加強數學意識 提高解題效益

在高三復習中常常會出現一些學生在解題時“會而不對，對而不全”的現象.為了減少這一現象的發生，在數學教學中，我在強調基礎知識的準確性、規范性的同時，加強數學意識，將數學意識滲透到具體問題之中.在對我所帶的班級進行階段性的訓練后，已初見成效，在剛剛結束的期中考試中，無論從學生的答題速度、解題思路的靈巧性，還是從學生的考試成績看，都足以說明加強數學意識的滲透是必要的、有意義的.

一、加強預測意識

古人云：“凡事預則立，不預則廢.”“預測”就是拿到題目后，不急著下筆，應看題目條件預測解題結果，看關鍵詞預測注意點.但“預測”不能漫無邊際，毫無依據，需要分析研究對象的性質、特征.

【例1】 若等差數列｛an｝的前n項的和Sn=pn2+(p+1)n+p+3，則其通項公式an= .

缺少預測極有可能產生錯解得：an=3p+4（n=4）；2pn+1（n≥2）.

從題設發現本題指出｛an｝是等差數列，根據等差數列通項的基本形式an=a1+(n-1)d知：通項公式an應當是關于n的一次函數，且對n=1時仍適用，故從形式看不應該為分段的形式.所以在an=3p+4（n=1）；2pn+1（n≥2）. （*）的基礎上需繼續解答.

令n≥2的表達式an=2pn+1中的n=1，則a1=2p+1，而事實上n=1時，a1=3p+4，所以2p+1=3p+4，解得p=-3.代入（*）式得，an=-6n+1(n≥1)為所求通項公式.

從另一角度思考：考察等差數列前n項和知Sn=na1+n(n-1)2d，Sn是關于n的常數項為零的二次函數，由已知Sn=pn2+(p+1)n+p+3得p+3=0，即p=-3.故最終通項公式為an=-6n+1.

本題是道填空題，故最理想的解題策略是抓住研究對象“等差數列｛an｝”的前n項和的性質采取第二個思考角度的做法效率較高.但若是解答題，則借助等差數列通項特點預測an應當是關于n的一次函數的形式，然后采用方法1的解題思路并將解題進行到底.

體會：解題時需要準確把握數學知識的內涵和外延，全面分析題設，加強預測，以免解題中途就此擱筆還沾沾自喜.

變式訓練1：若數列｛an｝的前n項的和Sn=n2+(p+1)n+3，則其通項公式an= .

變式訓練2：若數列｛an｝的前n項的和Sn=pn2+(p+1)n+p+3，則其通項公式an= .

二、加強數學思想意識

1．數形結合思想意識

數形結合思想在高考中占有重要的地位，通常在涉及運算對象的幾何意義及常見曲線的代數特征時，就要有數形結合的解題意識.

【例2】 拋物線C：x2=-2py(p＞0)上的動點P到直線l:3x+4y-12=0的最短距離為1，求拋物線C的方程.

錯解：設P(x，y)到直線l的距離為d，則d=|3x+4y-12|32+42=1

，由x2=-2py(p＞0)得y=-x22p，代入d得d=15|3x-2px2-12|=15|2p(x-34p)2+12-98p|，當 x=34p時，dmin=15|12-98p|.

（1）當12-98p>0時，15(12-98p)=1， 解得p=569 ，代入C的方程得x2=-1129y；

（2）當12-98p<0時，15(98p-12)=1，解得p=1369 ，代入C的方程得 x2=-2729y.

事實上，“曲線C上存在某點P到l的距離為1”與“曲線C上的動點P到l的最短距離為1”是有區別.前一種情況下曲線與直線可能相交、相切、相離；而第二種情況下曲線與直線必須相離.本題應屬于后者，需要注意隱含條件“Δ＜0 ”.

利用數形結合續解如下：

將x2=-2py與3x+4y-12=0聯立成方程組，消去y并整理得：2x2-3px+12p=0.

因為所求距離為最短距離，故拋物線與直線相離.

可知上式中Δ＜0，即：(-3p)2-4×2×12p＜0，解得0＜p＜323.

有了這個范圍限制，所以增根p=1369應舍去.所以，p=569，此時C的方程為x2=-1129y.

體會：產生增根的原因是對題意挖掘不到位.掌握題目的數形特點、能對條件或所求進行轉化和發現隱含條件是至關重要的.

2.化歸思想意識 利用轉化、化歸思想解題時，原則上應化難為易、化生為熟、化繁為簡.其中等價轉化是將抽象的轉化為具體的，未知的轉化為已知的，復雜的轉化為簡單的；不等價轉化則對原來的對象作了局部改變，需對所得結論進行完善.

