“問題導(dǎo)學(xué)”下的復(fù)習(xí)課教學(xué)模式

【關(guān)鍵詞】 問題導(dǎo)學(xué)探究課教學(xué)模式

【文獻(xiàn)編碼】 doi:10.3969/j.issn.0450-

9889（B）.2011.07.004

復(fù)習(xí)課，指依據(jù)記憶規(guī)律，通過特定的課堂教學(xué)活動(dòng)對學(xué)生已經(jīng)建構(gòu)的知識(shí)進(jìn)行鞏固、拓展的課型。其主要任務(wù)是：在引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)舊知的過程中，深化學(xué)生對所學(xué)內(nèi)容的理解，進(jìn)一步系統(tǒng)地掌握基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本方法，完善知識(shí)結(jié)構(gòu)，提高綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)，分析和解決問題的能力。

從知識(shí)與技能目標(biāo)上看，復(fù)習(xí)課重在構(gòu)建知識(shí)體系，將知識(shí)內(nèi)容結(jié)構(gòu)化，這種“學(xué)科結(jié)構(gòu)觀點(diǎn)”也是現(xiàn)代教學(xué)的重要思想；從過程與方法的目標(biāo)上看，復(fù)習(xí)課不是知識(shí)的簡單“重復(fù)”，而是提高、拓展，要引導(dǎo)學(xué)生深入挖掘知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系和進(jìn)行系統(tǒng)整理；從情感態(tài)度價(jià)值觀的目標(biāo)上看，在組織知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的過程中，要引導(dǎo)學(xué)生感悟知識(shí)的應(yīng)用情感。

“黃河清問題導(dǎo)學(xué)教學(xué)法”復(fù)習(xí)課教學(xué)模式，將教學(xué)過程分為四個(gè)環(huán)節(jié)：知識(shí)回顧—自主構(gòu)建—應(yīng)用探索—總結(jié)歸納。每個(gè)環(huán)節(jié)都明確了教學(xué)的核心要素，為教學(xué)的組織實(shí)施提供了一條明確清晰的思路和范式，有助于提高教學(xué)效益，促進(jìn)學(xué)生能力的發(fā)展。以下就此作個(gè)簡要的闡述。

一、 知識(shí)回顧

“知識(shí)回顧”是一節(jié)復(fù)習(xí)課的基礎(chǔ)，其重點(diǎn)在于兩個(gè)方面：一是引導(dǎo)學(xué)生系統(tǒng)回顧所學(xué)知識(shí)；二是有針對性地對疑難問題進(jìn)行分析、講解，強(qiáng)化學(xué)生對所學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的理解和對基本方法的掌握。這一環(huán)節(jié)要注重解決以下三個(gè)方面的問題：

一是問題設(shè)置。根據(jù)“問題導(dǎo)學(xué)教學(xué)法”的關(guān)聯(lián)性原則，問題的提出重在引導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行“回顧”，可從知識(shí)的發(fā)展脈絡(luò)、重要概念的產(chǎn)生和發(fā)展過程、基本方法的來龍去脈等方面去設(shè)計(jì)，使問題具體化，形成有效鋪墊，讓學(xué)生有針對性地去思考、回憶。

二是能激發(fā)學(xué)生展開聯(lián)想、總結(jié)。通過問題引導(dǎo)，使學(xué)生積極開展自主疏理知識(shí)、自主尋找規(guī)律、自主剖析錯(cuò)誤的學(xué)習(xí)活動(dòng)，加深對所學(xué)內(nèi)容的認(rèn)識(shí)，初步對知識(shí)的框架做到有自己的思考。教師在這過程中要注重評價(jià)和指導(dǎo)，特別對于學(xué)生的疑惑要給予點(diǎn)撥，幫助學(xué)生對其思考的知識(shí)主線進(jìn)行提煉、總結(jié)。

三是引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)聯(lián)系、整合。通過對知識(shí)的回顧，逐步把相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)建立起相互聯(lián)系，不斷地把知識(shí)小結(jié)構(gòu)組合成中結(jié)構(gòu)、大結(jié)構(gòu)，最終組合成一個(gè)系統(tǒng)整體。

