函數圖象的平移規律探索

蘇科版九年級（下）數學教材在講解二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的性質時，是將二次函數的解析式由簡單的y=ax2(a≠0)（頂點在原點）逐漸過渡到y=ax2+c(a≠0)（頂點在y軸）、y=a(x-h)2(a≠0)（頂點在x軸）、y=a(x-h)2+k(a≠0)（頂點式），再到一般式y=ax2+bx+c(a≠0).而前四種形式的二次函數圖象之間的聯系是通過對應的拋物線的平移來實現的：

1．將拋物線y=ax2(a≠0)沿y軸上下平移c個單位，可得拋物線y=ax2±c(c≠0)，向上平移加c，向下平移減c.

2．將拋物線y=ax2(a≠0)沿x軸左右平移h個單位，可得拋物線y=a(x±h)2(a≠0)，向左平移加h，向右平移減h.

3．將拋物線y=ax2(a≠0)沿x軸左右平移h個單位，再沿y軸上下平移k個單位，可得拋物線y=a(x±h)2±k(a≠0)，向上加k，向下減k，向左加h，向右減h.

我們將以上的平移規律用八個字來概括，即“左加右減，上加下減”.

如：將拋物線y=-2x2沿x軸向右平移3個單位，再沿y軸向下平移4個單位得拋物線y=-2(x-3)2-4；將拋物線y=3(x-1)2+2沿x軸向左平移4個單位，再沿y軸向上平移3個單位，得拋物線y=3(x-1+4)2+2+3=3(x+3)2+5.

當然有些平移在運用此規律時要注意“相對運動”.如：

【例1】 將拋物線y1沿x軸向左平移5個單位，沿y軸向下平移2個單位后得拋物線y2=-(x-1)2+3，求y1.

分析：根據“相對運動”，將拋物線y2向上平移2個單位，再向右平移5個單位后可得y1，所以y1=-(x-1-5)2+3+2=-(x-6)2+5.

【例2】 拋物線y=(x-1)2+3在直角坐標系中，現將x軸向下平移2個單位，將y軸向左平移3個單位后，求拋物線的解析式.

分析：根據“相對運動”， x軸和y軸的平移相對于拋物線來說應有如下對應關系：x軸向上平移2個單位對應為拋物線向下平移2個單位；y軸向左平移3個單位對應為拋物線向右平移3個單位，所以平移后拋物線為y=(x-1+3)2+3-2=(x+2)2+1.

如果拋物線的解析式是一般式，而非頂點式，又該如何利用此規律平移呢？

【例3】 將拋物線y=x2-2x-1沿y軸向下平移3個單位，再沿x軸向右平移4個單位，求平移后的拋物線解析式.

分析：可以選擇將y=x2-2x-1化為頂點式：y=(x-1)2-2，再應用平移規律進行平移得拋物線y=(x-1-4)2-2-3=(x-5)2-5.

但我們注意到不管是頂點式還是一般式，解析式中的x代表的都是自變量，是拋物線上點的橫坐標，而y則對應的是拋物線上點的縱坐標，所以我們對一般式y=ax2+bx+c(a≠0)同樣可以運用“左加右減，上加下減”的平移法則.如例3中，平移后拋物線為y=(x-4)2-2(x-4)-1-3=x2-10x+20=(x-5)2-5.這樣，對于二次函數一般式，應用此方法省去了轉化為頂點式時配方的繁瑣.

“左加右減，上加下減”的平移法則不僅適用于二次函數的圖象，對一次函數、反比例函數同樣適用.

如：將直線y=2x-1沿x軸向右平移3個單位，再向上平移2個單位后得直線y=2(x-3)-1+2=2x-5；將雙曲線y=-2x沿x軸向左平移1個單位，再向上平移3個單位得圖像y=-2x+1+3.當然，平移后得到的圖像已不再是反比例函數了.

(責任編輯 金 鈴）

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