函數與方程思想在數學解題中的簡單應用
2011-12-31 00:00:00陸少奇
中學教學參考·理科版 2011年10期
函數思想，是指用函數的概念和性質去分析問題、轉化問題和解決問題.方程思想，是從問題的數量關系入手，運用數學語言將問題中的條件轉化為數學模型（方程、不等式、或方程與不等式的混合組），然后通過解方程（組）或不等式（組）來使問題獲解.
一、利用函數與方程思想解決不等式問題
【例1】已知不等式7x-2>m(x2-1)對m∈［-2，2］恒成立，求實數x的取值范圍．
解析：
設f(m)=(x2-1)m-7x+2，f(m)是關于m的一個函數，其圖像是直線.
依題意，f(m)<0對m∈［-2，2］恒成立.
當-2≤m≤2時，y=f(m)的圖像是線段，該線段應該全部位于x軸下方，其充要條件是端點的縱坐標小于0，
即f(-2)＜0，f(2)＜0，解得12＜x＜72.
即適合題意的x的取值范圍是（12，72）.
評析：解一個含有多個變元的數學問題時，選定合適的主變元，從而揭示其中主要的函數關系.
二、利用函數與方程思想解決數列問題
【例2】已知數列{an}的通項公式是an=n2+kn+2，若對于n∈N*，都有an+1>an成立，則實數k的取值范圍是().
A.k>0B.k>-1
C.k>-2D.k>-3
解析：由an+1>an知該數列是一個單調遞增數列，又因為通項公式
an=n2+kn+2可以看作是關于n的二次函數，考慮到n∈N*，所以-k2＜32，即k>-3，選D．
評析：解本題的關鍵是二次函數單調性的應用，而數列是關于n的函數，只要懂得對數列單調性進行判斷，再結合二次函數的單調性，這道題就迎刃而解了．
【例3】設等差數列｛an｝的前n項和為Sn，m，k∈N*，且m≠k，若Sm=Sk=a，
則Sm+k=().
A.aB.2aC.-2aD.0
解析：由于{an}是等差數列，所以Sn是關于n的二次函數，
設Sn=f(n)=An2+Bn(A≠0)，
∵Sm=Sk=a，∴f(m)=f(k)，
∴f(n)的對稱軸為n=m+k2，
∴f(m+k)=f(0)=0，即Sm+k=0，選D.
評析：解本題的關鍵是建立目標函數f(n)，因為等差數列的前n項和是關于n的二次函數，利用二次函數的對稱性就可以解出這道題．
三．利用函數與方程思想解決解析幾何問題
【例4】若拋物線y=-x2+mx-1和兩端點為A(0，3)，B(3，0)的線段AB有兩個不同的交點，求m的取值范圍．
解析：線段AB的方程為y=-x+3(0≤x≤3)
由y=-x2+mx-1，y=-x+3(0≤x≤3）消去y得x2-(m+1)x+4=0(0≤x≤3).
∵拋物線和線段AB有兩個不同的交點，
∴方程x2-(m+1)x+4=0在［0，3］上有兩個不同的解.
設f(x)=x2-(m+1)x+4，則f(x)的圖像在［0，3］上與x軸有兩個不同的交點，
∴Δ=(m+1)2-16＞0，
0＜m+12＜3，
f(0)=4＞0，
f(3)=9-3(m+1)+4≥0.
解得3＜m≤103.
函數與方程的思想是解答數學試題的一種常用方法與技巧，函數與方程是緊密聯系在一起的，其指導意義特別明顯.復習中要加強這方面的思考與訓練，以提高解決難題的能力.函數與方程的思想體現了動與靜，變量與常量的相互辯證關系，是研究變量與函數，相等與不等過程中的基本數學思想，是歷年高考的重點考查對象.在解題過程中，要特別注意函數與方程的相互轉化，相互利用.
參考文獻
黃曉勇.中學數學教學參考［J］.江西高校出版社，2005(2).
(責任編輯金鈴）