二、 自主構(gòu)建

自主構(gòu)建是一節(jié)復(fù)習(xí)課的重點(diǎn)。復(fù)習(xí)課對學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法的要求與新授課是有區(qū)別的。對基礎(chǔ)知識(shí)，復(fù)習(xí)課重在引導(dǎo)學(xué)生建立知識(shí)間的聯(lián)系，學(xué)會(huì)綜合運(yùn)用；而對基本方法的要求是：要學(xué)會(huì)變化。通過變化，將方法的內(nèi)涵、本質(zhì)延伸、牽移，轉(zhuǎn)化為相關(guān)問題進(jìn)行求解。因此，這一環(huán)節(jié)上的主要任務(wù)，就是要圍繞“聯(lián)系”、“變化”兩個(gè)關(guān)鍵詞來展開。

首先，問題的設(shè)置要重在促進(jìn)學(xué)生將前后知識(shí)聯(lián)系起來，要抓住概念和基本方法這個(gè)切入點(diǎn)，通過問題引導(dǎo)學(xué)生將基本知識(shí)、方法串連起來，形成完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

其次，幫助學(xué)生構(gòu)建“自己的”知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。由于每個(gè)人的思維習(xí)慣是不一樣的，對問題的理解和看法也會(huì)有所不同，記憶的方式也各有特點(diǎn)，教師要注重?fù)Q位思考，引導(dǎo)學(xué)生按照自己熟悉的學(xué)習(xí)和記憶方式去總結(jié)、構(gòu)建，形成個(gè)性化的知識(shí)結(jié)構(gòu)。

再次，就是引導(dǎo)學(xué)生對構(gòu)建的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)化和技能化。學(xué)生在嘗試構(gòu)建的過程中，帶有很強(qiáng)的主觀性，也會(huì)存在一定的片面性，教師要注重引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分析、比較，形成更為合理、科學(xué)的知識(shí)體系。同時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生思考別人的構(gòu)建，把對自己有用的東西內(nèi)化為自己的認(rèn)識(shí)，使知識(shí)網(wǎng)絡(luò)更為充實(shí)。

三、 應(yīng)用探索

應(yīng)用探索是一節(jié)復(fù)習(xí)課的關(guān)鍵。知識(shí)是“死”的，而運(yùn)用則是“活”的，學(xué)習(xí)的知識(shí)能否真正為己所用，通過解決實(shí)際問題就可以很好的檢驗(yàn)。因此，要精選有針對性和典型性的例題、習(xí)題，引導(dǎo)學(xué)生探索，既強(qiáng)化學(xué)生知識(shí)的系統(tǒng)性，又注重糾正學(xué)生應(yīng)用知識(shí)可能出現(xiàn)的問題和偏差。

這一環(huán)節(jié)的問題設(shè)置，重在加強(qiáng)問題的針對性。要注重以知識(shí)技能、知識(shí)間的縱橫聯(lián)系及思想方法等作為問題設(shè)置的主線，問題既要源于教材，又不拘泥于教材，注重基礎(chǔ)又要兼顧能力，使學(xué)生“跳一跳”就能夠摘得到。

同時(shí)，要注重抓好“鋪墊”。要思考學(xué)生探索過程中可能出現(xiàn)的問題和困難，適當(dāng)搭建階梯，讓學(xué)生“想探索、能探索”，激活學(xué)生的思維。同時(shí)，要注重引導(dǎo)學(xué)生積極參與討論，敢于發(fā)表自己不同見解，力爭自己解決問題。即使沒有探索出結(jié)果，也要鼓勵(lì)學(xué)生在充分思考的基礎(chǔ)上再去聽老師講解，這樣才能加深對知識(shí)和方法的掌握和理解。

