相量圖圖解法在正弦交流電路解題中的應用策略

摘 要：分析研究正弦交流電路用解析式、波形圖、相量法等常規(guī)方法有時會相當復雜或十分困難，而用相量圖圖解法分析、求解則較為方便、快捷，既直觀又可以避免繁瑣的計算，很大程度上降低了解題計算的復雜程度，提高了解題的速度和正確率，也能幫助我們深刻理解交流電路內部的各種關系和規(guī)律。

關鍵詞：相量圖圖解法 正弦交流電路 應用策略

中圖分類號：O441 文獻標識碼: A 文章編號：1674-098X(2011)12(c)-0000-00

很多正弦交流電路問題的求解使用通常的解析式法、波形圖法、相量法等較為復雜，有時也很困難。其實很多正弦交流電路的問題若用相量圖圖解法分析、求解，由于相量圖圖解法具有直觀的顯著特點，分析起來較為快捷，這樣既避免了繁瑣的運算、提高解題的速度，又可加深對正弦交流電路中的概念和規(guī)律的理解，收到事半功倍的效果。下面就討論如何應用相量圖圖解法分析、求解正弦交流電路。

1 理論基礎

1.1 相量圖的概念

按照各個正弦量的大小和相位關系用初始位置的有向線段畫出的若干個相量的圖形，稱為相量圖。也就是幾個同頻率正弦量的相量在同一個復平面上的幾何圖形，而不是在直角坐標平面上的幾何圖形，在此圖中各正弦量均用相量表示。相量圖又可分為最大值相量圖和有效值相量圖，較常用的是有效值相量圖。

1.2 相量合成的法則

在相量圖中相量合成時應遵循平行四邊形法則，即以表示正弦交流電量的兩個相量為鄰邊畫平行四邊形，則該平行四邊形中與表示正弦交流電量的兩個相量共頂點的那條對角線相量就表示它們的合相量。

1.3 基爾霍夫定律

基爾霍夫定律是電工基礎課程的基本定律之一，它是由節(jié)點電流定律（KCL）和回路電壓定律（KVL）兩部分組成，既適用于直流電路，也適用于交流電路，在正弦交流電路中，其相量形式分別為：

其中KCL既適用于節(jié)點，也能適用于實際和假想的封閉面。

三種單一元件正弦交流電路中電壓與電流的相位著關系分別是：純電阻元件端電壓與電流同相位；純電感元件端電壓超前電流90°；純電容元件端電壓滯后電流90°。此結論是在利用相量圖圖解法分析和求解各種復雜的正弦交流電路時所必須把握的要點。

2 應用技巧

2.1 認真審題

解題時要看懂題意，注意分析，理清思路，明確問題中已知條件（包括隱含條件）及其和待求問題之間的內在聯系，找出各部分電路相互聯系的紐帶，即相串聯的電路具有共同的電流，相并聯的電路具有共同的電壓。搞清采用什么方法、使用哪些理論和公式以及解題的步驟。

2.2 巧妙選擇參考相量

對于正弦交流電路而言，選擇好一個參考相量并準確地畫出電路中電壓、電流關系的相量圖對解決問題起到至關重要的作用，這也是解決問題的關鍵所在，參考相量的選擇得好壞及準確與否，將會直接影響到相量圖的直觀性和問題分析的難易程度，有時因參考相量選擇不當，甚至有可能畫不出相量圖，從而影響到習題的解答。

下面結合幾個例題簡要介紹一下在解題過程中如何選擇參考相量：

2.2.1 串聯電路參考相量的選擇

在串聯電路中，由于通過各元件的電流均相等，所以一般選擇電流相量為參考相量較為方便。

［例1］在圖（4）中（a）所示的R-C串聯電路中，已知電壓頻率是800Hz，電容是0.046 F，需要輸出電壓u2較輸入電壓u滯后30°的相位差，求電阻的數值應為多少?

【分析】

本題要求掌握R-C串聯電路中電壓相量與電流相量之間的相位關系及相量圖的畫法。

【解】：先畫出電流各元件兩端電壓的相量圖，如圖(4)中（b）所示.

因為2(或c)較滯后30°，所以端電壓和電流的相位差為：

=90°-30°=60°

由阻抗三角形可得tan=，所以有:

R==

即電路應選擇2498的電阻，就能使輸出電壓滯后于輸入電壓30°

【啟示】：從相量圖中不難看出：此電路為一種移相電路，它告訴我們如何選擇電阻的數值才能滿足實際的需要，關于其它類似的移相電路的分析和求解也可用相量圖圖解法作類似地分析和求解.