【例3】已知(3x-1)n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn，試求：|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|的值.

解析：因為(3x-1)n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn，展開式中系數有正有負，

而(3x+1)n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn的展開式中各項系數均是正數，

于是|a0|+|a1|+a2|+|a3|+…+|an|=(3#8226;1+1)n=4n.

3.函數與方程思想意識函數與方程思想是最基本的一種數學思想，函數思想是將所需解決的問題借助已知函數關系式或新構造函數關系式，解決有關求值、解不等式、解方程以及討論含參數等問題；方程思想是將問題中的數量關系用數學符號建立方程模型加以解決.

【例4】 已知f(x)=4x3+bx-3x-2，且f(-3)=5，則f(3)= .

解析：設g(x)=4x3+bx-3x，顯然g(x)為奇函數，則g(-3)=-g(3)，又

f(x)=g(x)-2，于是f(3)=g(3)-2，又因為f(-3)=g(-3)-2，所以f(3)=-9.

4．分類討論思想意識 把所研究對象分各種不同的情況予以分類討論.分類的原則是依據一定的標準做到分類不重復、不遺漏.

【例5】 若函數f(x)=13(a-1)x3-12ax2+14x+5

在其定義域內有極值點，則求a的值.

解析：由題知f′(x)=(a-1)x2-ax+14的函數值有正有負.

當a-1=0時，滿足題意；當a-1≠0時，只需a2+(a-1)＞0.

解之得，a＜-1-52或a＜-1+52.

三、加強回歸課本意識

以教材為藍本，重視教材中例題、習題蘊含的基本方法和基本技巧，并適當加以延伸、拓展，不讓學生留有任何知識漏點.審題時要咬文嚼字，注意考題與課本例習題的聯系與區別.

【例6】 已知函數f(x)=x3-3x，求過點P(2，2)且與曲線相切的直線方程.

學生很容易得出錯誤答案：切線方程為y-2=9(x-2).本題與選修2-2教材P9的例1是有區別的.因為過某點作曲線的切線，此點未必為切點.

解析：設切點為(x0，x03-3x0)，則曲線的斜率k=f′(x0)=3x20-3.又切線過點A(2，2)，

所以x30-3x0-2x0-2=3x20-3，計算得x0=2或x0=-1.于是，切點為(2，2)或(-1，2).

所以，①k1=f′(2)=9 ，切線l1的方程為：y-2=9(x-2)9x-y-16=0;

②k2=f′(-1)=0 ，切線l2的方程為：y=2.

四、加強反思意識

在美國數學教育家波利亞的《怎樣解題》一書中有這樣一句話：如果沒有了反思，他們就錯過了解題的一次重要而有效益的方面.解題后要反思這道題考查了哪幾種能力，命題人的意圖是什么，聯想曾經做過的類似題目，本題易錯之處是什么，是否還有其他解法或更佳解法，能否總結解題規律和技巧，解題有何感悟等.

【例7】 求函數y=sin(-3x+π4)的單調增區間.

解析1：y=sin(-3x+π4)=-sin(3x-π4)，所以本題等價于求函數y=sin(3x-π4)的減區間，此求解過程容易出錯.不妨利用誘導公式將函數解析式進行變形，得y=sin(-3x+π4)=sin(3x+3π4)，顯然問題轉化為求y=sin(3x+3π4)的增區間，問題就迎刃而解了.

解析2 ： 借助復合函數避免化簡變形

復合函數的單調性口訣：內外函數同增異減.把握函數y=sin(-3x+π4)整體結構，則

π2-2kπ≤

-3x+π4≤

3π2-2kπ

-512π+23kπ≤x≤

-3π4+23kπ

，所以函數y=sin(-3x+π4)在區間［-5π12+23kπ，

-3π4+23kπ］（k∈Z）上單調遞增.

根據復合函數的增減性規律可以避免化簡變形，直接建立不等關系，但要注意弄清內外函數各自的單調性及不等式的運算性質等細節.解決這類問題的思想方法是整體思想，即把握函數整體結構確定恰當的內外函數，運用二重復合函數單調性規律，即便多重函數復合也要盡可能化為二重復合.在解析1后若能進行反思、探求優解，才能不錯過解題的效益.

教改大潮中為了追求高效課堂，各家課堂教學模式層出不窮.本人認為無論哪種教學模式，只有能使學生的意識提高、能力提升的課堂才能無愧于“高效課堂”.因為只有這樣學生才能舉一反三、以不變應萬變，也只有這樣才能適應學生終生發展的需要.

(責任編輯 金 鈴）

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