最后，要認(rèn)真對學(xué)生的解題方法進(jìn)行評價(jià)。學(xué)生經(jīng)過艱苦探索發(fā)現(xiàn)的方法，其特點(diǎn)是什么，有何啟發(fā)性，運(yùn)用到了哪些數(shù)學(xué)思想，或者為何探索受阻，問題的根源是什么等，教師要適時(shí)給予點(diǎn)評，幫助學(xué)生總結(jié)規(guī)律，這對學(xué)生形成解題的經(jīng)驗(yàn)、提高解題能力有重要影響，這樣促進(jìn)學(xué)生學(xué)會(huì)舉一反三，觸類旁通。

四、 總結(jié)歸納

總結(jié)歸納是一節(jié)復(fù)習(xí)課的升華。怎樣優(yōu)化知識(shí)結(jié)構(gòu)、掌握解題方法、感悟數(shù)學(xué)思想、吸取探索得失、形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，需要教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行歸納、總結(jié)，幫助學(xué)生形成知識(shí)經(jīng)驗(yàn)。

這一環(huán)節(jié)要注重三個(gè)層面的問題：

一是要簡明扼要地歸納本節(jié)課教學(xué)的核心內(nèi)容。它包括：重要知識(shí)點(diǎn)的內(nèi)涵、外延，探索過程運(yùn)用到的主要數(shù)學(xué)思想方法，本節(jié)課的“亮點(diǎn)”所在，學(xué)生存在的主要問題等，總結(jié)要精煉，畫龍點(diǎn)睛，易于理解、記憶和掌握。

二是總結(jié)歸納知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。要引導(dǎo)學(xué)生分析本節(jié)課復(fù)習(xí)的知識(shí)與其他知識(shí)點(diǎn)的相互聯(lián)系，及其在教材中的地位和作用；本節(jié)課數(shù)學(xué)思想方法運(yùn)用上的特點(diǎn)與研究范圍。這一環(huán)節(jié)還要注意將學(xué)生的個(gè)體歸納與全體歸納相結(jié)合，讓學(xué)生既有思維的獨(dú)立又有相互的借鑒，因?yàn)閷W(xué)生對自己總結(jié)歸納出來的結(jié)論往往很珍惜，容易牢記這些“成果”。

三是注重強(qiáng)化抽象、概括的過程。學(xué)生在自主歸納總結(jié)中往往帶有很強(qiáng)的局限性和不完整性，教師要及時(shí)引導(dǎo)和糾正，既要注意全班普遍性的薄弱環(huán)節(jié)，又要兼顧個(gè)別學(xué)生存在的問題，將完整的知識(shí)體系和數(shù)學(xué)思想方法呈現(xiàn)給學(xué)生，這對培養(yǎng)學(xué)生思維的全面性和深刻性有重要的作用。

案例： 降冪變換與添加輔助角（高三第二輪復(fù)習(xí)課）

一、 知識(shí)回顧

問題1：在第一輪復(fù)習(xí)中，我向同學(xué)們提出了復(fù)習(xí)基礎(chǔ)知識(shí)的基本要求，還記得它是什么嗎？

——“不僅求會(huì)，更要求聯(lián)（系）”。就是說，不僅要理解知識(shí)的內(nèi)涵、外延等本質(zhì)特征，更要思考數(shù)學(xué)知識(shí)、方法間的相互聯(lián)系，特別是它們在不同章節(jié)是怎樣應(yīng)用的，重在抓住“聯(lián)系”這個(gè)核心要素。

問題2：在第二輪復(fù)習(xí)中，我們要樹立怎樣的復(fù)習(xí)觀念呢？

就是：對于基本方法——“不應(yīng)求全，而要求變”。

因?yàn)椋覀兪遣豢赡馨阉袛?shù)學(xué)方法都能做到熟練掌握的，但是，我們可以變，可以將一些方法的內(nèi)涵、本質(zhì)延伸、牽移，將相關(guān)問題轉(zhuǎn)化求解，做到舉一反三。

怎樣變化？本節(jié)課通過對兩種基本方法的復(fù)習(xí)與研究，學(xué)習(xí)如何將有關(guān)問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解。

