向量巧法解立體幾何中的動點問題

立體幾何是高考的必考題型，從近幾年的高考試題可以發現，立體幾何方面，有關動點問題已逐漸成為命題的熱點.但不少學生對此類問題束手無策，因為解此類韙往往需要猜測推理，尋找適合條件的點，然后證明，有一定的困難，而用空間向量運算解決就可避免以上的難點和困惑.下面就具體題例分析介紹解答動點問題的一般思路.

【例1】 (2010，全國)如圖1，四棱錐S-ABCD中，SD⊥底面ABCD，AB∥DC，AD⊥DC，AB=AD=1，DC=SD=2，E為棱SB上的一點，平面EDC⊥平面SBC .

（Ⅰ）證明：SE=2EB；

（Ⅱ）求二面角A-DE-C的大小 .

解：（Ⅰ）證明：以D為坐標原點，建立空間直角坐標系D-xyz，

如圖2，則A(1，0，0)， B(1，1，0)， C(0，2，0)， S(0，0，2).

∴SC=(0，2，-2)，BC=(-1，1，0)，

設平面SBC的法向量n=(a，b，c)，

由n⊥SC，n⊥BC，

則n#8226;SC=0，n#8226;BC=0，

∴2b-2c=0，-a+b=0.

令a=1，則b=1，c=1，∴n=(1，1，1).

又設SE=λEB(λ＞0)

，則E(λλ+1，λλ+1，2λ+1)，

則DE=(λλ+1，λλ+1，2λ+1)，DC=(0，2，0).

設平面CDE的法向量m=(x，y，z)，

由m⊥DE，m⊥DC得，m#8226;DE=0，m#8226;DC=0，

∴λxλ+1+λyλ+1+2zλ+1=0，2y=0.

令x=2，則m=(2，0，-λ).

由平面DEC⊥平面SBC，m⊥n，m#8226;n=0，λ=2，

故SE=2EB.

（Ⅱ）由(1)知E(23，23，23)，取DE中點F，則F(

13，13，13)，

FA=(23，-13，-13)

，故FA#8226;DE=0，∴FA⊥DE.

又EC=(-23，-43，-23)

，故EC#8226;DE=0，∴EC⊥DE.

向量FA與EC的夾角A-DE-C等于二面角A-DE-C的平面角，

于是cos〈FA，EC〉=-12.

∴二面角A-DE-C的平面角為120°.

【例2】 在如圖3的實驗裝置中，正方形框架的邊長都是1，且平面ABCD與平面ABEF互相垂直，活動彈子M、N分別在正方形ABCD和ABEF的對角線AC和BF上移動，且CM=BN=a(0＜a＜2).

圖3

(1) 求MN的長；

(2) a為何值時，MN的長最小？

(3) 當MN的長最小時，求面MNA與面MNB所成二面角的余弦值.

解：如圖3，以B為坐標原點，建立空間直角坐標系，

(1)M（22a，0，1-22a），N(22a，22a，0)，

∴|MN|=12a2+(1-22a)2

=

a2-2a+1.

(2)|MN|=a2-2a+1=(a-22)2+12，

∴當a=22時，|MN|的最小值為22.

(3)取MN的中點O，則O(12，14，14)，則∠AOB即為二面角的平面角θ，

∵A(1，0，0)，B(0，0，0)，

∴OA=(12，-14，

-14)，OB=(-12，-14，-14)，

|OA|=|OB|=38，

∴cosθ=OA#8226;OB|OA|#8226;|OB|=-13.

∴面MNA與MNB面所成二面角的余弦值為-13.

(責任編輯 金 鈴）

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