注重整體思想 提高解題能力
2011-12-31 00:00:00朱德勝
中學教學參考·理科版 2011年10期
隨著新課程改革的不斷深入，整體思想在初中數(shù)學教學中越來越受到重視，應用也更加廣泛.整體思想就是在解決數(shù)學問題時，將要解決的問題看作一個整體，通過對問題的整體形式、整體結(jié)構(gòu)、已知條件和要求綜合考慮后，得出結(jié)論.整體思想作為重要的數(shù)學思想之一，在解題過程中經(jīng)常使用，若使用得恰當，就能提高解題效率，減少不必要的計算.因而在處理代數(shù)式的運算、方程、幾何計算等方面有著廣泛應用，是初中數(shù)學學習中的重要思想方法.
一、利用整體思想，巧解代數(shù)式求值
在求代數(shù)式的值時，我們常常把已知條件和所求問題進行對比聯(lián)想，找出關聯(lián)的代數(shù)式，并把已知中的某個代數(shù)式作為一個整體而代入求值，從而將問題簡化.
【例1】若代數(shù)式4x2+3x+2的值為5，求代數(shù)式8x2+6x+8的值.
解：由題意知：4x2+3x+2=5，那么4x2+3x=3，
∴8x2+6x+8=2(4x2+3x)+8
=2×3+8
=14.
本題如果先解一元二次方程求出x的值，再代入所求代數(shù)式求值，問題較為復雜，而利用整體思想，問題就簡便多了.
二、利用整體思想，巧解方程組
【例2】解方程組
2x+3y=3，①4x+7y=7.②
解:由②得：2(2x+3y)+y=7③
將①代入③得：2×3+y=7，
∴y=1.
將y=1代入①，得：x=0.
∴方程的解為x=0，y=1.
三、利用整體思想，巧解不等式
在解一元一次不等式時，我們把相同的多項式看成一個“整體”，并把它們當成同類項進行合并，這樣可大大簡化解題過程.
【例3】解不等式：
2(y+1)-13(y-1)>2(y-1)-12(y+1).
解：移項，得
2(y+1)+12(y+1)>2(y-1)+13(y-1)，
合并同類項，得
52（y+1）>73（y-1），
兩邊同乘以6，得
15（y+1）>14（y-1），
所以y>-29.
本題若按一般步驟：先去分母，再去括號，計算步驟比較繁瑣，移項、合并同類項時容易漏項和算錯.而將（y+1）、（y-1）看成整體，運算過程就簡化了很多.
四、利用整體思想，巧解圖形題
【例4】如圖１，△ＡＢＣ各邊長都大于２，分別以Ａ、Ｂ、Ｃ為圓心，以１為半徑畫圓，則陰影部分面積為.如圖２，將圖１中的△ＡＢＣ換成四邊形ＡＢＣＤ，其他條件不變，則陰影部分面積為.如圖３，將四邊形換成五邊形，那么其陰影部分面積為.根據(jù)以上結(jié)論，當多邊形為n邊形時，那么其陰影部分面積為.
圖1圖2圖3
分析：觀察圖形，能看出陰影部分的面積就是幾個扇形的面積和.把陰影部分的面積看作一個整體(多少個圓)，就會發(fā)現(xiàn)其實它們與多邊性的內(nèi)角和有關，顯然，圖1的為半個圓，圖2的為1個圓，圖3的為32個圓，圖（n-2）的為12(n-2)（其中n≥3）個圓，則陰影部分的面積迎刃而解.
綜上所述，整體思想是中學數(shù)學的一種非常重要的思想與方法.在數(shù)學教學過程中靈活利用整體思想，可以開拓學生解題思路、強化化歸能力，提高學生的數(shù)學綜合素質(zhì).
參考文獻
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(責任編輯金鈴）
