舊瓶裝新酒:體驗數學課中的教學演示

舊瓶裝新酒，往往可以讓原本過時陳舊了的事物重新煥發新的活力，重現曾經迷人的魅力。正在進行的教學改革同樣需要不斷注入新鮮清醇的思想理念，用變化的觀點分析課堂中的微妙變化，用效率的標尺衡量每一次教學上的革新，用學生的視線尋找人們所追求的教育。

多媒體演示在教學中曾經風光一時，但其華麗的外表模糊了教學的本質，部分或全部取代學生獨立思維的過程。而真正的課堂，是可以讓學生多樣的思維自由馳騁的空間，多媒體的演示只是在必要的時候教學的一種輔助手段。在一次不經意的教學中，筆者又一次深深地體會到，即使不用多媒體，教學中的演示也可以是那樣的多姿多彩。

【情景一】

高二下學期，在進行高考第一輪復習“導數”一節時，遇到這樣一道題目：一個直角走廊寬為1.5 m，如圖1所示，有一轉動靈活的平板車寬為1 m，長為2.2 m，問能否推過直角走廊？

這是北京市首屆“方正杯”數學競賽初賽的最后一道題，有一定難度。筆者在課前做了充分的準備，預備從函數和圖形兩方面分析問題，引導學生找到解題的思路。

教師：這是一道數學應用題，尋找變量、建立數學模型是解題的關鍵。那么，在這道題中，哪些量是在改變的？哪個量可以作為自變量？哪個量可以作為函數值？又如何與最后的問題聯系起來？

學生努力思考2分鐘，可仍然沒有答案。

教師：這個問題確實和之前的問題有很大的不同，同學們不妨畫畫圖或者聯想一下生活中的實際感受，也可以小組同學一起討論一下。

教室熱鬧起來，學生積極展開討論，不一會兒就有學生發表了自己的見解。

學生甲：平板車越小就越容易通過走廊，如果很大的話，就會被卡在某一個位置。

學生乙：如果平板車剛好能夠通過走廊的話，它的長度會有一個臨界值，是所有能夠通過走廊的小車的最大長度。如果平板車的長度小于這個臨界值，就能夠通過走廊。

教師：很好！同學們結合自己的感受深刻地分析了這個問題，那就是去求這個臨界值，而這個臨界值所對應的臨界位置在哪里呢？

學生：45°的時候。

教師：45°是什么意思啊？

學生：就是平板車靠近走廊外角的邊與走廊形成等腰直角三角形（圖2中的△CDE1）。

教師：恩，很好！按照這個思路，用平面幾何的知識就可以解決這道題了。那么，還有沒有其他的解法呢？能不能用函數的思想解決這個問題呢？我注意到同學們提到了“最大長度”，還有一個所謂的“角度”，這些值是定值還是變動的呢？它們之間會不會有某種聯系呢？

學生：哦，知道了。用角表示平板車一邊的長度，角是自變量，邊是函數值，求函數的“最大值”。

……

到這里，這節課的這個環節仿佛處理得很成功，但是最后要求的函數的最值是“最小值”，而不是“最大值”。為了解釋學生的這個疑問，筆者在黑板上畫了事先準備好的兩個不同長度的平板車試圖通過走廊的圖像（圖3），并解釋道：“當平板車被卡在走廊里時，它的一邊越長，與走廊墻壁的夾角就越小。小車的長與該夾角有著某種函數關系，而且具有最小值。如果平板車的長度小于這個最小值，就可以通過走廊了……”

但是學生又提出“為什么是平板車的長度改變而不是寬度改變”“平板車一定要擺成這種位置才能通過走廊嗎”這樣的問題，要解釋起來還真不是一兩句話能夠說得清。所以在當時，筆者只好悻悻作罷，而先前的解釋仍然很讓某些學生不解，最后竟然成為這節課的一個很大的缺憾。

