裂項相消法在數列求和中的應用

對于已知的等差、等比數列的求和問題，我們可以用求前n項和公式來解決，但對于一些特殊的數列，我們怎樣來求它們的和呢？本文將闡明一種特定的數列的求和方法——裂項相消法.

何謂裂項相消法呢？在求數列的前n項和時，有時把一個數列的通項公式分成二項差的形式，相加過程消去中間項，只剩有限項再求和.

常見的裂項公式有：(1)1n(n+1)=1n-1n+1；

(2)1(2n-1)(2n+1)=12(12n-1-12n+1)；

(3)1b+a=1a-b(a-b)；

(4)n(n+1)!=1n!-1(n+1)!；

(5)an=Sn-Sn-1(n≥2).



【例1】數列{an}的通項公式an=1n+1+n

，若前n項的和為10，則項數n為（）.

A.11B.99C.120D.121

解析：∵n=1n+1+n=n+1-n，

∴Sn=a1+a2+…+an-1+an=(2-1)+(3-2)+…+(n-n-1)+(n+1-n)=n+1-1.

∴Sn=n+1-1=10，

∴n=120.

【例2】設函數f(x)=xm+ax的導數為f(x)=2x+1，則數列{1f(x)}的前n項和是（）.



A.nn+1

B.n+2n+1

C.nn-1

D.n+1n

解析：∵f(x)=xm+ax的導數為f(x)=2x+1，∴m=2，a=1.

∴f(x)=x2+x，即f(n)=n2+n=n(n+1).∴數列{1f(n)}的前n項和為：

Sn=11×2+12×3+…+1n(n+1)=(1-12)+(12-13)+…+(1n-1n+1)=1-1n+1=nn+1.



【例3】已知數列{an}中，a1=1，當n≥2時，其前n項和Sn滿足S2n=an(Sn-12).

（1）求Sn的表達式;（2）設bn=Sn2n+1，求{bn}的前n項和Tn.

解：（1）Sn=12n-1，求解過程略.

（2）∵bn=Sn2n+1=1(2n-1)(2n+1)=12(12n-1-12n+1)，



∴Tn=b1+b2+…+bn=12［(1-13)+(13-15)+…+(12n-1-12n+1)

］

=12(1-12n+1)=n2n-1.



【例4】設{an}是公差為d的等差數列，且各項都不為零.求數列{1anan+1}的前n項和Sn

解：依題意，得an+1-an=d，an≠0，n∈N*.

（1）當d≠0時，1anan+1=1d(1an-1an+1)，



所以Sn=Σnk=11d(1ak-1ak+1)

=1d(1a1-1an+1)，即得Sn=na1an+1.



（2）當d=0時，{an}是常數項數列，得

Sn=na21=na1an+1.

綜上所述，可知對任意情形，都有Sn=naan+1，n∈N*.



求數列{an}的前項和Sn時，觀察通項an的代數結構，將其分裂為兩項的差.裂項之后的和式中，若有大量可以相互抵消的項，只剩有限項，此時我們就可以使用裂項相消法求和了.

(責任編輯金鈴）