合情推理,我們合情了嗎?

《數學課程標準》關于“數學思考”方面，有這樣的要求：“……，發展合情推理能力和初步的演繹推理能力，……”

下面就“發展合情推理能力”展開一些探討．

一、課例

請大家先看一個課例．這是人教實驗版教材五年級下冊《分數基本性質》的教學過程．

1． 動手操作，直觀感知：學生用三張同樣大小的正方形紙，通過對折，折出1/2、2/4、4/8，并用顏色筆把相應大小的區域涂色．

2． 觀察討論，研究發現：首先得到1/2=2/4=4/8，學生在教師的引導下又發現，從1/2到2/4，再到4/8，分子與分母都乘以2；而從4/8到2/4，再到1/2，分子分母同時除以2．

3． 概括抽象，得出結論：學生在教師引導下得出“分數的分子和分母同時乘或除以相同的數（0除外），分數的大小不變，這叫做分數的基本性質．”

4． 深化理解，靈活運用.

5． 總結全課．

整個教學過程，我們都非常熟悉，因為我們大部分就是這樣處理的．在整個教學過程中，教師充分調動學生的學習積極性，學生的投入程度也從另一個角度印證了教學的成功．

二、討論

我們現在把整個教學過程再簡化一下：

1． 通過各種活動，得到1/2=2/4=4/8，并且從1/2到2/4，再到4/8，分子與分母都乘以2．而從4/8到2/4，再到1/2，分子分母同時除以2．

2． 得到結論：學生在教師引導下得出“分數的分子和分母同時乘或除以相同的數（0除外），分數的大小不變.

從以上的簡化過程中，我們可知，整個教學過程，通過一個例子1/2=2/4=4/8，便得到了分數的基本性質．換句話說，就是一個實例，便推導出一個抽象的結論．

這樣的結果，必然是沒有說服力的，也就是我們的推理是不合情理的．

《數學課程標準》中關于課程目標的說法中，對于推理有如下的一句話：“發展合情推理能力和初步的演繹推理能力.”“演繹推理”不屬于本篇討論內容，下面我們就“合情推理”結合本例進行一個討論．

“合情推理”其實質就是歸納推理，這是創新思維的基礎．歸納推理有完全歸納與不完全歸納．而“合情推理”更多地指向不完全歸納，即小學階段的“不完全歸納”就表現為“合情推理”．即通過多個相應的實例，而歸納出一個結論，一個相對抽象的結論．請大家注意，這里指“多個”，只有“多個”實例，并且沒有反例，才能說歸納出一個結果，這樣的結果才算是“合理的結果”．像我們前面所看到的課堂實錄一樣，根據一個實例，抽象出一個結論，這個結論成立的可能性就值得懷疑．

在本課例中，通過一個例子1/2=2/4=4/8，便得到了分數的基本性質．很明顯地，就是通過一個實例，便抽象出一個結論．可想而知，這個結論“分數的基本性質”是否成立很值得懷疑．

另一方面，由于結論是抽象的，或者說知識是抽象的，這樣下來，一個例子與抽象的知識之間，就欠缺了聯系．整節課的知識，就由老師硬灌給學生．這必然導致好的學生更好，不懂的學生更不懂．

以上的討論，得出一個結論：本教學課例，違背了“合情推理”的邏輯要求．

三、思考

“合情推理”非常重要，它不僅是我們學習的要求，也是我們數學發展的重要思想，也是創新性思維的基礎．我們知道，生活中，具有相同屬性的事情，通過逐步歸納后，便被抽象為知識．例如牛頓，通過歸納蘋果落到頭上等一系列的事情，發現萬有引力定律．翻開教材，我們也不難發現“合情推理”在小學數學教學的重要性．

以上種種，引發我們進一步思考：如何才能使推理更“合情”？

1． 明確課標要求，理解教材意圖

《數學課程標準》在總體目標中，有以下的要求：“獲得適應未來進一步發展所必需的重要數學知識（包括數學事實、數學活動經驗）以及基本的數學思想方法和必要的應用技能；初步學會運用數學的思維方式去觀察、分析現實社會，去解決日常生活中和其他學科學習中的問題，增強應用數學的意識．”

而在“數學思考”分目標上則有：“經歷觀察、實驗、猜想、證明等數學活動過程，發展合情推理能力和初步的演繹推理能力，能有條理地、清晰地闡述自己的觀點．”

從以上的描述上，我們可以看到，課標明確地規定了對于數學思想方法在數學教學中的重要地位，也明確規定了合情推理的重要性．給發展合情推理指明了一條教學道路：通過多種活動，發展能力．

在教材層次，在“分數的基本性質”這一課的教材內容中，不難發現有這樣的兩句話：

“你還能舉出幾個這樣的例子嗎？”

“根據上面的例子，你能得到什么規律呢？”

這兩句話的位置，正好在1/2=2/4=4/8這一例子與“分數基本性質”中間．

顯然，在教材的安排里，就是通過一個實例，讓學生尋找“這樣的例子”，再通過這些例子，推理出“分數的基本性質”．整個過程，剛好是按照這樣的思路進行安排：“從一個話題出發，引發同學對多個例子的共同屬性的思考，通過同學們從多個例子，推理出一個結論．”

在教材中，我們不難找到以上的情況．比如，“長方形的面積”（三年級下冊）這一課，在例題（話題）與結論“長方形的面積=長×寬”之間，有這樣的一個安排：

“任取幾個1平方厘米的正方形，拼成不同的長方形．邊操作，邊填表.”

