均值不等式的應用與數學思維品質的培養

均值不等式是高中數學重要的基本定理，應用十分廣泛，如應用于不等式大小的比較、求函數的最值、不等式證明等.均值不等式的應用，要把握三個成立的條件，即“一正（各項或各因式都為正）；二定（積或和為定值）；三相等（各項或各因式都能取得相等的值）”.在教學過程中，通過引導學生學會創設應用均值不等式的條件，合理拆分項或配湊因式，構造算術平均數和幾何平均數的形式，熟練掌握均值不等式及其變形不等式進行解題，對培養和提高學生數學思維品質有很大的幫助.下面，談談本人在教學實踐中的一些體會.

一、均值不等式應用與思維的靈活性

思維的靈活性指思維活動的靈活程度，表現為有的放矢地轉化解題方法的能力，善于從已知因素中看出新的因素，從隱蔽的數學關系中找到問題的實質，當條件變更時能迅速找到新的解題方法.有些題型直接應用均值不等式的條件不是很明顯，要引導學生善于觀察分析，發現隱含的條件，并靈活轉換成適合應用均值不等式的條件，從而培養學生思維的靈活性.

【例1】已知a、b為實常數，求函數y=(x-a)2+(x-b)2的最小值.



從函數解析式來看，本題可以化為關于x的二次函數，再通過配方求最小值，這是學生常用的方法.但若注意到（x-a）+（b-x）=b-a為定值，則利用變形不等式m2+n22≥(m+n2）2

就會更便捷，并顯示出思維的靈活變通而不拘泥于常規.

解：y=(x-a)2+(x-b)2=(x-a)2+(b-x)2≥2［(x-a)+(b-x)2］2=(b-a)22，

當且僅當x-a=b-x時取等號，

即x=a+b2時，y的最小值為(b-a)22.

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二、均值不等式應用與思維的廣闊性

思維的廣闊性指思維活動作用范圍的廣泛和全面的程度.它表現為思路開闊，善于對數學問題的特征、差異和隱含關系進行具體分析，用不同的方法去處理和解決問題，在解題時常表現為一題多解或一法多用.在教學中，通過引入一些題型訓練學生一題多解的能力，使學生深入了解和掌握應用均值不等式解題的方法技巧，能不斷拓展學生的思維空間，更好地提高學生思維的廣闊性.

【例2】已知正數a、b滿足ab=a+b+3，求ab的取值范圍.

解法一：由ab=a+b+3得a=b+3b-1，

∵a＞0，b＞0，∴b-1＞0，

∴ab=(b+3)bb-1=b2+3bb-1

=(b-1)2+5(b-1)+4b-1=

4b-1+(b-1)+5≥9，

當且僅當a=b=3時取等號.

故所求ab的取值范圍是［9，+∞).

解法二：∵ab+b+3≥2ab+3，∴ab-2ab-3≥0.

∵ab＞0，∴ab≥3，即ab≥9，

當且僅當a=b=3時取等號.

故所求ab的取值范圍是［9，+∞).

解法三：∵a、b∈R+，有ab=a+b+3≥333ab，∴a3b3≥81ab.又ab＞0，

∴ab≥9(當且僅當a=b=3時取等號)，

∴ab的取值范圍是［9，+∞).



三、均值不等式應用與思維的敏捷性

思維的敏捷性是指思維的反應速度和熟練程度，表現為思考問題時的敏銳快速反應，以準確為前提，善于運用直覺思維，把問題進行轉換，達到融會貫通之效.在教學過程中，積極引導學生從多方面、多角度、多層次地進行分析探索，合理拆分項或配湊因式，構造算術平均數和幾何平均數，從而更好地培養學生思維的敏捷性.

【例3】當0＜x＜1，且a、b為正常數時，求y=a2x+b21-x

的最小值.

解：∵0＜x＜1，a、b∈R+，

∴y=a2x+b21-x＝

［x+(1-x)］#8226;(a2x+b21-x)=a2+b2+a2(1-x)x+b2x1-x

≥a2+b2+2a2(1-x)x#8226;b2x1-x

=a2+b2+2ab，

當且僅當a2(1-x)x=b2x1-x

，即x=aa+b時取等號，

∴y的最小值為(a+b)2.



上題并沒有明顯的應用均值不等式的條件，但分析題目條件和結論之間的關系，發現

1x與11-x之間含有1-xx#8226;x1-x的關系，通過引入［x+(1-x)］與(a2x+b21-x)相乘，構造出a2(1-x)x與b2x1-x的因式，并使兩項的積為定值，這樣就可以把問題轉化為使用均值不等式的性質進行解答.



