柯西不等式在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

柯西不等式在中學(xué)數(shù)學(xué)的應(yīng)用比較廣泛，其應(yīng)用包括證明不等式，求函數(shù)的最值，解方程，解三角形相關(guān)問題，解析幾何學(xué)上的應(yīng)用等.

［柯西（Cauchy）不等式定理］

（a1b1+a2b2+…+anbn）2≤(a21+a22+…+a2n)(b21+b22+…+b2n)，

即(Σni=1aibi)2≤Σni=1a2iΣni=1b2i(i=1，2，…，n)，

當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=…=an=0或bi=kai(k為常數(shù)，i=1，2，…，n)時(shí)，等號(hào)成立.

令f(x)=(a1x+b1)2+(a2x+b2)2+…+(anx+bn)2，則

f(x)=(a21+a22+…+a2n)x2+2(a1b1+a2b2+…+anbn)x+(b21+b22+…+b2n).

∵a21+a22+…+a2n≥0，

∴f(x)≥0恒成立.

∴Δ=4(a1b1+a2b2+…+anbn)2-4(a21+a22+…+a2n)(b21+b22+…+b2n)≤0.

∴(a1b1+a2b2+…+anbn)2≤(a21+a22+…+a2n)(b21+b22+…+b2n)，

當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=…=an=0或bi=kai(k為常數(shù)，i＝1，2，…，n)時(shí)，等號(hào)成立.



應(yīng)用柯西不等式可以解決如下問題.

一、證明不等式

【例1】已知a，b，c∈R+，且a+b+c=3.求證：a2+b2+c2≥3.

證明：利用柯西不等式得(a+b+c)2≤(a2+b2+c2)#8226;(12+12+12).

∵a+b+c=3，

∴a2+b2+c2≥13(a+b+c)2=3，

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=1時(shí)，等號(hào)成立.

二、求函數(shù)的最值問題

【例2】求函數(shù)y=6x-2+86-x的最大值.

解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?，6］，由柯西不等式得：

y=6x-2+86-x≤62+82(x-2)+(6-x)2=20，

當(dāng)且僅當(dāng)6x-2=86-x，即x＝4.56時(shí)，等號(hào)成立.所以函數(shù)的最大值為20.

三、解方程組

【例3】解方程組：

x+y+z=6，y+w=4，(x2+y2+z2)(y2+w2)=96.



解：由柯西不等式得

(x2+y2+z2)(12+12+12)≥(x+y+z)2=36，

(y2+w2)(12+12)≥(y+w)2=16，

(x2+y2+z2)(y2+w2)≥96，

當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z=2時(shí)，等號(hào)成立.



四、解三角形的相關(guān)問題

【例4】設(shè)D是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，a、b、c分別為△ABC的三條邊，x、y、z是點(diǎn)D到BC、AC、AB邊的距離，R是△ABC外接圓的半徑.

求證：（x+y+z）2≤12R(a2+b2+c2).



證明：利用柯西不等式得

(x+y+z

)2=(ax1a+by1b+cz1c)2≤(ax+by+cz)(1a+1b+1c).

設(shè)△ABC的面積為S，則ax+by+cz=2S=2×abc4R=abc2R，

∴(x+y+z)2≤abc2R(1a+1b+1c)=bc+ac+ab2R≤12R(a2+b2+c2).



五、在解析幾何學(xué)上的應(yīng)用

柯西不等式變形公式：

ai，bi＞0(i=1，2，3，…，n)，則b21a1+b22a2+…+b2nan≥(b1+b2+…+bn)2a1+a2+…+an

，

當(dāng)且僅當(dāng)bi=kai時(shí)取等號(hào).



【例5】若直線通過點(diǎn)M（cosα，sinα），則（）.

A.a2+b2≤1B.a2+b2≥1

C.1a2+1b2≤1

D.1a2+1b2≥1



解：由題設(shè)可得：



1＝（cosαa+sinαb）2=(cosα#8226;1a+sinα#8226;1b)2≤(cos2α+sin2α)(1a2+1b2)=1a2+1b2.

∴1a2+1b2≥1，所以選D.

【例6】設(shè)橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，A（2，0），B（0，1）是它的兩個(gè)頂點(diǎn)，直線y=kx(k＞0)與AB相交于點(diǎn)D，與橢圓相交于E、F兩點(diǎn).求四邊形AEBF面積的最大值.

解：依題意得，橢圓的方程為x24+y2=1.

｜BO｜=1，｜AO｜＝2，由橢圓的對稱性可知，四邊形AEBF的面積等于

四邊形AOBF的兩倍.設(shè)點(diǎn)F（x，y），則四邊形AEBF的面積為

S＝2（S△OBF+S△OAF）=x+2y.

∵1=x24+y2=x24+(2y)24≥(x+2y)24+4=(x+2y)28，

∴x+2y≤22.

四邊形AEBF的面積的最大值為22，當(dāng)且僅當(dāng)x4=2y4，即x=2時(shí)取等號(hào).

(責(zé)任編輯金鈴）