韋達定理在初中數學中的應用例析

韋達定理是一元二次方程理論的重要組成部分，該定理思維巧妙、內涵深刻，利用它可以靈活、方便地解決很多問題.

【例1】（2008，南寧市中考數學試題第6題）如果x1、x2是方程x2-2x-1=0的兩個根，那么x1+x2的值為（）.

A.-1B.2C.1-2D.1+2

分析：這個題目可以先用一般方法求出方程的兩個根，再代入代數式求值.但如果知道韋達定理，直接利用定理的結論馬上得到答案，大大節省了時間.

【例2】求3x2+2x-9=0的兩個根的倒數和與平方和.

分析：可以先求出方程的兩根，再計算兩個根的倒數和與平方和，但那將是非常繁瑣的.應用韋達定理可以簡化計算過程，但關鍵是找到：兩根倒數和、平方和與兩根的和與積之間的關系.

【例3】已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一個根是2，求它的另一個根和k的值.

分析：本題可以根據方程根的意義先求出k的值，再解方程求出另一根:把x=2代入方程得k=-2，原方程為x2+x-6=0，再用一般方法解這個方程，得出方程的另一個根為-3.如果利用韋達定理就會簡便很多：設另一根為x1，由韋達定理得

x1+2=k+1，

2x1=3k，

解得x1=-3，k=-2.

答:方程的另一根為-3，k的值為-2.

【例4】已知方程2x2-2x-k=0的一個根為1+2，求另一根及k的值.

【例5】已知方程x2-2(m2-1)x-3m=0的兩根互為相反數.則m等于().

A.1B.-1C.±1D.0

【例6】（人教版九年級上冊課本P43第11題）有一根20m長的繩，怎樣用它圍成一個面積為24m2的長方形？一般解法是：設圍成的長方形的長為xm，則寬為（10-x）m，根據題意，列方程得：x（10-x）=24.整理得x2-10x+24=0，解得x1=4，x2=6；當x1=4時，10-x=6；當x2=6時，10-x=4.因此圍成的長方形的長和寬分別為6m、4m.

本題還有另一種解法：分析題意發現：圍成的長方形的長+寬=10m，長×寬=24m2.如果把長和寬分別看作是兩個數，那么相當于知道了兩個數的和為10，兩個數的積為24，由韋達定理可知，圍成的長方形的長、寬可以看作是方程x2-10x+24=0的兩個根，解這個方程得x1=4，x2=6.因此圍成的長方形的長和寬分別為6m、4m.

同樣的，人教版九年級上冊課本P48第3題：一個直角三角形的兩條邊的和是14cm，面積是24cm2求兩條直角邊的長.也可用類似的解法：設一條直角邊長xcm，則另一條直角邊長（14-x）cm，根據題意得，x（14-x）=24×2.整理得x2-14x+48=0，解之得x1=8，x2=6；當x1=8時，14-x=6；當x2=6時，14-x=8.因此這個直角三角形的兩條直角邊的長分別為6cm，8cm.

經過分析發現，本題的已知條件是：一個直角三角形的兩條直角邊的和是14cm，兩條直角邊的積是48cm2.相當于知道了兩個數的和與積.所以本題還有另一種解法:由韋達定理，這個直角三角形的兩條直角邊可以分別看作是方程x2-14x+48=0的兩個根，解這個方程得x1=8，x2=6，因此這個直角三角形的兩條直角邊的長分別為6cm，8cm.

在以上兩題的解題過程中，第一種解法是傳統的方法，一般學生都懂得怎樣設未知數，列出相應的方程，得出方程的解.但有相當一部分學生，得出方程的兩個根之后，馬上作出回答.他們沒有注意到：方程的解僅僅是長方形的長（直角三角形的一條直角邊），還要代入所設的另一個代數式才能求出長方形的寬（直角三角形的另一條直角邊），最后才得出問題的答案.因此，采用這種方法來解題的學生有很多雖然答案正確，但過程不完整，導致得不到滿分.而采用第二種解法則沒有這樣的擔憂，只要所設的方程對，一般就會得到完整的答案.

韋達定理在初中數學中的應用當然不止以上所列舉的幾個例子，但根據教材的編排目的以及由初中生的年齡特點和他們的接受能力水平等限制，對于接受能力較好的學生，能利用它來解決以上幾種類型的題目就可以了.在教學時，怎樣引起學生的學習興趣，啟動學生的學習內需，調動學生的學習積極性，提高認知結構的可利用性？我想，很重要的一點就是，在傳授一個知識點時，教師都應能抓住事物的本質，善于總結解題方法，讓學生看到它的作用，或者說是讓學生看到學習它所帶來的樂趣，學生才會愿意學.

(責任編輯金鈴）