二、 自主構(gòu)建

基本問題研究：

問題3：請同學(xué)們觀察以下問題：

（1）將[a]sinx+b cosx化為一個(gè)角的三角函數(shù)形式；

（2）求y=cosx+sinx的最大最小值；

（3）求y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最大最小值。

你能發(fā)現(xiàn)這三個(gè)式子間的關(guān)系嗎？

評說：這三個(gè)問題，分別是課本例題、課本習(xí)題、高考題（多次出現(xiàn)，如2006年遼寧高考題），它們是密切相關(guān)的。在（1）中令[a]=b=1，得（2）；（2）中用2x代x，按二倍角展開，再添加常數(shù)2（1=sin2x+[cos2]x），化簡即為（3）。

可見，它們雖然形式不同，但從解題的本質(zhì)上說都是一樣的：可化為一個(gè)角的三角函數(shù)求解。（1）、（2）形式比較明顯，困難就在于，怎樣把（3）化為（1）、（2）的形式？

解：y＝sin2x[+]2sinxcosx+3cos2x

[=1-cos2x2+sin2x+3#8901;1+cos2x2]

[=]2[+]sin2x[+]cos2x

[=2sin(2x+π4)+2] 。

所以函數(shù)y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最大值為[2+2]，最小值為[2-2]。

問題4：三個(gè)問題的解決中都用到了哪些重要的數(shù)學(xué)變換？

評說：

（1）降冪變換：sin2x[=1-cos2x2]，cos2x[=1+cos2x2] ；

（2）添加輔助角：[asinx+bcosx=]

[a2+b2sin(x+φ)]，其中[φ]由[tanφ=ba]確定。

這兩種變換是我們解決一類可化為 [y=][Asin(ωx+φ)+B] 問題的基本方法，也是我們這節(jié)課要熟練掌握的方法。

（我們經(jīng)常強(qiáng)調(diào)要讓學(xué)生“回到”課本，怎樣“回”？教師要有具體的方法指導(dǎo)。這就需要教師加強(qiáng)研究，看看高考的要求是如何在課本的基礎(chǔ)上變化、提高的，研究這種“變”的依據(jù)是什么，它是如何拓展的，幫助學(xué)生深入理解課本知識(shí)的基礎(chǔ)性，做到正本清源，抓住根本。）

三、 應(yīng)用探索

典例精析（2006年高考題）：

例1已知函數(shù)f（x）=2sin2x+2[3]sinx

cosx+1 ，

（1）寫出f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）若不等式f（x）-m≥0對一切x∈［0，[π2]］都成立，求實(shí)數(shù)m的最大值．

問題5：本題與上述范例有哪些聯(lián)系與區(qū)別？

共同點(diǎn)：所給式子都有二次項(xiàng)，都有兩項(xiàng)積sinxcosx，都是研究函數(shù)的性質(zhì)（如定義域、值域、單調(diào)性、周期性等問題）。

不同點(diǎn)：將問題引申到不等式中，或者說一類不等式問題也可以轉(zhuǎn)化為研究三角函數(shù)的性質(zhì)問題。

解：（1）∵f（x）=1-cos2x+[3]sin2x+1=2sin(2x-[π6])+2，

令[2kπ-π22x-π62kπ+π2#8201;(k∈Z)#8201;，#8201;]解得：[kπ-π6xkπ+π3#8201;(k∈Z)，]

∴ f（x）"的單調(diào)遞增區(qū)間是

"［[kπ-π6，#8201;kπ+π3]］[(k∈Z)]

（2）∵0≤x≤[π2]

∴[-π62x-π656π]

∴[-12sin#8201;(2x-π6)1]

∴1≤f（x）≤4，∴m≤1， 即m的最大值為1 。

問題6：從這道例題的解答中你能得到什么啟示？

評說：

（1）要研究三角函數(shù)性質(zhì)，通過降冪變換、添加輔助角兩種基本方法轉(zhuǎn)化為[y=][Asin(ωx+φ)+B]，進(jìn)而求解，這是解決此類類問題的通法；

