中學數學教學中逆向思維的培養

數學教育家G#8226;波利亞指出：“掌握數學就意味著善于解題，不僅善于解一些標準的題，而且善于解一些要求獨立思考、思路合理、見解獨到和有發明創造的題.”在長期的教學實踐中，我們發現，有些學生雖然做了許多數學題，但解題能力卻提高不大，以致在日后的學習中，碰到稍有變化，甚至已經做過的題目，仍然不會做，究其原因，其中之一就是受到思維定勢的消極影響.

所謂思維定勢是指由于事先的做法(或習慣)而造成的一種心理準備狀態，它使人們以比較堅固的方式去認識(行動).雖然在不變的情況下，定勢有助于學生對所要解決的問題作出迅速反應，但在變化的情況下，思維定勢常常阻礙學生找到新的方法去解決新的問題.逆向思維則從反面觀察事物，去做與習慣性思維方向完全相反的探索，順推不行時考慮逆推解決，探討可能性發生困難時考慮探討不可能性，由此尋求出解決問題的方法.

因此，在數學教學中應當重視對學生逆向思維能力的培養，加強學生逆向思維能力的訓練，這將有助于學生智力的開發，使學生順向、逆向思維同步發展.

一、充分利用公式、法則、定義的可逆性，進行逆向思維訓練

數學公式、概念、法則等都是充要條件，均為可逆的，如乘法公式與因式分解，積化和差與和差化積公式等.

【例1】求81001×(0.125)1000的值.

由同底數冪相乘的法則和積的乘方式(ab)n=anbn，，am#8226;an=am+n可得anbn=(ab)n，am+n=am#8226;an.

∴原式=81+1000×(0.125)1000

=81×81000×(0.125)1000

=8×(8×0.125)1000

=8.

二、用分析法與逆向思維結合

分析法是執果索因，就是要證得結論，需要找出什么，簡稱“需知”，這個過程就是逆向思維.在教學活動中，教師應充分利用分析法這一證明方法，培養學生的逆向思維能力，教會學生從結論出發，尋求其成立條件.

【例2】100人站成一橫排，自1起依次報數，報奇數者離隊，留下者再次自1起報數，凡報奇數者又離隊，如此下去，最后留下一人，問這人第一次報數為多少?

分析：本題若由一次次報數順推，則須先考慮從100人中去掉1，3，5，…，99的人，然后再報數，繼續去掉奇數的人，這樣相當繁瑣，考慮用逆推法.

解：由于最后留下的人一定是歷次報數中都得報偶數者，所以他第一次報的數一定是100以內的2的最高次冪，因為26=64，27=128，所以這個人第一次報的數一定是64.

三、利用從結論反求原題的形式結構，培養學生的逆向思維

【例3】不等式ax2+px-6＜0的解為-3＜x＜2，試求a、p的值.

分析：如果用順向思維先解含有字母系數的不等式，求得的解再與-3＜x＜2比較，進而討論，才求得a、p，求解過程相當復雜.

若用逆向思維，深刻理解不等式的意義，結合二次函數圖象和性質，逆向運用概念，問題就很快轉化為下列方程組：

a#8226;(-3)2+p#8226;（-3）-6=0，a#8226;22+2p-6=0，



從而求得a=p=1.

如果熟悉因式分解可知(x+3)(x-2)＜0的解為-3＜x＜2，∴(x+3)(x-2)＜0，

即x2+x-6＜0，所以a=p=1.

四、從問題的對立面尋求解法

一般來說，一個數學問題大體包括其正面與對立面(反面)兩個兼容條件，它們互相依存，解決它們若只從正面思考，可能顯得笨拙，似有“法不從心”之感，如果換個角度，從其對立面著手進行逆向思維，也許就會變得很容易.

【例4】已知關于x的方程x3+2ax2+a2x+a-1=0，其中參數a的范圍為-3＜a＜1，試求x的值.

分析：由于原方程是關于x的一元三次方程，且含有參數a，求解比較困難，由觀察知：參數a的最高次數為2，若經過換位比較，即視a為變量，而得原方程為關于a的一元二次方程，從而求出a，再還原x.

解：∵-3＜a＜1，∴a≠1，故x≠0，

∴原方程為xa2+(2x2+1)a+x3-1=0，

解之得：a=-(2x2+1)±(2x+1)2x.

由此得a1=1-x，a2=-x2+x+1x，

即x=1-a或x2+(a+1)x+1=0.

∵Δ=(a+1)2-4，而-3＜a＜1，

∴Δ＜0，故原方程無實數解.

∴x=1-a.

五、利用非常規方法，培養學生的逆向思維

解決數學問題有很多常規方法可循，如根式運算中的分母有理化，分式加減中的通分、合并同類項，三角加減中的和差化積等，但有些問題的解決，靠常規方法是不能奏效的，必須調整思維方向，用非常規方法解決.

【例5】小販把所有西瓜的一半又半個賣給第一位顧客，又把余下的一半又半個賣給第二個顧客，就這樣，他把所余西瓜的一半又半個賣給以后的各位顧客，賣給七位顧客后，他一個西瓜也沒有了，問這位小販原有多少西瓜?

分析：設小販原有x個西瓜，則

第一次賣了(x2+12)個；

第二次賣了［(x-x2-12)÷2+12］個；

…

這種做法很繁，如果反過來，第七位顧客把第六位顧客買剩下的瓜的一半又半個買走后小販就沒有西瓜了，可推得第七位顧客買了一個瓜(即第六位顧客買后只剩下一個瓜)，而且第五位顧客買后剩下(1+0．5)×2個瓜(即3個瓜)，所以只要算出某位顧客買后剩下的瓜數，如此類推，即可得到答案，這種逆推的過程可列成下表形式：

買瓜數

剩下瓜數

第七個顧客

1

0

第六個顧客

2

(0+0.5)×2=1

第五個顧客

4

(1+0.5)×2=3

第四個顧客

8

(3+0.5)×2=7

第三個顧客

16

(7+0.5)×2=15

第二個顧客

32

(15+0.5)×2=31

第一個顧客

64

(31+0.5)×2=63

可知小販原有西瓜127個.

六、利用反證法思想，培養學生的逆向思維

反證法是一種簡明的實用的數學方法，多適用于證明題，它獨特的思維方式就是利用逆向思維，通過證明原命題的反論題為假，從而間接確定原命題為真的一種證明方法，它的基礎原理在于：“若肯定原命題的假設而否定其結論，就導致矛盾.”

【例6】初一有400名學生，求證：其中至少有兩個學生的生日是相同的.

分析：如果順向證明，逐一舉例、假設，無法做到.反過來想，假設400名學生的生日都不相同，那么一年將有400天，這與客觀事實矛盾，所以原命題成立.

在教學中，教師要把思維活動交給學生，讓學生去體會，去模仿創造、自覺運用.教育改革的主體是能力，核心是思維，讓學生獨立思考，必須根據學生的認識規律和接受原則，對學生的思維進行培養.

(責任編輯金鈴）