集合之間關系的探討

在近代數學中，集合是非常基礎并且應用非常廣泛的，是研究數學問題的基本工具．集合思想已成為現代數學的理論基礎，與高中數學的許多內容有著廣泛的聯系．

對于比較復雜的集合，在判斷它們之間的關系時，要開動腦筋，從多種方面進行分析和比較．本文通過對幾個相對比較復雜的例題的分析來說明如何將復雜的問題轉為簡單的集合與集合之間關系．

【例1】已知兩個集合

A=α|α=2kπ-π2，k∈Z，

B=β|β=(2n+1)π+π2，n∈Z，

則A和B的關系是（）.

A.AB

B.AB

C.A=B

D.BA

解法一（賦值法）令k=0，±1，±2，分別對集合A和B的元素進行部分的列舉，通過觀察，可以得到A=B，即答案為C．

解法二（數形結合方法）經過分析，A表示與角-π2終邊重合的角的集合，集合

B=β|β=2nπ+3π2，n∈Z表示與角3π2終邊重合的角的集合，而-π2與3π2終邊相同，都表示坐標平面上y軸的負半軸，所以集合A和集合B相等．

解法三（從代表元素入手）集合B中代表元素β=(2n+1)π+π2=2nπ+3π2=2(n+1)π-π2，n∈Z

．通過比較化歸為判斷｛x|x=k，k∈Z｝與｛x|x=n+1，n∈Z｝之間的關系．因為n∈Z，所以n+1∈Z，因此k與n+1都代表整數，所以A=B．

說明：對這種直接考察集合之間關系的題目，一般會考慮到先將題目中的兩個條件化簡再比較，數形結合和從代表元素入手的方法往往會起到事半功倍的效果．建議在解這類題目時要先審清題目，盡量使用比較簡潔的方法或自己比較擅長的方法．

【例2】求方程sin2xcosx=cos2xsinx

的解集．

解：本題等價于解方程組

cosx≠0，①

sinx≠0，②

sin2x#8226;sinx=cos2x#8226;cosx.③



所以，本題的解就是求方程①、②、③的交集．

由方程①，cosx≠0，得｛x|x≠kπ+π2，k∈Z｝;

由方程③，sinx≠0，得｛x|x≠kπ，k∈Z｝

由方程③，cos2xcosx=sin2xsinx，即cos3x=0，所以｛x|x=nπ3+π6，n∈Z｝.

令A=｛x|x=nπ3+π6，n∈Z｝，

B=｛x|x≠kπ，k∈Z｝，

C=｛x|x≠kπ+π2，k∈Z｝，



本題的解是這三個集合的交集，即A∩B∩C．集合A的代表元素x=nπ3+π6，n∈Z

，任何一個整數除以3的余數可能是0，1，2，因此，我們從以下幾種情況來看：

(1)當n=3k(k∈Z)時，x=kπ+π6(k∈Z);

(2)當n=3k+1(k∈Z)時，x=kπ+π2(k∈Z);

(3)當n=3k+2(k∈Z)時，x=kπ+5π6=(k+1)π-π6

(k∈Z).

集合A=｛x|x=kπ±π6，或x=kπ+π2(k∈Z)｝

.

解法一：（直接法）A∩B∩C=

｛x|x=kπ±π6，或x=kπ+π2(k∈Z)｝∩｛x|x≠kπ+π2，k∈Z｝∩｛x|x≠kπ，k∈Z｝，

所以原方程的解集是｛x|x＝kπ±π6，k∈Z｝．

解法二：（數形結合法）集合中的元素表示y軸和將x軸繞原點按逆時針、順時針方向分別旋轉π6得到的直線，集合A代表3條直線．集合B說明不是x軸，集合C說明不是y軸．所以，A∩B∩C中的元素代表將x軸繞原點按逆時針、順時針方向分別旋轉π6得到的兩條直線，即｛x|x＝kπ±π6，k∈Z｝．

說明：集合的題目往往與其他類型的題目相結合，融入了其他內容，形成比較復雜的題目．解決這類問題時，要充分利用題目的已知條件，挖掘內在的隱含條件，例如分母不為零等容易忽略的條件，這樣才能正確解決問題．

【例3】寫出終邊在x軸與y軸的夾角平分線上的角的集合．

解法一（分析法）終邊在第一象限角平分線上角的集合A

=｛θ|θ=2kπ+π4，k∈Z｝；



終邊在第二象限角平分線上角的集合B=｛θ|θ=2kπ+3π4，k∈Z｝；



終邊在第三象限角平分線上角的集合C=｛θ|θ=2kπ+5π4，k∈Z｝；

終邊在第四象限角平分線上角的集合D=｛θ|θ=2kπ-π4，k∈Z｝.

該題即求A∪B∪C∪D.

考慮C中代表元素θ=(2k+1)π+π4，k∈Z和A中代表元素

θ=2kπ+π4，k∈Z

．2k+1代表奇數，2k代表偶數，因此A∪C=｛θ|θ=kπ+π4，k∈Z｝，也表示終邊在一、三象限角平分線的集合．

同理，B中代表元素θ=(2k+1)π-π4，k∈Z，因此B∪D=

｛θ|θ=kπ-5π4，k∈Z｝

也表示終邊在二、四象限角平分線的集合．

A∪B∪C∪D=｛θ|θ=2kπ±π4，k∈Z｝

，對結果再進一步化簡.從集合的代表元素入手，考慮A∪C中元素

θ=2kπ2+π4，k∈Z，B∪D中元素θ=2kπ2-π2+

π4=(2k-1)π2+π4

，k∈Z，所以

A∪B∪C∪D=｛θ|θ=kπ2+π4，k∈Z｝.



解法二（數形結合方法）將x軸繞坐標原點按逆時針和順時針方向分別旋轉π4，得到｛θ|θ=kπ±π4，k∈Z｝．

說明：遇到這種較復雜的集合問題可以先分解，再對不同部分求并集或交集等．同時，解集合題目時要多動腦筋，不要局限于一種方法．

在這些化簡的過程中，盡量使用自己較為熟悉和擅長的方法，如：賦值法、分析法、數形結合法等，這樣我們可以更加容易掌握復雜集合問題的解法，更加容易掌握集合的性質和內涵．

(責任編輯金鈴）