淺談三個“二次”及其關系

三個“二次”即一元二次函數、一元二次方程、一元二次不等式是中學數學的重要內容，具有豐富的內涵同時也是研究包含二次曲線在內的許多內容的工具.本文主要是幫助考生理解三者之間的區別及聯系，掌握函數、方程及不等式的思想和方法.

一、案例探究

【例1】已知二次函數f(x)=ax2+bx+c和一次函數g(x)=－bx，其中a、b、c滿足a>b>c，a+b+c=0(a，b，c∈R).

(1)求證：兩函數的圖象交于不同的兩點A、B；

(2)求線段AB在x軸上的射影A1B1的長的取值范圍.

命題意圖：本題主要考查考生對函數中函數與方程思想的運用能力.

知識依托：解答本題的閃光點是熟練應用方程的知識來解決問題及數與形的完美結合.

技巧與方法：利用方程思想巧妙轉化.

(1)由y=ax2+bx+c，y=-bx消去y得ax2+2bx+c=0.

Δ=4b2－4ac=4(－a－c)2－4ac=4(a2+ac+c2)=4［(a+c2)2+34c2］.

∵a+b+c=0，a>b>c，∴a>0，c<0.

∴34c2>0，∴Δ>0，即兩函數的圖象交于不同的兩點.

(2)設方程ax2+bx+c=0的兩根為x1和x2，則x1+x2=－2ba，x1x2=ca.

（3）|A1B1|2=(x1－x2)2=(x1+x2)2－4x1x2

=(-2ba)2-4ca=4b2-4aca2=4(-a-c)2-4aca2＝

4［(ca)2+ca+1］=4［(ca+12)2+34］.

∵a>b>c，a+b+c=0，a>0，c<0，

∴a>－a－c>c，解得ca∈(－2，－12).

∵f(ca)=4［(ca)2+ca+1］的對稱軸方程是ca=-12，ca∈(－2，－12)時，f(ca)為減函數.

∴|A1B1|2∈(3，12)，故|A1B1|∈(3，23).

二、錦囊妙計

1.二次函數的基本性質

(1)二次函數的三種表示法：

y=ax2+bx+c;y=a(x－x1)(x－x2);y=a(x－x0)2+n.

(2)當a>0，f(x)在區間［p，q］上的最大值為M，最小值為m，令x0=12(p+q).

若－b2a

若p≤－b2a

若x0≤－b2a

若－b2a≥q，則f(p)=M，f(q)=m.

2.二次方程f(x)=ax2+bx+c=0的實根分布及條件

(1)方程f(x)=0的兩根中一根比r大，另一根比r小a#8226;f(r)<0；

(2)二次方程f(x)=0的兩根都大于r

Δ=b2-4ac＞0，

-b2a＞r，a#8226;f(r)＞0;



(3)二次方程f(x)=0在區間(p，q)內有兩根

Δ=b2-4ac＞0，

p＜-b2a＜q，a#8226;f(q)＞0，a#8226;f(p)＞0;



(4)二次方程f(x)=0在區間(p，q)內只有一根，f(p)#8226;f(q)<0，或f(p)=0(檢驗)，或f(q)=0(檢驗)，檢驗另一根若在(p，q)內成立.

(5)方程f(x)=0兩根的一根大于p，另一根小于q(p

a#8226;f(p)＜0，a#8226;f(q)＞0.



3.二次不等式轉化策略

(1)二次不等式f(x)=ax2+bx+c≤0的解集是：(－∞，α)∪［β，+∞)a<0且f(α)=f(β)=0；

(2)當a>0時，f(α)

f(α)|β+b2a|；

(3)當a>0時，二次不等式f(x)>0在［p，q］恒成立

-b2a＜p，f(p)＞0；

或

p≤-b2a＜q，f(-b2a)＞0；

或-b2a≥p，f(q)≥0;



(4)f(x)>0恒成立

a＞0，Δ＜0；

或a=b=0，c＞0;f(x)＜0恒成立a＜0，Δ＜0，或a=b=0c＜0.



對于三個“二次”即一元二次函數、一元二次方程、一元二次不等式三者，在解題的過程中要熟練掌握區別及聯系，在轉化的策略上多用技巧，注重數形的完美結合，并要在根的求解上不重不漏，才能正確解決相關問題.

(責任編輯金鈴）