數學課堂教學是“慢”的藝術

【內容摘要】課堂是學生在教師的有效指導下學習的樂園，是學生自主探究、合作交流的場所，課堂上教師應為學生提供充分的探究、交流的時間和空間，多一些等待，學生就多一些自主探索的經歷和體會，多一些對問題的深思和熟慮；多一些等待，學生就多一些與他人交流合作的機會和體驗，多一些引起對知識的理解和提升……多一些等待，就能等出學生學習的樂趣，等出學生良好的學習方式，也必將等出課堂姍姍而來的精彩！

【關鍵詞】教學 等待 思考 交流 實踐 精彩

【案例1】今天是星期日，31000天后是星期幾？

師：（提出問題，讓學生思考片刻）

生1：31000=9500=（7+2）500，展開式最后一項為2500=（1022+2）50，其展開式最后一項為250=（1022+2）5，其展開式最后一項為25=32=28+4， ……

師：（未等學生講完）教師明白你的意思，能否有更簡單的方法？

生2：31天后是星期三，32天后是星期二，33天后是星期六，34天后是星期四，35天后是星期五，36天后是星期一，37天后是星期三……

師：（未等學生講完，顯得有點不耐煩）這種方法太繁瑣，還有更好的方法嗎？

師：31000=3·33×333=3·（28-1）333，其最后一項為3C333333（－1）333=－3，表明，從禮拜天向前推3天，就是禮拜四。

【案例2】圓C：x2+y2－4x－5=0的弦AB以點P（3，1）為中點，求直線AB的方程。

（教師讓學生思考片刻后提問）

生1：設直線AB的方程為y－1=k（x－3），代人圓的方程，利用根與系數的關系求中點的橫坐標。

師：（未等學生講完）教師明白你的意思，這樣做太繁了，能不能利用平面幾何知識求解？

生2：圓心的坐標為C（2，0），由平面幾何知識，AB⊥PC，直線PC的斜率為1，則直線AB的斜率為－1，直線AB的方程為：

y－1＝－（x－3），即x+y－4=0。

【案例3】已知f（x）= ，函數y=g（x）的圖象與y=f－1（x+1）的圖象關于直線y=x對稱，求g（11）的值。

（教師先讓學生思考，然后提問）

生1：由f（x）= ，得 f－1（x）= ，從而y=f－1（x+1） = ，由函數y=g（x）的圖象與y=f－1（x+1）的圖象關于直線y=x對稱知y=g（x）是y=f－1（x+1）的反函數，所以g（x）= ，即得 g（11）= 。

（這時思維活躍的生2舉手）

生2：由函數y=g（x）的圖象與函數y=f－1（x+1）的圖象關于直線y=x對稱，知y=g（x）與y=f－1 （x+1）互為反函數，而y=f－1（x+1）的反函數為y=f（x+1），所以g（x）=f（x+1），知g（11）=f（12）=…

（這時生2發現自己的答案與生1不同，愣住了）

師：看來你的辦法行不通。大家觀察一下，他的問題出在哪兒呀？（稍頓）y=f－1（x+1）是復合函數，是不能這樣去求反函數的，以后大家還是要按照學生1的方法去做，千萬不可跳步驟。

【評析】數學教學是數學思維活動過程的教學。德國教育家第斯多惠說：“一個壞老師奉送給學生真理，一個好老師則教學生發現真理。”荷蘭數學教育家弗賴登塔爾反復強調：學習數學的唯一正確方法是實行“再創造”，也就是由學生本人把要學的東西自己去發現或創造出來，教師的任務是引導和幫助學生去進行這種再創造，而不是把現成的知識灌輸給學生。新課程改革凸現“過程”目標，一是因為只有關注學生數學學習的過程，才能真正了解學生是怎樣學習的，是采用什么樣的學習方法或策略的。在此基礎上，教師才可以加以科學的指導，最終引導學生學會學習。二是因為讓中學生開展數學探究性學習活動，目的并非是要他們獲取重大的數學研究成果，而主要是讓學生在探究的過程中，去學習一些數學研究的方法，同時體驗自主、合作、探究等目標的內容。從這個意義上說，有時候過程比結果更重要。

