“引參設(shè)變”思維在不等式中的運(yùn)用

不等式是高中數(shù)學(xué)常見的問題形式，解決不等式問題的方式多種多樣，本文將從“引參設(shè)變”的角度來探討.

一、參數(shù)法與數(shù)學(xué)的關(guān)系

參數(shù)法在數(shù)學(xué)領(lǐng)域有廣泛的意義.從其理論源頭上看，參數(shù)觀點(diǎn)其實(shí)就是運(yùn)動、變化思想在數(shù)學(xué)中的重要體現(xiàn).一般來說，參數(shù)法在數(shù)學(xué)中的運(yùn)用主要是體現(xiàn)在解析幾何中，它是破解許多解析幾何問題的有效方法.應(yīng)該說，在解析幾何中，特別是在高中解析幾何中，大部分的解題技巧，都是在參數(shù)思想的基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)的，其靈感和使用的可能性分析都是來源于參數(shù)觀點(diǎn). 在高中數(shù)學(xué)中，參數(shù)思想實(shí)際上是無處不在的，例如通過含有字母的代數(shù)式來表示變量，這個代數(shù)式其實(shí)也就是參數(shù)式，而其中的字母就叫做參數(shù).具體的運(yùn)用方法是利用圖形幾何的特有性質(zhì)與代數(shù)關(guān)系聯(lián)系起來，然后實(shí)現(xiàn)解題.這是參數(shù)法在數(shù)學(xué)中的基本使用方式，也是其使用的基本范疇.但是，我們知道數(shù)學(xué)是豐富多彩的，數(shù)學(xué)方法和規(guī)律涉及多個方面，運(yùn)用參數(shù)法可以實(shí)現(xiàn)對多種類型題目的破解，是各種解題技巧的源泉.比如在不等式的解決中，它就扮演了重要的角色.

二、參數(shù)法與不等式的關(guān)系

不等式作為高中數(shù)學(xué)重要的內(nèi)容，關(guān)于它的解法是多種多樣的，諸如比較法、分析法、綜合法等.這些方法都是解決不等式的有效策略，具有一定的普遍意義.不等式的證明是一個較為復(fù)雜的數(shù)學(xué)部分，在很多時(shí)候其足以構(gòu)成一個具有一定難度的數(shù)學(xué)問題，對高中學(xué)生提出了較大的挑戰(zhàn).我們通常使用的綜合法、分析法和構(gòu)造方程等解題方式在一定的范圍內(nèi)具有實(shí)效性，也有一定的普遍性，但對某些類型的問題，特別是對一些帶附加條件的不等式的推證時(shí)，這些傳統(tǒng)的方法可能就很難起到一定的效果了.但是，如果學(xué)生能夠使用參數(shù)法，則可以起到理清思路、快速解題的作用.因?yàn)?，對于帶附加條件的不等式的推證，學(xué)生面臨的問題主要是難以使已知條件和結(jié)論有效地連接起來，很難完成信息和結(jié)論的溝通工作.因此，這個時(shí)候就需要一個“中介”，用于條件信息與結(jié)論的溝通，而參數(shù)法正有中介的作用.在不等式的解題過程中，可以通過適當(dāng)引入一些參數(shù)，實(shí)現(xiàn)條件與結(jié)論的連接.因?yàn)閰?shù)的引入使得問題產(chǎn)生必要的新變量，學(xué)生可以以此作為媒介，對該不等式展開思維，進(jìn)而在這些新變量的協(xié)助下，溝通問題中的條件和結(jié)論，施以相關(guān)的數(shù)學(xué)方法，使問題得以解決.所以，在不等式的某些類型的解題中，參數(shù)與不等式是存在必然的聯(lián)系的.如果教師在教學(xué)中，能夠引導(dǎo)學(xué)生適時(shí)而合理地引用參數(shù)，就可使條件和結(jié)論的信息連通，從而在條件和結(jié)論之間架起一座促成問題解決的橋梁.

三、用引進(jìn)參數(shù)推證不等式的案例

通過上述闡述，我們知道，參數(shù)法與不等式之間存在著密切的聯(lián)系.如果運(yùn)用得當(dāng)，可以幫助學(xué)生尋找到破題的關(guān)鍵.下面筆者將通過具體案例來闡述參數(shù)法在不等式問題中的運(yùn)用.

【例】已知a≥0，b≥0，且a+b=1．求證：12≤a2+b2≤1

一般情況下，學(xué)生在觀察題設(shè)條件和結(jié)論后，都會在常規(guī)思維的驅(qū)使下，希望通過對a+b=1兩邊施以平方來尋求答案，但是在實(shí)際的運(yùn)用過程中，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)，這樣的解題思維具有一定的難度，其運(yùn)算過程也繁雜，可以說這一思維的亮光瞬間即逝.此時(shí)參數(shù)法的作用就凸顯出來了.如果能引用參數(shù)，積極地通過參數(shù)的介入，利用參數(shù)作為媒介，尋找條件與結(jié)論的關(guān)系，就能使信息條件中有效的部分與結(jié)論搭建起一個必然的聯(lián)系，這是學(xué)生處理該問題的起點(diǎn).依條件a+b=1，令a=12+t，b=12-t，則t≤12，∴t2≤14，則a2+b2=(12+t)2+(12-t)2=12+2t2≥12 ，又t2≤14，2t2≤12，則12+2t2≤1，由此可得12≤12+2t2≤1，即12≤a2+b2≤1成立.

通過這個例子，可以發(fā)現(xiàn)參數(shù)法在實(shí)際的不等式解題中有著積極的作用.現(xiàn)在的關(guān)鍵就是教師如何在教學(xué)中貫穿這思想，如何讓學(xué)生在面對這一類型的題目時(shí)，能夠轉(zhuǎn)變思維，能夠意識到參數(shù)法的重要性.

總之，參數(shù)法是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中必不可少的一種思維方法，對處理各種類型的題目有著積極的作用.高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)該做到始終貫徹、執(zhí)行到位，在日常教學(xué)中有計(jì)劃有目的地向?qū)W生滲透這一解題方式，讓學(xué)生在課堂上充分掌握，在課后的練習(xí)中積極運(yùn)用，并對自身的解題思維起到良好的完善作用.

參考文獻(xiàn)

［1］陳喜娥，程繼紅.數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透創(chuàng)造性思維訓(xùn)練的嘗試［J］.山西煤炭管理干部學(xué)院學(xué)報(bào)，2002（15）.

［2］ 丁壯雄.巧設(shè)疑問 激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣［N］.潮州日報(bào)，2008.

(責(zé)任編輯 金 鈴）

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