一題多證 開發(fā)智力 培養(yǎng)能力

選擇適當(dāng)?shù)牧?xí)題及其解法，是數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中重要的一環(huán).習(xí)題解法得當(dāng)，則事半功倍，否則收效甚微，且會(huì)挫傷學(xué)生的積極性.這里介紹一道傳統(tǒng)平面幾何題的六種證法，這些證法對(duì)鞏固初中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生綜合分析、探究、解決問題的能力，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，都有重要的作用.現(xiàn)敘述如下：

例題：如圖1，三個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形順次相接.

求證:α＋β=45°.

證法一：如圖1，連結(jié)OB、BG交OD于H， 易知∠OBG=90°，又BHBG=BHOB=12，而OAAC=12，則BHOB=OAAC=12，∴△OBH∽△CAO，∴∠1＋∠2=α.又∠3=β，故α＋β=(∠1＋∠2)＋∠3=45°.

目的：1.鞏固“遇到四邊形連對(duì)角線”的證題方法；

2.鞏固相似三角形的判定及性質(zhì).

證法二：連結(jié)OB，繞B點(diǎn)把△AOB旋轉(zhuǎn)到△KGB，則BG交OD于H，以下同證法一.

【目的】鞏固“圖形有等邊，繞點(diǎn)來旋轉(zhuǎn)”的證題方法.

證法三：如圖1，繞BK把△AOB翻轉(zhuǎn)到△CGB的位置，BG交OD于H，BG和OD互相平分，以下同證法一.

【目的】鞏固“垂線分角線，繞軸來翻轉(zhuǎn)”的證題方法.

證法四：如圖2，

圖2

連結(jié)OB，α+β=(∠3+∠2)+∠3，

但（∠1+∠2）+∠3=45°，故只要證得

∠1=∠3即可.

作BE⊥OC于E，則BE=1-EC2=1-cos2α=1-(25)2=55，OE=OB2-BE2==2-15=355 ，

∴tan∠1=13，而tan∠3=13，

∴∠1=∠3，則α+β=45°.

【目的】掌握“幾何問題三角化”的思想方法.

證法五：如圖2，過B作BF∥CO交AO于F.證β=∠4即可.

∵BF∥OC，∴∠1=∠4.又∠1=∠3. ∴∠4=∠3=β.又∠5=α， ∴α+β=∠5+∠4=45°.

【目的】鞏固兩直線平行的性質(zhì)和判定定理.

證法六：如圖2，過B作BF∥CO交AO于F.證β=∠4即可.

∵cos∠4=FB2+OB2-FO22FB#8226;OB=(52)2+(2)2-(12)2

2×52×2=31010

，

cosβ=AD2+OD2-OA22AD#8226;OD=32+10-12×3×10=31010.

又∠4，β均為銳角，故β=∠4，∴α+β=∠5+∠4=45°.

【目的】1.培養(yǎng)學(xué)生掌握“遇到角的和差，將大截小或?qū)⑿U(kuò)大”的論題方法；

2.鞏固“用余弦定理論角相等”的思想方法.

通過一題多證，培養(yǎng)學(xué)生從不同的角度去聯(lián)想，橫向溝通，多方探求，鞏固了新舊知識(shí)，又發(fā)展了學(xué)生求異發(fā)散思維和應(yīng)運(yùn)知識(shí)的能力.

(責(zé)任編輯 金 鈴）

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文