（2）對一類恒成立問題，可化為求目標(biāo)函數(shù)[f(x)]的最大（小）值來求解。學(xué)會(huì)比較，是實(shí)施轉(zhuǎn)化的前提，只有注重求同存異，才能引發(fā)聯(lián)想，做到舉一反三，觸類旁通。

（例題的一個(gè)重要功能就是它的啟發(fā)性。本題通過研究例題與引入問題的三個(gè)式子的聯(lián)系：形式上、方法上有何區(qū)別與聯(lián)系，讓學(xué)生抽象出本質(zhì)的東西——數(shù)學(xué)的思想方法：降冪變換與添加輔助角。而在變化的過程中，相比前面觀察的三個(gè)式子在哪些方面有創(chuàng)新？這種總結(jié)、思考，怎樣以小見大，正是培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性的重要手段。）

例2：設(shè)函數(shù)[f(x)=a#8201;#8901;(b#8201;+c#8201;)]，其中[a#8201;=(sinx，-cosx)，#8201;#8201;][#8201;b#8201;=(sinx，-3cosx)]，[c#8201;=(-cosx，sinx)，#8201;#8201;#8201;x∈R.]（1）求函數(shù)[f(x)]的最大值與最小正周期。（2）將函數(shù)[y=f(x)]的圖象按向量[#8201;d#8201;]平移，使平移后得到的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對稱。求長度最小的[#8201;d#8201;]。

問題7：你覺得這道題的特點(diǎn)是什么？

本題有兩個(gè)突出的特點(diǎn)：一是它沒有直接給出含三角函數(shù)的等式，而是以向量為載體，通過轉(zhuǎn)化才能化為類似例1的形式；二是對于問題（2），無論是用代數(shù)方法解還是通過圖象法求解，怎樣選取向量[#8201;d#8201;]對一些同學(xué)都是認(rèn)知上的難點(diǎn)，要認(rèn)真把它弄清楚。

解：（1）由[f(x)=a#8201;(b#8201;+c#8201;)]

[=(sinx，-cosx)(sinx-cosx，sinx-3cosx)][=sin2x-2sinxcosx+3cos2x]

[=2+cos2x-sin2x=2sin(2x+34π)+2] 。

故[f(x)]的最大值為[2+2]，最小正周期為[π]。

（2）法一：由[sin(2x+34π)=0#8201;#8201;]

[得#8201;#8201;2x+34π=kπ]，即[x=kπ2-38π#8201;#8201;(k∈Z)]

于是[#8201;d#8201;][=(38π-k2π，#8201;#8201;-2)#8201;#8201;#8201;#8201;]

[|d|=(kπ2-3π8)2+4#8201;#8201;(k∈Z)] 。

要使[#8201;d#8201;]最小，則只有k=1此時(shí)[#8201;d#8201;][=(-π8，#8201;#8201;-2)]為所求。

法二：描點(diǎn)作圖，依題意，按向量[#8201;d#8201;]平移，使平移后得到的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對稱，這樣的向量有[#8201;d#8201;]無數(shù)個(gè)，而長度最小的[#8201;d#8201;]只有一個(gè)，就是向量[BO#8201;]，即[#8201;d#8201;][=(-π8，#8201;#8201;-2)]

小結(jié)：通過例題的解答我們可以看出，這類問題的共性就是要化為一個(gè)角的三角函數(shù)求解，而“萬變不離其中”，前提就是要掌握“降冪變換、添加輔助角”兩種基本方法，在此基礎(chǔ)上，問題可以拓展到與其他知識(shí)的聯(lián)系和整合上，衍生為綜合性的問題。

（學(xué)習(xí)是為了應(yīng)用。例題中抽象出來的方法能否引申為一般的方法，對相關(guān)問題的解決有否指導(dǎo)意義？這都是教師要引導(dǎo)學(xué)生深入思考的。特別，對于以其他知識(shí)為載體的有關(guān)問題，能否利用化歸的思想轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題來處理？怎樣應(yīng)用？通過教師的引導(dǎo)，讓學(xué)生進(jìn)行探尋、引申，對培養(yǎng)學(xué)生解決問題的意識(shí)和能力都是非常重要的。）

