讓數(shù)學(xué)“冰冷的美麗”綻放“生命的火花”

數(shù)學(xué)的特點(diǎn)之一是高度的抽象性.皮亞杰也認(rèn)為：人的認(rèn)知發(fā)展是一個(gè)認(rèn)知圖式不斷重建的過(guò)程.因此，要想發(fā)展學(xué)生的抽象思維，培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力，數(shù)學(xué)教學(xué)就必須遵循人的“從具體到抽象”的認(rèn)識(shí)論的基本規(guī)律.教學(xué)中若能“將抽象的思維化為生動(dòng)的直觀”，則可使數(shù)學(xué)“冰冷的美麗”綻放“生命的火花”！

一、“將抽象的思維化為生動(dòng)的直觀”，有利于學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解和運(yùn)用，可使課堂不僅成為知識(shí)的殿堂，更是人性養(yǎng)育的圣殿

在某些課堂上，經(jīng)常看到教師以圖畫(huà)表象或語(yǔ)言表象提出問(wèn)題，讓學(xué)生稍作思考后，就很快提出概念的語(yǔ)言表述并給出抽象符號(hào).由于沒(méi)有給學(xué)生以充分的直觀、生動(dòng)的背景材料，導(dǎo)致學(xué)生頭腦中已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)與新知識(shí)之間不能進(jìn)行充分的相互作用.

【例1】 在《直線斜率和傾斜角》的教學(xué)中，已知斜率的范圍求傾斜角的范圍或已知傾斜角的范圍求斜率的范圍問(wèn)題，學(xué)生極易出錯(cuò)，以致有些學(xué)生對(duì)這類(lèi)問(wèn)題喪失信心.在此可讓學(xué)生畫(huà)出函數(shù)y=tanx，x∈［0，π2)∪(π2，π］

的圖象(如圖1)，并提出“斜率精神”：在［0，π2)內(nèi)，斜率是傾斜角的增函數(shù)，在［0，π2)內(nèi)“平步青云”，但過(guò)了π2，

就掉進(jìn)了“萬(wàn)丈深淵”，但它仍不屈不撓堅(jiān)持爬了起來(lái)，

直到恢復(fù)常態(tài).你們?cè)趯W(xué)習(xí)中不也常會(huì)由順利到挫折嗎？如何調(diào)整心態(tài)，那就學(xué)學(xué)“斜率精神”吧！學(xué)生聽(tīng)后露出了會(huì)心的微笑.這種看似平淡、枯燥的教學(xué)內(nèi)容，通過(guò)直觀的圖象、生動(dòng)的描繪，使課堂富有生命，知識(shí)富有情感，學(xué)生理解起來(lái)便會(huì)輕而易舉，記憶起來(lái)便會(huì)銘刻在心.

二、“將抽象的思維化為生動(dòng)的直觀”，可創(chuàng)設(shè)以學(xué)生為本的課堂環(huán)境，可使課堂不僅是學(xué)生生命成長(zhǎng)的地方，更是心靈對(duì)話的舞臺(tái)

“生動(dòng)的直觀”可帶給學(xué)生感官上的多種刺激，容易引起大腦的興奮.在引導(dǎo)學(xué)生對(duì)具體對(duì)象的觀察、比較時(shí)，由于教師給出了標(biāo)準(zhǔn)、范圍和參照物，為學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律鋪墊了必要的臺(tái)階，從而使學(xué)生從中體驗(yàn)到“發(fā)現(xiàn)”和“成功”的快樂(lè).

【例2】 ①已知圓周上有n個(gè)點(diǎn)，兩兩連接，除圓周上以外再無(wú)三線共點(diǎn)，每?jī)蓚€(gè)點(diǎn)連成線段，那么這些線段相交的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是多少？

②已知直線L1、L2，在L1上取m個(gè)點(diǎn)，在L2上取n個(gè)點(diǎn)，每?jī)蓚€(gè)點(diǎn)連成線段，那么這些線段在L1和L2之間的交點(diǎn)（不包括L1、L2上的點(diǎn)）最多有多少個(gè)？

③已知兩個(gè)不重合的平面M、N，在M內(nèi)取n個(gè)點(diǎn)，在N內(nèi)取n個(gè)點(diǎn)，那么由這些點(diǎn)最多可確定多少對(duì)異面直線？

這一組排列組合問(wèn)題有一定難度，解答時(shí)多數(shù)學(xué)生不重即漏，甚至束手無(wú)策.此時(shí)，如果能引入映射模型，畫(huà)出直觀圖形，學(xué)生大都能得到：平面上無(wú)三點(diǎn)共線的4個(gè)點(diǎn)構(gòu)成四邊形對(duì)角線總有一個(gè)交點(diǎn)（如圖2）；空間不共面的4個(gè)點(diǎn)構(gòu)成三棱錐三對(duì)對(duì)棱對(duì)應(yīng)三對(duì)異面直線（圖示3）：

