從一道高考不等式證明問題展開

問題：（1）設x≥1，y≥1，證明x+y+■≤■+■+xy，

（2）1

上述考題的考點是新課標高考中的“不等式的證明”，而不等式的證明在高中數學新課程標準中，有三處地方提出了學習要求. 我們以表格形式整理如下：

從以上三個章節的學習要求可以看出新課標教材的一種“循序漸進，螺旋式上升”的特點. 對比學習要求，明顯上述考題有些超出《數學5》中學習的基礎要求，貼近了后面兩個章節的學習要求. 我們需注意的是關于《選修4-5 不等式選講》的考查，根據各省的考試說明，考查要求與考試形式均有些不同，廣東僅理科學生必考，題型沒有限制，文科考生未作要求，而安徽高考數學考試說明中，文理科均提出了考試要求，題型也沒有限制，所以關于不等式證明的考題，單獨以一個解答題形式呈現的只有很少的幾個省份，2011年的高考是獨一無二，但它的出現，展示了一種數學的思維過程美.

下面我們結合此題，分別從題目的兩個設問談談不等式證明的基本方法，再嘗試研究一下此不等式的拓展.

（1） 設x≥1，y≥1，證明x+y+■≤■+■+xy.

證法1—分析法：

由于x≥1，y≥1，要證x+y+■≤■+■+xy，

只需證（x+y）xy+1≤y+x+（xy）2 ，

即證y+x+（xy）2-[（x+y）xy+1]≥0 ，

即證 （xy）2-1-[（x+y）xy-（x+y）]≥0，

即證 （xy-1）（xy+1）-（x+y）（xy-1）≥0，

即證 （xy-1）（xy+1-x-y）≥0，

即證（xy-1）（x-1）（y-1）≥0，

很明顯，（xy-1）（x-1）（y-1）≥0成立.

所以，x+y+■≤■+■+xy.

點評：分析法是從要證明的結論出發，逐步尋找使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結論歸結為判定一個明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止. 分析法是執果索因，在探尋證題途徑方面優于其它方法，因每個結論所需要的前提是為數不多的幾個，由要證結論出發，往回追溯題設條件，比較容易從中找到通向題設條件的途徑，但分析過程中的“充分性”不易判斷，書寫起來容易出錯，需要我們引起注意.

證法2—比較法：

（■+■+xy）-（x+y+■）

=■

=■

=■

=■

=■.

由于x≥1，y≥1，所以■≥0，因此原不等式成立.

點評：比較法的理論依據是《數學5》中不等式的等價關系，即“a>b?圳a-b>0，…”，基本步驟是“作差→變形（配方或因式分解）→符號→結論”. 比較法也是證明不等式的常用方法，其關鍵是靈活運用代數變形，由證法二可以看出對因式分解有一定的要求.

證法3—兩法并用：由于x≥1，y≥1，

x+y+■≤■+■+xy?圳xy（x+y）+1≤y+x+（xy）2，

將上式中的右式減左式，得：

（y+x+（xy）2）-（xy（x+y）+1）

=（（xy）2-1）-（xy（x+y）-（x+y））

=（xy+1）（xy-1）-（x+y）（xy-1）

=（xy-1）（xy-x-y+1）

=（xy-1）（x-1）（y-1）.

即然x≥1，y≥1，所以（xy-1）（x-1）（y-1）≥0，

從而所要證明的不等式成立.

點評：此種證法，實際上就是分析法與比較法的并用. 先由分析法的思維，從問題出發，將待證式進行等價變形，再利用不等式證明常用的比較法完成后續推證. 一般來說，在不等式證明或思考與分析問題中，都常常不是一種固定的思維方法，而是多法并用.

拓展1：若 0

拓展2：若x≥1，y≥1，z≥1，則x+y+z+■≤■+■+■+xyz.

拓展3：若ai≥1，i∈1，2，３，...，n，則■ai+■■≤■■+■ai，其中■Xi為求和，■Xi為求積.

以上拓展的證明，可以參考上述證法，這里補充一種增量代換法. 以拓展2為例來說，根據此不等式關于x、y、z的對稱性及x≥1，y≥1，z≥1，不妨設1≤x≤y≤z，進一步設x=1+a，y=1+a+b，z=1+a+b+c，其中a，b，c≥0，再代入所證不等式進行化簡，過程雖然非常復雜，但此類增量代換法能有些解決一些三元不等式的證明. 筆者利用先進的CAS功能的圖形計算器，對拓展2進行了研究，第一步是先增量待換，第二步是去分母，第三步是展開，由于a，b，c≥0，可以看出展開的結果大于0，從而原不等式得證. 這里我們利用先進學具解決問題，思維方法之數學精髓得以錘煉，繁瑣的計算交給了機器.

（2）1

證法—綜合法：

設logab=x，logbc=y，由對數的換底公式得：

logca=■，logba=■，logcb=■，logac=xy.

于是，所要證明的不等式即為x+y+■≤■+■+xy，其中x=logab≥1，y=logbc≥1.

故由（1）知，所要證明的不等式成立.

點評：由對數的換底公式，將待證式變形為第1小問的結論式. 前一問結論的運用，在解決高考解答題時需引起重視，這也是綜合法的思路. 綜合法是從已知條件出發，利用某些數學定義、公理、定理等，經過一系列的推理論證，最后推導出所要證明的結論成立. 綜合法是由因導果，從題設出發，逐步變形得出結論，因而用綜合法證題相對來說自然一些. 但依據已知條件可以推出的結論有很多，要從眾多結論中找到所希望的結論，有時如同大海撈針，常常節外生枝，迷失方向，誤入歧途.

拓展：若1

小結語：此例不等式證明的考題，在考查不等式的基本性質的同時，也考查了對數函數的性質和對數換底公式等基本知識，還考查了代數式的恒等變形能力和推理論證能力. 筆者嘗試采用多種證明方法，意在幫助同學們梳理不等式證明的一些基本方法與思路，筆者也嘗試將題目進行拓展，也是幫助同學們進行推理思維的訓練，讓我們一起快樂地遨游在數學思維的海洋之中.

（作者單位：中山市東升高中）

責任編校 徐國堅