數學思想在一元二次方程中的應用

數學思想是數學學科的靈魂與精髓，它在學習和運用數學知識的過程中起指導作用，加強數學思想方法教學是提高邏輯思維的基礎. 若學生在解題時能充分發揮數學思想的優越性，靈活巧妙地運用數學思想方法去解題，將會起到事半功倍的作用.

在《一元二次方程》這一章里，對于ax2＋bx＋c＝0是否為一元二次方程，需要對a進行討論，涉及分類討論思想；本章是通過降冪來解一元二次方程的，體現了轉化思想；而對于用方程解決實際問題，建模是首要環節；用因式分解法解一些方程時，還會出現整體思想.

一、 分類討論思想

當研究的問題包含多種可能情況時，必須按所有可能出現的情況來分別討論，從而得出各種情況下相應的結論，這種處理問題的思想稱為分類討論思想. 它既是一種數學思想，又是一種重要的解題策略.

【例1】解方程： x2－| x－1 |－1＝0.

分析：本題是把“未知數的絕對值”去掉為出發點考慮分類解決.可以考慮在什么情況下| x－1 |分別等于x－1或－（x－1）.

解： 當x≥1時，x－1≥0，原方程可化為x2－(x－1)－1＝0，

即x2－x＝0，

解得x1＝0（舍去），x2＝1.

當x＜1時，x－1＜0，原方程可化為x2＋(x＋1)－1＝0，即 x2＋x－2＝0，

解得x1＝1(舍去) ，x2＝－2.

∴x=1或x=-2.

二、 整體思想

整體思想，就是將注意力和著眼點放在問題的整體上或把一些相互聯系的量作為整體來處理的思想. 有些一元二次方程問題，若根據其特點采用整體處理的方法，不僅能避免復雜的計算，而且能達到快速而簡捷地解決問題的目的.

【例2】 解方程

x（x－2）＋ x－2 ＝ 0.

解：因式分解，得

（x－2）（x＋1）＝ 0，

于是得

x－2＝0 或x＋1＝0，

∴x1＝2 ，x2＝－1.

點撥：在解題過程中，把（x－2）看做一個整體，作為公因式，用提取公因式法分解因式，把方程化成兩個因式的積的形式，從而把一元二次方程化為兩個一元一次方程，達到降冪的目的.

三、 轉化思想

有一些題目按照一般的解題思路去思考，往往比較繁瑣. 若根據知識間的內在聯系，把題目中的某些關系從一種形式轉化為另一種形式，問題就能比較順利地得到解決，這就是轉化思想. 它能夠幫助學生打開思路，把一個較復雜或陌生的問題轉化成較簡單或熟悉的問題.

【例3】 解方程(x2＋x)2＋(x2＋x)＝6.

分析：這個方程不是二次方程，若設x2＋x＝y，則原方程化為關于y的一元二次方程，就可以解這個一元二次方程，進一步求出未知數的值.

解： 設x2＋x＝y，則(x2＋x)2＝y2，原方程化為

y2＋y＝6.

解這個方程，得

y1＝－3 ， y2＝2.

當y1＝－3，即x2＋x＝－3時，方程無解，應舍去；

當y2＝2時，x2＋x＝2，解這個方程，得x1＝－2 ，x2＝1.

所以，原方程的解為x1＝－2 ，x2＝1.

點撥：本題給出的方程不是一元二次方程，但通過換元，可以將其轉化為關于y的一元二次方程，達到化未知為已知的目的，大大降低了題目的難度.

四、 數學建模思想

在解決實際問題時，通過對已知和未知的分析，提煉實際問題與數學知識間的聯系，轉化為相應的數學問題，從數學角度解決問題，這種思想稱為建模思想. 它可以通過化難為易、化抽象為具體地解決實際問題.

【例4】 “ 國運興衰，系于教育”.下圖給出了我國從1998～2002年每年教育經費投入的情況.

（1） 由圖可見，1998～2002年的五年內，我國教育經費投入呈現 趨勢；

（2） 根據圖中所給數據，求我國從1998年到2002年教育經費的年平均數；

（3） 如果我國的教育經費從2002年的5480億元，增加到2004年的7891億元，那么這兩年的教育經費平均年增長率為多少？（結果精確到0.01，1.440＝1.200）

解：（1）由圖可見，1998—2002年的五年內，我國教育經費投入呈現出逐年增加的趨勢；

（2）我國從1998年到2002年教育經費的平均數為：

（2949＋3349＋3849＋4638＋5480）÷5＝4053（億元）.

(3) 設從2002年到2004年這兩年的教育經費平均年增長率為x，則由題意得

5480（1＋x）2＝7891，

解之得x1≈0.2≈20%，x2≈－2.2（舍去）.

答：從2002年到2004年這兩年的教育經費平均年增長率為20%.

點撥：對于變化率問題，一般套用公式a(1±x)2＝b，注意最后應對得到的解進行驗證.

(責任編輯 金 鈴）

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