解三角形方法技巧全攻略

《解三角形》是高中數(shù)學中的重要內容，也是高考的必考內容，而考查的重點又放在了正弦定理、余弦定理的應用.如何利用好正、余弦定理解決三角形問題，下面給出幾種招數(shù)供大家參考.

第一招：單兵作戰(zhàn)講技巧

解三角形可用的工具是正弦定理、余弦定理，單獨運用時要觀察所給條件是運用正弦定理簡單，還是只能運用余弦定理來處理.

例1. 在銳角△ABC中，三內角A，B，C的對邊邊長分別為a，b，c，若b=■asinB，則cosA=.

【分析】此題屬于已知兩邊與一邊的對角的關系解三角形問題，可用正弦定理來求解.

【解析】根據(jù)正弦定理■=■及b=■·asinB，可得解得sinA=■，又因為三角形為銳角三角形，所以cosA=■=■.

【點評】1. 運用正弦定理可解的三角形類型有：1）已知兩角及一邊；2）已知兩邊及一邊的對角.在第二類可解的三角形中，有時需要進行討論求解.

2. 運用正弦定理可以實現(xiàn)將邊化為角，也可以將角的正弦值轉化為邊來解決問題.

3. 正弦定理的變形形式：1)a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC; 2)sinA=■ ， sinB =■，sinC=■.

例2. 已知△ABC的一個內角為120°，并且三邊長構成公差為4的等差數(shù)列，則△ABC的面積為_______________.

【分析】此題主要考查余弦定理及三角形面積公式.運用余弦定理求出三角形的邊長，進而求出三角形面積.

【解析】設三角形的三邊長分別為a-4，a，a+4，最大角為?茲，由余弦定理得：（a+4）2=a2+（a-4）2-2a（a-4）cos120°，則a=10，所以三邊長為6，10，14.△ABC的面積為S=■×6×10×sin120°=15■.

【點評】1. 運用余弦定理可解的三角形類型有：（1）已知三邊；（2）已知兩邊和它們的夾角；（3）已知兩邊及一邊的對角.第三類中要設出第三邊，通過方程來求解.

2. 余弦定理可以實現(xiàn)將三角形內角的余弦值轉化為邊.

3. 余弦定理的變形形式為：cosA =■，cosB =■，cosC =■.

第二招：珠璧聯(lián)合講策略

在求解三角形問題時，有時單獨運用正弦定理或余弦定理不能求解，這時就要兩者聯(lián)合攻克難關.解三角形時，正、余弦定理時常形影不離.

例3. 已知在△ABC中，三條邊a，b，c所對的角分別為A，B，C，，向量■=（sinA，cosA），■=（cosB，sinB）且滿足■·■=sin2C.

（1）求角C的大小；

（2）若sinA，sinC，sinB成等比數(shù)列，且■·(■-■)=18，求c的值.

【分析】求解三角形問題常與向量、三角函數(shù)式的化簡結合在一起，因為向量是處理數(shù)學問題的一種工具.將題目中條件sinA，sinC，sinB成等比數(shù)列轉化為邊的關系，將■·(■-■)=18轉化為邊角關系然后運用正、余弦定理可求解.

【解析】（1）■·■=sinA·cosB+sinB·cosA=sin(A+B).

在△ABC中，由于sin(A+B)=sinC，∴ ■·■=sinC.又∵■·■=sin2C，∴sin2C=sinC，sinCcosC=sinC.

又sinC≠0，所以cosC=■，而0

（2）由sinA，sinC，sinB成等比數(shù)列，得2sinC=sinA+sinB，由正弦定理得2c=a+b.

∵■·(■-■)=18，∴■·■=18，即abcosC=18，由（Ⅰ）知cosC=■，所以ab=36.

由余弦弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=(a+b)2－3ab，

∴c2=4c2－3×36，∴c2=36，∴c=6.

【點評】1. 在解三角形時若遇到兩邊和或兩邊差時，常對式子進行平方從而出現(xiàn)余弦定理中的邊的平方和的形式；

2. 三角形內角和為?仔是常用到的一個結論，它可以實現(xiàn)不同角之間的轉化，如已知A=■，可得B+C=■；sin(A+B)=sinC等；

3. 用向量來給出條件時，要特別注意向量的方向，如在三角形中■·■=2，■與■的夾角是角B的補角而不是角B.

第三招：函數(shù)、不等式入伙放光芒

函數(shù)是高中數(shù)學的重要內容，它滲透到高中的各個章節(jié)，函數(shù)與解三角形問題相結合，使解三角形問題進一步深化，不再僅局限在正、余弦定理。

例4. 已知：函數(shù)f（x）=sin（4x-■）-■，△ABC的三條邊為a，b，c，滿足a2=bc，a邊所對的角為A．求：角A的取值范圍及函數(shù)f（A）的值域．

【分析】題目中只給出了三邊滿足的關系：a2=bc，如何尋求與A角的關系，求角的范圍，往往轉化為求其某一三角函數(shù)值的范圍，結合余弦定理可求cosA.