這個活動的作用，與上面“你還能舉出幾個這樣的例子嗎？”這句話的作用大致一樣：為推理出結論提供“合情”條件．

2． 提取推論的核心屬性，圍繞核心屬性組織教學

推論的核心屬性，指的是最核心的部分．

例如，在“分數的基本性質”這一課中， “一個分數的分子分母的變化與分數的大小之間的關系”就應該是我們的教學重點．

在整個教學過程中，我們圍繞這個核心，通過以下幾個問題的解決，完成我們的教學活動．

“通過折紙、涂色等數學活動，思考1/2、2/4與4/8這三個分數的大小關系.”

“通過觀察、討論等活動，研究1/2、2/4與4/8這三個分數中分子、分母的變化規律.”

“通過學生例證的活動，加深對分數分子分母的變化與分數的大小的關系的認識的同時，為推理的合情性打基礎.”

“總結歸納：通過眾多例子，歸納‘分數的基本性質’.”

綜觀以上的過程，我們是從一實例作為話題，探討其變化過程，再通過多例，歸納總結規律．但無論哪一個步驟，我們的目的都是圍繞規律的核心屬性進行探討．

3． 開展實踐活動，重視形象思維

小學階段的學生，其思維方式更傾向于形象思維，對于“復雜”的“規律”，學生是無法通過“抽象思維”進行推理而得到的．《數學課程標準》就有這樣的理念：“數學教學活動必須建立在學生的認知發展水平和已有的知識經驗基礎之上……向學生提供充分從事數學活動的機會，幫助他們在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數學知識與技能、數學方法和方法，獲得廣泛的數學活動經驗……”所以，我們應該提供一個學生熟悉的數學活動環境，讓學生開展數學活動，幫助學生理解．

例如在《分數的基本性質》的教學中，我們安排了“折一折，涂一涂”這樣的數學活動，在這些活動的基礎上，再讓孩子們觀察，使得孩子們深刻地理解“1/2所表示的是一半，2/4表示的也是一半，4/8還是表示一半，它們三者之間的大小是一樣的”．通過這樣的活動，學生對1/2=2/4=4/8這樣的結論就更清晰明確，頭腦中很顯然會留下一個圖像．

又如在“學生舉例”的環節，學生們根據自己的認識，舉出了很多個“分子分母同時乘（除）同一個數，分數的大小不變”的“數形式”的例子，這樣的例子相對于“分數的基本性質”卻是更具形象性．學生們可以舉出這樣的例子，但并不一定能夠得出“分數的基本性質”這一抽象的規律．而舉例的活動，卻使學生“無意”中一次又一次地接觸了“分子分母同時乘（除）同一個數，分數的大小不變”的特征.

這樣，對于學習“抽象的知識”打下形象思維基礎的同時，也為學生舉出自身例子，理解核心內容，進行正確的合情推理打下基礎．

4． 重視學生舉例，滿足合情推理的邏輯要求，加深對結論的認識

從以上的討論中，我們知道，要使“推理”合情，有一個必不可少的條件，那就是：結論的得出，應該基于多個實例．所以，要使教學符合邏輯，要使“規律”的得到是合情的，我們應該關注一個邏輯關系：由多個實例推理出結論．

那么，這些實例應該從何而來呢？答案是：最好是由學生舉出相應的例子．

一方面，學生舉例，會給我們舉出很豐富的例子，由于學生的不同，舉出的例子就會更多，正好滿足我們合情推理的邏輯要求：“從多個實例中歸納出一個結論.”另一方面，學生通過舉例，可以加深對有關規律的認識．例如學生要舉出1/3=3/9這個例子，他（她）必須首先認識到1/2、2/4、4/8這三個分子分母之間的變化規律：分子分母同時乘以同一個數．這是一句話，但這句話比較抽象，學生可能還不能歸納出來，但心里早已有一個認識：“從1/3到3/9，分子分母都同時乘以3．”這就為我們下面的討論、歸納活動提供了豐富的感性素材．

當然，為使得所有的學生都思考這個問題，我們可以采取“請同學們將所舉的例子寫在本子上”這樣的方式來引導他們．此外，我們應該注意要把學生舉出的例子寫在黑板上，這樣更利于充分調動起全體學生的學習積極性，也為合情推理創造很好的條件．

責任編輯羅峰