2.2.2 并聯電路參考相量的選擇

在并聯電路中，由于加在各支路兩端的電壓均相等，所以一般選擇電壓相量為參考相量較為方便。

［例2］如圖（5）中(a)所示，已知某電路中有兩個正弦量i1=3sin(ωt+)A，i2=4sin(ωt-30)A，試用相量圖圖解法求i=i1+i2

【分析】：本題目的要求掌握相量圖圖解法和相量形式的基爾霍夫節(jié)點電流定律的應用，解法較多，現用相量圖圖解法求解。

【解】：將i1、i2分別用相量表示： ；

作出相量圖，如圖（5）中（b）所示，并根據相量圖中正弦量i1、i2的幾何關

【啟示】利用相量圖圖解法分析計算同頻率正弦量之間的加、減運算，顯然能起到化隱含為淺顯的目的。

2.2.3 混聯電路參考相量的選擇

在混聯電路中，由于各元件之間的連接關系較為復雜多變，所以參考相量的選擇沒有固定的模式，一般而言選擇參考相量從局部入手，若局部有并聯部分，則選擇局部并聯部分的電壓相量作為參考相量較為方便，然后應用純電阻、純電感、純電容、或R-L串、并聯、R-C串、并聯電路中端電壓與電流的相位關系依次畫出其它部分的電壓和電流相量直至作出整個電路的總電壓和總電流相量。

［例3］在附圖（6）中，I1=10A，I2=10A ，U=200V，R=5Ω，R2=XL，試求I、XC、R2和XL的值。

【分析】：本題用解析式、相量法計算相當困難，而用相量圖圖解法分析、計算就較為簡便。

【解】：（1）作出相量圖如圖（6）中（b）所示，求出I、UL、UC的值：

電容兩端電壓C和電感性負載兩端電壓L是相等的。首先假定以L（或C）作為參考相量，而在純電容電路中i1在相位上超前C90ordm;，電感性負載中電流i2則滯后L一個角，可由下式求得：，

顯然i2在相位上滯后L45ordm;。作出它們的相量圖，如圖（b）示：

由相量圖可知，在等腰三角形中有：I=I1=10A

在純電阻電路中，R與i同相位，亦即R、L、C、是同相位，它們之間的相位差為零，因此有：UC=UL=U-IR=200-10×5=150（V）

（2）根據容抗定義求出：

這里應注意：

(3)根據電感性負載中電流與電壓之間的大小關系求出XL、R2：

［例4］在附圖（7）中，I1=I2=5A，U=50V，與i同相位，求I、R、XC和XL的值。

【分析】:本題給定的電路是一般的交流混聯電路，其解法很多，比較起來，采用相量圖圖解法求解最為簡便。據題目給定條件來看，首先假定R或C作為參考相量，然后根據純電阻、純電感、純電容元件端電壓與元件中通過的電流之間的相位關系作出它們的相量圖，結合數學知識從相量圖中得出結果。

【解】：據題設條件以或作為參考相量畫出相量圖如圖（7）中（b）所示。

由相量圖可知：，

在等腰三角形中：，所以有：

［例5］三相負載為電燈組，其中L1相和L2相所接燈數各為10盞燈，L3相所接燈數為30盞燈，每盞燈的額定電壓UN=220伏，額定功率為PN=100瓦，三相電源線電壓UL=380伏。

試求：（1）各相負載的電流和中線電流；

（2）若L1相因故短路而中線又斷開時的各相電流

【分析】：本題為三相不對稱負載作星形連接時的有關計算問題。首先應根據題意畫出其連接示意圖，因三相負載不對稱，需采用有中線的星形方式連接，因有中線，故三相負載各自獨立，因此它們的計算只需按單相電路計算即可.而兩種情況下的中線電流解法較多，相比較而言，利用相量圖圖解法最為簡便。

【解】：根據題意，三相負載不對稱，為了保證三相負載能正常工作，應采用

帶有中線的三相四線制電路，故應將三相負載作星形三相四線制連接，如圖（8）中（a）所示：

(1)欲計算各相電流，因帶有中線，中點N′電位為零，應對三相分別進行計算，然后利用電壓與電流的相量圖運用數學原理計算出中線電流。

①求相電流I1、I2、I3

三相負載不對稱作星形三相四線制連接時，因三相電源對稱，

故三相負載的相電壓均為：

每盞燈的電阻：

在實際使用時各盞燈都是并聯接入電路的，所以每相電燈的總電阻分別為：

因此三相電流分別為：

②作出電壓和電流的相量圖如圖(8)中(b)圖所示，求中線電流IN

顯而易見，中線電流可根據余弦定理求出，即

(2)若L1相因故短路而中線又斷開時，連接電路和電壓與電流相量圖分別如圖(9)中(a)、(b)圖所示。

由圖（9）中（a）可以看出：L1相短路后，負載中點N′電位與L1相線各點電位相同，此時負載的三個相電壓分別是：

負載的三相電流分別是：

而L1相中的電流I1′可從圖(9)中的圖(b)求得，由余弦定理得:

注意:L2、L3相的電燈組上所加的電壓均超過電燈的額定電壓（220伏），將導致電路產生故障，這是所不容許的！

總之，解題時具體采用哪種方法來分析，應根據具體問題而定。方法的選擇是否恰當，取決于一個人的邏輯思維、歸納推理、知識掌握的系統(tǒng)性等的綜合能力以及解決問題的經驗、熟練程度！

參考文獻

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[2] 盛志英.電工基礎教材分析和解題指導.常州技術師范學院出版.1998年月12月出版

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