頓時(shí)讓人覺(jué)得一目了然，豁然開(kāi)朗 ！

① 中的n個(gè)點(diǎn)可構(gòu)成C2n個(gè)四邊形，所以交點(diǎn)個(gè)數(shù)為C2n；

②中的（m+n）個(gè)點(diǎn)可構(gòu)成C2m#8226;C2n個(gè)四邊形，所以交點(diǎn)個(gè)數(shù)為C2m#8226;C2n；

③中的（m+n）個(gè)點(diǎn)可確定（C1m#8226;C3n+C2m#8226;C2n+C3m#8226;C1n

）個(gè)三棱錐，所以異面直線最多有3（C1m#8226;C3n+C2m#8226;C2n+C3m#8226;C1n）對(duì).

三、“將抽象的思維化為生動(dòng)的直觀”，有利于學(xué)生主體作用的發(fā)揮，可使課堂不僅是思維碰撞的場(chǎng)所，更是思想交融的空間

【例3】 在解決含參數(shù)的一元二次不等式的求解、一元二次方程實(shí)根分布、一元二次函數(shù)的最值等問(wèn)題時(shí)，一般思路是什么？

遇到此類(lèi)問(wèn)題，首先讓學(xué)生充分利用數(shù)形結(jié)合的思想，畫(huà)出與之相應(yīng)的一元二次函數(shù)圖象，再將抽象的符號(hào)語(yǔ)言與直觀圖形結(jié)合起來(lái)，最終實(shí)現(xiàn)抽象思維與形象思維的結(jié)合.在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生“腦中想圖形，心中裝圖形，手中畫(huà)圖形”，在解決問(wèn)題的同時(shí)感受到了成功的喜悅，極大地激發(fā)了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

四、“將抽象的思維化為生動(dòng)的直觀”，有利于對(duì)學(xué)生進(jìn)行創(chuàng)造性思維訓(xùn)練和個(gè)性品質(zhì)的優(yōu)化，可使課堂不僅是點(diǎn)燃智慧的“火把”，是師生共同探索世界的“窗口”

不少數(shù)學(xué)規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，以至數(shù)學(xué)演繹體系的建立，都離不開(kāi)歸納、類(lèi)比這兩種思維形式，它們是創(chuàng)造性思維的具體體現(xiàn).

1.通過(guò)歸納，訓(xùn)練新思維

人教版高中數(shù)學(xué)B版教材中等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、排列數(shù)公式、二項(xiàng)式定理、組合數(shù)的性質(zhì)等，都是按照從特殊到一般的認(rèn)識(shí)規(guī)律，用不完全歸納法得到的.

【例4】 從下列數(shù)列中找出它一個(gè)可能通項(xiàng).

①2，6，12，20，30，42，…；

②3，5， 9，17，33，65，….

可以用圖形，也可以用數(shù)字特征分析、歸納出結(jié)論：

①如圖4，可排成矩形數(shù)列，所以通項(xiàng)為n(n+1).

②用數(shù)字分解：

3=21+1，5=22+1，9=23+1，17=24+1，通項(xiàng)為2n+1.

2.通過(guò)類(lèi)比，學(xué)習(xí)新知識(shí)

人教版高中數(shù)學(xué)B版教材中指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)；正弦函數(shù)和余弦函數(shù)；等差數(shù)列和等比數(shù)列；橢圓和雙曲線；平面幾何與立體幾何等，它們?cè)谥T多項(xiàng)目上都是對(duì)應(yīng)相似的.

【例5】 平面的三角形與空間的四面體的類(lèi)比.

對(duì)于三角形有：

（1） 三條中線相交于一點(diǎn)，且該點(diǎn)分每條中線為2∶1；

（2） 勾股定理：c2=a2+b2；

（3）余弦定理：c2=a2+b2-2abcosC；

…

對(duì)于四面體有：

（1）四條中線相交于一點(diǎn)，且該點(diǎn)分每條中線為3∶1；

（2）勾股定理：S2=S21+S22+S23；

(3)余弦定理：

S2ω＝S2α+S2β+S2γ-2SαSβ#8226;cos〈α，β〉-

2SβSγ#8226;cos〈β，γ〉-

2SγSα#8226;cos〈γ，α〉.

（這里Sω，Sα，Sβ，Sγ分別為四面體的各個(gè)面的面積）

…

綜上所述，“將抽象的思維化為生動(dòng)的直觀”的教學(xué)，需要教師精心去設(shè)計(jì)，嚴(yán)格去遵循！只有讓學(xué)生的思維產(chǎn)生碰撞，讓學(xué)生的情感受到熏陶，讓學(xué)生的個(gè)性充分張揚(yáng)，才能讓數(shù)學(xué)“冰冷的美麗”綻放“生命的火花”！

(責(zé)任編輯 金 鈴）

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文