一類反函數求值問題的解法探究

【例題】已知函數f(x+1)=3x+1，又y=g(x+1)與y=f(x)是反函數，則g(5)的值為（）.

A．1B.73C.2D.43

錯解一：認為y=g(x+1)就是y=f(x+1)的反函數，所以得y=g(x+1)=x-13，于是得g(5)=1.

錯解二：先求y=f(x)=3x-2，然后求得y=f-1（x）=x-23

，但認為這不是y=g(x+1)，而再得y=g(x+1)=x+33

，于是得g(5)=73.

錯解三：直接代值，利用原函數與反函數的定義域與值域互換.設g(5)=b，所以f(b)=5，于是f(b)=3(b-1)+5，得b=73，即為g(5)的值.

當然還有一些錯誤解答，不是方法不當就是變量弄錯.下面就這類問題的解答方法歸納如下，供參考.

一、利用表達式求解

【例1】設f(x)=3x-22x-3

，又y=g(x-1)與y=f-1(x+1)的圖象關于直線x+y=0對稱，則g(2)的值為（）.

A．-29B．-17C．43D．3

解析：先求f-1(x)=2-3x3-2x

，再求f-1(x+1)=-1-3x1-2x

，因為y=g(x-1)與y=f-1(x+1)的圖象關于直線x+y=0對稱，所以只需將y=f-1(x+1)的表達式中的y用-x代，x用-y代，即可得y=g(x-1)=1-x3+2x

，所以g(2)=g(3-1)=-29.故選A.

【例2】定義在R上的函數f(x)、g(x)都有反函數，且f(x+1)和g-1(x-2)的圖象關于直線y=x對稱，若g(15)=2000，則f(16)的值為（）.

A．1999B．2000C．2001D．2002

解析：此題沒有具體的表達式，但可以通過求抽象表達式之間的關系求解.為求y=g-1(x-2)的反函數，先表示為x-2=g(y)，再x，y互換，所以它的反函數為y=g(x)+2，此即為y=f(x+1)的表達式，所以g(15)+2=f(16)=2002.故選D.

二、利用取特殊值求解

【例3】已知函數y=f(2x+1)是定義在R上的奇函數，函數y=g(x)的圖象與y=f(x)的圖象關于直線y=x對稱，則g(x)+g(-x)的值為（）.



A．2B．0C．1D不能確定．

解析：此題可取y=f(2x+1)=3x，則f(x)=3(x-1)2

，所以g(x)＝2x+33

，則g(x)+g(-x)=2x+33+-2x+33=2

.故選A.

三、利用原函數與反函數對應點的特征求解

原理：已知y=f(x)與y=f-1(x)關于直線y=x對稱，若y=f(x)上有點(a，b)，則y=f-1(x)上必有點(b，a)，則f-1(b)=a.

【例4】已知函數y=f-1(x)的圖象過點(1，0)，則y=f(12x-1)的反函數的圖象一定過點（）.

A．(1，2)B．(2，1)C．(0，2)D．(2，0)

解析：函數y=f-1(x)上有點(1，0)，則y=f(x)上有點(0，1)，即f(0)＝1.從而y=f(12x-1)上有點(2，1)，使其達到f(0)=1，所以y=f(12x-1)的反函數上有點(1，2).故選A.

【例5】已知函數y=f(x)的反函數是y=f-1(x)，則y=f(x)與y=-f-1(x)的圖象關于（）對稱.

A．原點B．直線y=xC．y=-xD．軸

解析：設y=f(x)上有點(a，b)，則y=f-1(x)上有點(b，a)，對y=-f-1(x)而言，要達到f-1(b)=a，則取x=-b，y=-a，即其圖象上有對應點(-b，-a)，這樣的兩點顯然關于直線y=-x對稱.故選C.

當然，這三種方法通常是互通的，解題要根據題目的特點靈活應用，從而提高答題的速度和準確程度.

【例6】若函數f(x+1)=1+3-x的反函數為y=g(x-1)，則g(10)的值為（）.

A．-2B．-1C．log310D．-log310

解法一：直接求表達式.y=g(x-1)=-log3(x-1)，所以g(10)=-log310.

解法二：利用點的特征，y=g(x-1)有點(a，b)，則y=f(x+1）上有點(b，a)，所以y=g(x-1)有點(11，b)，則y=f(x+1)上有點(b，11)，即1+3x=11，于是b=-log310.故選D.

(責任編輯金鈴）