電磁感應中的“焦耳熱”求解策略

摘 要：電磁感應是高中物理選修模塊的內容，是高考的熱點和難點，而“電磁感應”中的“焦耳熱”問題，在歷年高考的計算題中經常出現。本文將以具體題目為例討論電磁感應中的“焦耳熱”問題的求解策略。

關鍵詞：電磁感應；焦耳熱；求解策略

中圖分類號：G424 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2011）12-044-02

一、根據焦耳定律Q=I2Rt求解

例1 如圖所示，平行導軌豎直放置上端用導線連接一個電阻，阻值R=10 Ω中間跨接的金屬棒與導軌組成閉合回路，平行導軌間存在垂直導軌所在平面向里的磁場，t=0時，磁感應強度為B0=6T，開始時磁感應強度隨時間而變化，1秒后磁感應強度不變。設從t=0開始金屬棒從距導軌上端d=1 m處自由釋放并做自由落體運動，導軌間距為L=1 m，金屬棒與導軌接觸良好，且不計摩擦，棒的質量為m=0.1 kg，導軌及金屬棒電阻不計，g取10 m/s2。求：

（1）第1秒內磁感應強度隨時間變化規律；

（2）1～2秒過程中電阻產生的熱量是多少?

解析：

（1）略

（2）當t=1 s時，B1=1T，且1～2秒過程中保持1T不變，

1 s末金屬棒的速度v=gt=10 m/s，金屬棒受到的安培力F=B2L2vR=1 N

因為F=mg=1 N，故金屬棒做勻速運動，

即回路中產生的恒定的電流，且I=B1lvR=1 A，∴Q=I2Rt=10 J

點評：本題中第二問中回路產生的電流是導體棒平動切割恒定磁場產生的感應電流，而經計算分析可知導體棒是勻速運動，所以回路中的感應電流為恒定電流，故可以直接使用焦耳定律Q=I2Rt進行計算。若遇到求解交流電所產生的焦耳熱時要用電流的有效值進行計算，即用Q=I有2Rt求解。

二、運用動能定理或能量轉化和守恒定律求解

例2 如圖(a)所示，間距為l、電阻不計的光滑導軌固定在傾角為θ的斜面上。在區域Ⅰ內有方向垂直于斜面的勻強磁場，磁感應強度為B；在區域Ⅱ內有垂直于斜面向下的勻強磁場，其磁感應強度Bt的大小隨時間t變化的規律如圖(b)所示。t=0時刻在軌道上端的金屬細棒ab從如圖位置由靜止開始沿導軌下滑，同時下端的另一金屬細棒cd在位于區域I內的導軌上由靜止釋放。在ab棒運動到區域Ⅱ的下邊界EF處之前，cd棒始終靜止不動，兩棒均與導軌接觸良好。已知cd棒的質量為m、電阻為R，ab棒的質量、阻值均未知，區域Ⅱ沿斜面的長度為2l，在t=tx時刻(tx未知)ab棒恰進入區域Ⅱ，重力加速度為g。

求：（1）通過cd棒電流的方向和區域I內磁場的方向；

（2）當ab棒在區域Ⅱ內運動時cd棒產生的熱功率；

（3）ab棒開始下滑至EF的過程中回路中產生的熱量。

解析：（1）通過cd棒的電流方向d→c，區域Ⅰ內磁場方向為垂直于斜面向上

（2）對cd，F安=BIl=mgsinθ所以通過棒的電流大小I=mgsinθBl

當ab棒在區域Ⅱ內運動時cd棒產生的熱功率P=I2R=m2g2RsinθB2l2

（3）ab棒在到達區域Ⅱ前做勻加速直線運動，a=F合m=gsinθ

cd棒始終靜止，回路中產生的感應電動勢E不變，則ab棒在區域Ⅱ中一定做勻速直線運動，

可得:ΔφΔt=Blvt即2Bl2tx=Blgsinθtx，

∴tx=2lgsinθ

ab棒在Ⅱ中的速度vt=2glsinθ，

ab棒在Ⅱ中的時間t2=2lvt=2lgsinθ

ab棒從開始到滑至EF的總時間t=tx+t2=22lgsinθ，E=Blvt=Bl2glsinθ

ab棒從開始到滑至EF的過程中閉合回路產生的熱量：Q=EIt=4mglsinθ

點評：本題中兩處涉及焦耳熱，在求解第二問cd棒產生的熱功率時，直接用P=I2R即可求出。而第三問中的焦耳熱在分析時最常見的一種錯誤就是利用“所謂”的能量守恒列式：3mglsinθ－12mv2t=Q，Q=2mglsinθ即認為全過程ab棒的機械能的減少量變成了回路中的焦耳熱，其實除了ab棒的機械能外，ab棒在到達區域II前，區域II中磁場本身在隨時間變化而將磁場能變成了這一段時間內回路中的焦耳熱！ 另外，后來ab棒在區域II中運動時安培力做負功的過程就是其他形式能量轉化為電能的過程，也可利用動能定理求出W安，再由Q2=-W安求出焦耳熱Q2。

三、利用熱量與平均功率的關系公式Q=t求解

例3 如圖所示，頂角為45°的金屬導軌MON固定在水平面內，導軌處在方向豎直、磁感應強度為B的勻強磁場中。一根與ON垂直的導體棒在水平外力作用下以恒定速度v0沿導軌MON向右滑動，導體棒的質量為m，導軌與導體棒單位長度的電阻均為 r。導體棒與導軌接觸點a和b，導體棒在滑動過程中始終保持與導軌良好接觸。t=0時，導體棒位于頂角O處。求：

（1）t時刻流過導體棒的電流強度I和電流方向，

（2）導體棒在0~t時間內產生的焦耳熱Q。

解析：（1）0到t時間內，導體棒的位移x=v0t，時刻，

導體棒的有效長度l=xtan45°=x，導體棒的感應電動勢E=Blv0，

回路總電阻R=(2+2)xr，電流強度為I=ER=Bv0(2+2)r，電流方向b→a。

（2）t時刻導體棒的電功率 p=I2R′=B2v30t(2+2)2r

其中R′=lr=v0tr為導體棒的電阻，P∝t，∴Q=t=P2t=B2v30t22(2+2)2r

點評：本題第一問可算出瞬時電流是一個恒定量，但導體棒的電阻隨時間的變化而變化，故不能直接用公式Q=I2Rt=Pt計算，但因為P=I2R=B2v30t2(2+2)2r，與時間成正比，所以有=P2，所以可用Q=t=P2t求解。

通過以上例題的分析不難發現，對于電磁感應中的“焦耳熱”的問題，通常涉及到的知識點較多、綜合性強，解題的關鍵在于根據條件和題意找準已知量，選擇對應的方法，問題就能迎刃而解。