數學教學是思維對話的教學。思維對話就是教師和學生圍繞課堂教學主題及其相關問題，在是什么、為什么、如何解決等方面，相互之間所進行的分析、綜合、判斷、推理等的認識活動過程及溝通過程。經過“表達——反饋——回應——反饋”這樣一個過程，使主體之間形成思維對話的循環，思維對話得以深入地進行下去。真正的思維對話強調的是內在的精神實質。這里的精神實質有兩重含義：一是思維對話必須以“我”、“你”之間有無精神上的相互交流與回應為特征；二是真正的思維對話必須體現主體平等，互相尊重，彼此評判，共享智識，講究實效等精神特質。這兩種含義構成了真正思維對話的核心，其中前者建立在后者的基礎上。它具有平等性、開放性、互動性、發展性等特征。教學是處理好“預設”與“生成”的關系問題。一方面，教學本身是一個動態的構建過程，師生雙方的智慧顯示、碰撞、融合是不能不講臨局變通的，這是實現師生交流和互動的必然，也是為學生得到富有個性的發展創造條件。另一方面，教學又是一個有計劃、有目標的活動，課前的準備必須清晰、周密，并富有理性的思考。因此，教師在進行教學預設時，要留有彈性和余地，避免在具體教學實踐中機械地演“教案劇”，要根據教學進程，不斷調整自己的教學行為，順應學生真實精彩的動態生成。所以課堂教學既需要關注“預設”，也需關注“生成”，而從“預設”到“生成”的橋梁則是“思維對話”。

教學是一種等待的藝術。所謂教學等待，是指課堂教學過程中不急于求成，對學生充滿信任與期待，留下足夠的時間和空間，讓學生進一步思考、探究、表達等，給學生“陽光”讓其“燦爛”，給學生“平臺”讓其“舒展”，讓學生自主獲取知識、探索發現，通過自覺、自省和自悟，讓學生在思索、領悟中水到渠成的豁然開朗，解決問題，最終達成目標，達到提高課堂效益的過程。因為教學內容有難易，學生的思維水平有高低，認知能力有強弱，所以課堂教學需要教學等待。教學等待是一種教學藝術，是教師教學理念的外顯，是教師對學生的尊重和理解，是教學的耐心和寬容，是教師對學生最真摯的期望，是學生積極內化知識的過程，是對育人規律的遵循，也是因材施教的應有之義。華中師大郭元祥教授在《教育是慢的藝術》一文曾精辟地說道：“教育，是一種慢的藝術。慢，需要平靜和平和；慢，需要細致和細膩；慢，更需要耐心和耐性。……教育，作為一種慢的藝術，需要留足等待的空間和時間，需要有舒緩的節奏。高頻率、快節奏、大梯度，不利于學生的有序成長和發展。”當學生需要思考、需要操作、需要交流、需要消化時，教師應該耐心地等待，讓學生有充分的時間和空間去思考、去操作、去交流、去消化，哪怕是幾秒鐘的時間，也許就能夠打開學生思維的大門，就會給學生自信和勇氣，同時也給學生挑戰自我的機會，讓學生自己創造課堂的精彩。若無視這個規律急于求成，容易拔苗助長，欲速則不達。

事實上，上述三個案例中的教師多次打斷學生的講話，不讓學生把思維過程展示出來，目的是急于“推銷”自己的想法，把學生的思維硬拉到自己預先設計的軌道。這樣做會給學生帶來的是不利的暗示：“沒考慮成熟，不能亂講”；“真沒用，怎么就想不到呢？”“既然想不出或來不及想，不如不去想”。久而久之導致學生的學習沒有主見、沒有個性、學習被動、依賴性強，不利于學生探究能力、創新能力的培養。在案例1中，如果再讓第三個、第4個學生講，或許就有更好的方法。對生2的方法，只要再作挖掘，就有新的發現。比如：3n不能被7整除問題；3n天后分別是周三、二、六、四、五、一的循環問題等等。在案例2中，教師不應該排斥生1的解法（即解析法），否則學生會產生錯覺碰到解析幾何問題就應該用幾何法，似乎解析法很繁。教師可以把兩種方法都展示出來，讓學生自己去分析、比較兩種方法的特點及繁簡程度，使學生真正領會數形結合的思想在解析幾何中的運用。在案例3中，生2的方法真的是因為跳步驟才出錯的么？非也！只是反函數求錯罷了。教師主觀地下結論：本題不能用生2的方法，人為地阻礙學生進一步探求問題的欲望，不利于學生思維的深化和發展。其次，“y=f－1（x+1）是復合函數，是不能這樣去求反函數”，那應當怎樣求？教師沒有給出下文。事實上，由y= f－1（x+1）反解得x+1=f（y），即x=f（y）－1，再字母互換得y= f（x） －1，即為其反函數。從而g（x） =f（x）－1，故g（11）= f（11）－1= 。此時可追問一句：條件f（x）= 在解題中起到了什么作用？引導學生對題目條件進行發散（如改為f（x）存在反函數且f（11） = ），在此基礎上還可以進一步激發學生探求f（x）= f[g（x）]型的反函數何時存在？如何求解？這樣處理不但有助于學生深化理解反函數的概念和求解步驟，而且有助于思維靈活性的培養，也有助于孜孜不倦的鉆研精神和創造力的培養。

（作者單位：四川省宣漢縣中小學教學研究室）