四、均值不等式應用與思維的深刻性

思維的深刻性是指思維活動的抽象程度和邏輯水平.對于數學問題的思考，能夠抓住問題的本質和規律深入細致地加以分析和解決，而不被一些表面的現象所迷惑.在運用均值不等式中，要注意抓住應用均值不等式成立的三個條件，缺一不可，只要忽略了其中的某個條件，就會出現錯誤，導致解題的失敗.

【例4】求f(x)=sinx2+2sinx(0＜x＜π)的最小值.

在平時的練習中，許多學生認為因為0＜x＜1，0＜sinx＜1，所以sinx2、2sinx每一項均為正值，又因為sinx2#8226;2sinx=1，所以直接得到f(x)的最小值為1.錯誤的原因在于沒有考慮到第三個條件：sinx2與2sinx是否相等，

這里顯然是不可能相等的.這說明學生容易被前面兩個顯然成立的條件所迷惑，沒有深入細致地思考，缺乏思維的深刻性.

正解：f(x)=(sinx2+12sinx)+32sinx.

∵x∈(0，π)，∴0＜sinx＜1，32sinx≥32，

∴f(x)≥sinx2#8226;12sinx

+32=52，

當且僅當sinx=1，sinx2=12sinx，

即sinx＝1時取等號.

因此，f(x)的最小值為52.



五、均值不等式應用與思維的獨創性

思維的獨創性是指思維活動的創新程度，表現在學生學習數學過程中善于獨立地思考、分析和解決問題，富于探討和創新的精神，分析和解決問題的方式方法或結果新穎、獨特、別出心裁.在一些不等式的證明題型中，可根據題目的條件進行適當轉換，采取獨特的方法，創設引用均值不等式的條件，使問題得以解決.通過強化這種類型題的訓練，可提高學生思維的獨創能力.

【例5】設x、y、z均為正數，且x+y+z=1，

求證：1x+4y+9z≥36.

證明：∵x+y+z=1，可以引入參數m＞0，

∴mx+my+mz=m，

1x+4y+9z=1x+mx+4y+my+9z+mz-m

≥2m+4m+6m-m=12m-m，

當且僅當1x=mx且4y=my且9z=mz，

即x=1m且y=1m且z=1m時取等號，

代入x+y+z=1得

1m+2m+3m=1，解之得m=36.

∴12m-m=1236-36=36，即1x+4y+9z≥36.

引入參數后，含有參數的不等式能夠運用均值不等式，使運算能夠進行下去，最后，根據相等條件，解出參數值，使問題能夠順利解決.

六、均值不等式應用與思維的批判性

思維的批判性是指思維活動過程中獨立分析和批判的程度，表現為學生具有一種能力，即自覺地運用各種方法檢驗得到的初步結果，善于訂正和發現運算中的失誤之處，找到癥結所在，并能重新進行計算和思考，及時糾正錯誤.在均值不等式運用中，可以通過剖析一些容易導致錯誤的解題過程來提高學生思維的批判性.

【例6】已知實數a、b、c滿足a+b=7，c+d=5，求（a+c）2+(b+d)2的最小值.

錯解：（a+c）2+(b+d)2=a2+c2+2ac+b2+d2+2bd=(a2+d2)+(b2+c2)+2ac+2bd

≥2ad+2bc+2ac+2bd=2(a+b)(c+d)=70，

當且僅當a=d且b=c時取等號.所以，(a+c)2+(b+d)2的最小值為70.

引導學生分析：若a=d且b=c，則a+b=c+d，與已知a+b=7，c+d=5矛盾，

因此，不可能同時有a=d且b=c，這就是解題錯誤的原因.

正解：令a+c=m，b+d=n，m+n=a+c+b+d=12，

(a+c)2+(b+d)2=m2+n2≥(m+n)22=1222=72，

（當且僅當m=n，且a+c=b+d=6時取等號），

∴(a+c)2+(b+d)2的最小值是72.

以上例子說明：在兩次用不等式求最值時，等號要同時取到，解題過程中盡量減少確定等號成立的次數，避免出現類似的錯誤.

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參考文獻

［1］朱德全主編.現代教育理論［M］.重慶：西南師范大學出版社，1999.

［2］馬忠林主編.數學教學論［M］.南寧：廣西教育出版社，1996.

［3］馬忠林主編.數學思維論［M］.南寧：廣西教育出版社，1996.

(責任編輯金鈴）