不過，在這節課的最后，筆者腦海中突然靈光一閃，試探著布置了當天的作業：“今天的作業是，明天課上分小組展示關于平板車通過直角走廊的演示，最生動形象、最具說服力的小組為優勝組，給予加分獎勵。希望同學們好好準備！”筆者知道，這節課不管是在語言上還是在教學的演示上，都算是失敗了。數學雖然是一種需要把具體的事物抽象為數字化以進一步深入研究的學科，但數學教學中也絕對離不開必要的形象化的教學演示，而這節課的教學演示已經證明筆者在這方面已經落后于學生思維理解上的需求了。怎么辦？用多媒體改進演示效果嗎？不，這一次筆者要讓學生參與到教學的過程中來。

【情景二】

第二天的輔導課，筆者來驗收作業，發生意想不到的事情。

【第一組】提供了一套相當精致的演示模型，按比例制作了直角的走廊，還有不同大小尺寸的平板車，演示效果比筆者在黑板上簡陋的兩幅圖好了很多，既直觀形象，又方便動態操作演示。

【教師評價】一套非常實用的演示教具，同時培養了學生的動手能力，但小車是可以動起來了，不過變量間的變化規律還不夠明顯，得9分。

【第二組】提議用課桌模擬走廊和平板車，可以改變走廊的大小。

【教師評價】考慮利用身邊能夠利用的道具，值得表揚。但是，費力而且影響其他班級上課，關鍵是代表平板車的課桌不能改變大小，得8分。

【第三組】用幾何畫板制作“平板車通過直角走廊演示”多媒體演示課件（圖4），平板車的長和寬都可以單獨鎖定，當小車一邊與走廊夾角改變時，另一邊也隨之變化，全方位地動態演示不同尺寸規格的平板車通過走廊時的變化規律。

【教師評價】演示效果出眾，突出圖像本身及運動中的變化，動態地使平板車具有自動拉伸的效果，臨界位置時平板車的長寬變化規律也一目了然，得9.8分。

【第四組】沒有設計演示，卻提出一些獨特的觀點。首先，該問題有兩種解決方法：臨界位置法和函數法。函數法中共有3個量，固定其中任何2個量都可以用角度表示成第三個量的函數。然后，提出假設：“為什么不能把平板車豎起來或者傾斜一個角度通過？如果把該問題立體化，在三維的空間里就可以研究礦車在隧道里順利通行的問題了。”

【教師評價】對問題做出更深入細致的分析，同時提出許多很有創造性的問題，非常好，但有些偏離今天的主題，得9分。

真沒想到學生竟然如此投入，而且取得比預期還要好的效果。不僅解決了原先的問題，更通過這次活動，讓學生主動地參與教學過程，培養了動口、動手、動腦多方面的能力，真正讓學生自己的“多媒體”完美地展現在教師面前。沒有教師預先的設計，學生有了更自由發揮創造力的空間；沒有了教師的參與，學生有了更主動熱情的參與，小組相互激勵的競爭意識也讓他們變得越來越強。

【教學反思】

教學演示的特點是直觀性、動態性、趣味性，恰當地運用教學演示可以使枯燥、晦澀的知識內容讓學生更易理解接受。傳統的數學課中，通常使用數形結合做圖像和實物教具展示的方法進行教學演示。現代教育技術引入課堂以后，多媒體成了教學演示的生力軍，但是使用現成的多媒體課件往往會忽視學生的主體思維過程，使教學過程被多媒體課件所牽制。新教學改革的課堂應該是動態的課堂、自由的課堂、多樣的課堂，是學生主動參與的知識樂園。

教學演示除了要體現它的內容，還要注重它的目的和外延，培養學生分析問題、解決問題的能力，將數學勇于應用于實踐才是數學教學的本質。在這個過程中，還少不了學生的參與，教師可以讓學生制作媒體演示，讓學生將問題情境再現（比如概率、算法等課例中），充分調動學生的積極性，激發學生的創造力，讓學生在學習過程中的歡笑聲成為下一個課堂中的最絢爛的媒體。

（作者單位：江蘇省徐州市第五中學）