【解析】cosA=■=■≥■=■． A為三角形內角，所以0

【點評】解三角形問題常遇到求某角或邊的取值范圍問題，有時要借助函數(shù)求最值，有時要借助三角函數(shù)的有界性，有時要用到均值不等式，將等式通過放大或縮小某一量轉化為不等式是常用方法，三角形中，大角對大邊有時也不可忽視.

第四招：形狀判斷邊角化

三角形的分類是按邊或角進行分類的，故在判斷三角形形狀時應找出角的特殊性或邊之間的特殊關系，故常把題目中的已知條件角轉化為邊來處理，或者把邊轉化為角來處理.

例5. 在△ABC中，sinAsinB=■，a2=c2－b2+ab，試判斷△ABC的形狀.

【分析】題目中給出了三角形滿足的兩個條件，一個是邊的關系，一個是角的關系，從邊的關系很容易看到符合余弦定理來轉化，而角的關系不易轉化，可考慮正弦定理.

【解析】由a2=c2－b2+ab，得a2+b2－c2=ab，∴cosC=■=■，∴C=■.

由正弦定理■=■得：sinA=■ ，由■=■，得sinB=■.

又∵sinAsinB=■，∴c2=ab，代入a2=c2－b2+ab可得(a－b)2=0，∴a=b.又∵C=■，∴△ABC為等邊三角形.

【點評】三角形形狀的判斷要注意考慮特殊三角形的條件：兩邊相等或兩角相等為等腰三角形，有一個角為直角或滿足a2+b2=c2的三角形為直角三角形，兩邊相等且夾角為■的三角形為等邊三角形，有一個角的余弦值為負的三角形為鈍角三角形等.在判斷時經(jīng)常將角轉化為邊或將邊轉化為角來進行判斷.

第五招：應用問題出新意

突出應用，學有用的數(shù)學，用數(shù)學知識來解決實際生活中的問題是新課標的理念之一，應用問題轉化為數(shù)學問題是一個建模的過程，建模過程中要考慮實際問題的意義，又要考慮轉化為什么類型的數(shù)學問題，因此，應用問題是常出常新，新意層出不窮.

例6. 如圖，海岸線MAN，∠A=2?茲，現(xiàn)用長為l的攔網(wǎng)圍成一養(yǎng)殖場，其中B∈MA，C∈NA．

(1)若BC=l， 求養(yǎng)殖場面積最大值；

(2)若B、C為定點，BC

【分析】（1）養(yǎng)殖場為三角形ABC時，面積最大的問題就相當于已知一邊及一邊對角求三角形的最大面積問題，這樣可將面積用另兩邊表示出來，利用設而不求與均值不等式來求解；

（2）多邊形問題常轉化為三角形問題來處理，將四邊形分割為兩個三角形來求解.到兩定點的距離和為定值想到橢圓.

【解析】(1)設AB=x， AC=y，x>0，y>0. l2=x2+y2-2xycos2?茲≥2xy-2xycos2?茲，xy≤■=■，S=■xysin2?茲≤■·■·2sin?茲cos?茲=■，

所以△ABC面積的最大值為■，當且僅當x=y時取到．

(2)設AB=m， AC=n（m，n為定值）．BC=c（定值），

由DB+DC=l=2a，a =■l，知點D在以B、C為焦點的橢圓上，S△ABC=■mnsin2?茲為定值．

只需△DBC面積最大，需此時點D到BC的距離最大， 即D必為橢圓短軸頂點．

b=■=■，S△BCD面積的最大值為■·2c·b=c·■，

因此，四邊形ACDB面積的最大值為■m·n·sin2?茲+c·■．

【點評】利用正余弦定理及三角形面積公式求解應用問題，無論是在測量距離，高度，角度及航海問題中，都是將實際問題中的長度角度看作三角形的邊與角，畫出合理的圖形，構造可解的三角形來進行求解.另外還要清楚一些專業(yè)術語如方位角、俯角、仰角、坡度等，有時測量問題還會涉及到多邊形、立體圖形等.

第六招：解后反思不可缺

在處理三角形問題時，還有一些很重要的知識點需要注意，這也是在處理問題是經(jīng)常出現(xiàn)的錯誤，如忽略三角形中大邊對大角，三角形內角和為?仔，由sin2A=sin2B直接得A=B等，在解決問題時，要學會反思，反思是否做到了等價轉化，是否忽略了隱含條件等. 此招不再舉例.

小試身手練一練：

1. 在△ABC中，a2+c2=2b2，其中a，b，c分別為角A，B，C所對的邊長．

(1)求證：B≤■；

(2)若B=■，且A為鈍角，求A．

2. 在△ABC中，角A、B、C的所對應邊分別為a，b，c，且a＝■，b＝3，sinC＝2sinA.

(1)求c的值；

(2)求sin（2A-■）的值.

3. △ABC的三個內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，asinAsinB+bcos2A=■a．

（1）求■；（2）若c2=b2+■a2，求B．

參考答案：

1.（1）略；（2）A=■；2. （1）2■；（2）■；3. （1）■=■；（2）B=45°.

（作者單位：山東省聊城第三中學）

責任編校 徐國堅