，必須[c2-b2tanθ20]，化簡，得[sinθ2e<1]。

師：好，做得非常漂亮，我們得到了一個非常重要的結論：要使橢圓[x2a2+y2b2=1]上存在點[P]使得[∠F1PF2=θ]，則橢圓的離心率[e]應滿足：[sinθ2e<1]。從這個結論的發現過程中，讓我們感受到了探索數學問題的奧秘和樂趣，這種“另辟蹊徑”是培養創新思維的重要手段，希望同學們很好去體會。

（學會變式，就是要觀察數學問題是如何從簡單演變、派生到復雜的，理解“變式”的基本思路，掌握變式的思維方法，學會歸納出解決問題的方法、策略與技巧。教師在組織“變式”的過程中，要注重順勢就學生的問題展開討論，引發一系列的沖突和矛盾，使學生從困惑到驚訝，從思考到頓悟，思維活動得到充分的展開）

四、 總結歸納（略）

探索是數學的生命線，但探索并不神秘，也非高不可攀。“問題導學教學法”下的探究課“四環節”的教學模式，構建了課堂教學實施探究的基本策略，它圍繞“問題”這樣一條主線，注重從最基本的問題開始，鼓勵學生的自主探索和實踐。只要我們在教學中認真去思考、總結和完善，數學探索課不僅可行，而且必將能為學生的發展提供更加廣闊的空間和舞臺，在學生數學能力的培養中發揮出更大的作用。（責編黃珍平）

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