課堂練習(xí)：

已知[a=(3sinωx，1)]，[b=(cosωx，0)]，[ω>0]，又函數(shù)[f(x)=a#8901;][(a-kb)][(k>0)]是以[π2]為最小正周期的周期函數(shù)。

（1）求函數(shù)[f(x)]的值域；

（2）若函數(shù)[f(x)]的最大值為[52+3]，則是否存在正實(shí)數(shù)[t]，使得函數(shù)[f(x)]的圖象能由函數(shù)[g(x)=ta#8201;#8901;b]的圖象經(jīng)過平移得到？若能，則求出實(shí)數(shù)[t]并寫出一個(gè)平移向量[m]；若不能，則說明理由。

教學(xué)思考：除了概念是否清楚外，學(xué)生可能遇到的最大問題就是運(yùn)算不過關(guān)，求不出[f(x)]正確的函數(shù)表達(dá)式，（2）式得不到正確的目標(biāo)函數(shù)，從而無法比較、判斷，導(dǎo)致解題的失誤。因此，要給學(xué)生詳細(xì)的示范板書演示。

解：（1）[∵f(x)=a2-ka#8901;b]

[=3sin2ωx+1-k#8901;3sinωxcosωx]

=[32(1-cos2ωx)+1-32ksin2ωx]

=[52-32(ksin2ωx+3cos2ωx)]

=[52-123k2+9sin(2ωx+φ)]。

[∴f(x)]的值域?yàn)椋?/p>

［[52-123k2+9，52+123k2+9]］。

（2）[∵f(x)]的最小正周期為[π2]，[∴2π2ω=π2，∴ω=2].

又[f(x)]的最大值為[52+3]，[∴52+123k2+9=52+3]，解得[k=1]或[k=-1]（舍）.

[∴f(x)=52-32(sin4x+3cos4x)]

[=52-3sin(4x+π3)]

=[52+3sin(4x+4π3)]。

而[g(x)=ta#8901;b]

[=t(3sin2x，1)#8901;(cos2x，0)]

[=t#8901;3sin2xcos2x]=[32tsin4x]。

[∴]當(dāng)[t=2]且[m=(-π3，52)]時(shí)，則[f(x)]的圖象可由[g(x)]的圖象按向量[m]平移得到.

四、 總結(jié)歸納

問題8：本節(jié)課我們復(fù)習(xí)了哪些知識(shí)？你有哪些收獲？

評說：

（1）要熟練掌握“降冪變換、添加輔助角”兩種基本方法，順利解決可化為一個(gè)角的三角函數(shù)的有關(guān)問題；

（2）注重三角函數(shù)與其他知識(shí)的交匯點(diǎn)和相互關(guān)系，樹立轉(zhuǎn)化的意識(shí)，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，將問題化歸到我們熟悉的問題情境中來求解。

作業(yè)：

1. 已知函數(shù)f(x)=sin2x+[3]sinxcosx+2cos2x ，[x∈R]

（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）函數(shù)f（x）的圖象可以由函數(shù) y＝sin2x（[x∈R]）的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到？

2.已知三角形ABC的面積S滿足[3S3，#8201;#8201;且AB#8901;BC=6]，[AB與BC]的夾角為[θ]。

（1）求[θ]的取值范圍；

（2）求函數(shù)[f(θ)=sin2θ+][2sinθcosθ]

[+3cos2θ]的最小值。

“黃河清問題導(dǎo)學(xué)教學(xué)法”復(fù)習(xí)課教學(xué)模式，特別關(guān)注學(xué)生 “惑”的問題；同時(shí)，怎樣讓復(fù)習(xí)課上出新意，激發(fā)學(xué)生探索欲望的“亮點(diǎn)”，也成為教學(xué)的重要思考；三是復(fù)習(xí)課不是“簡單重復(fù)”，要注重設(shè)計(jì)高水平的思維訓(xùn)練活動(dòng)，保證課堂的思維量。

（責(zé)編黃珍平）

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