遺傳算法及其在生物數學模型參數優(yōu)化中的應用

摘要：遺傳算法是近年來發(fā)展起來的智能性優(yōu)化算法。它模仿了自然界生物進化的機制，利用數學方法模擬生物的遺傳、變異、選擇等生物學規(guī)律，創(chuàng)造出了一種優(yōu)化計算方法。遺傳算法特別適合于復雜體系的優(yōu)化，并往往能夠得到很好的結果。生物數學模型是揭示復雜生物體系（或生物催化體系）內在規(guī)律的有力工具。較為復雜的生物數學模型參數的求取較為困難。本文介紹了遺傳算法原理以及利用遺傳算法優(yōu)化計算生物數學模型參數的方法。

關鍵詞：生物數學模型 遺傳算法 優(yōu)化

中圖分類號: Q815 文獻標識碼:A 文章編號:1674-098X(2011)12(c)-0000-00

1引言

生物數學模型對于生物過程的理性分析、定量化研究具有重要作用。特別是對于復雜生物系統(tǒng)而言，僅僅采用實驗的方法一般很難全面反映整個系統(tǒng)的特性，利用數學模型的方法不僅可以加深研究者對系統(tǒng)內在機理的認識，還可以通過計算機模擬的方法研究系統(tǒng)的特性，是一個有力的研究工具。使用數學模型方法需要求取模型參數。對于簡單的代數方程，如米氏方程，可以采用雙倒數作圖方法求取模型參數。對于稍復雜的代數方程，如含有抑制常數的酶反應方程 (式1)，可以首先在無抑制物I的條件下進行實驗，此時可以忽略分母中的抑制項（I2/kI），方程形式與米氏方程相同，采用求米氏方程參數的方法得到Vm和km。然后，在一定底物濃度S的反應體系中加入不同濃度的抑制劑I并測量反應速度v，將實驗數據代入式（1），利用非線性回歸，求取抑制常數kI。

（1）

對于更加復雜的數學模型，如微分方程組構成的數學模型，上述方法就無能為力了。復雜系統(tǒng)的優(yōu)化是一個較為困難的問題，數學家對此進行了大量的研究。美國學者John H. Holland在上世紀六、七十年代利用計算機模仿生物遺傳和進化過程，創(chuàng)造了一種新的優(yōu)化算法——遺傳算法（Genetic Algorithm， GA）[1]。遺傳算法從上世紀80年代開始在復雜優(yōu)化問題的求解方面得到了廣泛的應用并有出色的表現(xiàn)。本文將介紹遺傳算法原理及其在生物數學模型參數優(yōu)化中的應用。

2 遺傳算法計算原理

在生物界，遺傳、變異與自然選擇，周而復始，使生物的適應性不斷提高。遺傳使生物種群的基本屬性得到保持；變異使某些個體的個別屬性發(fā)生變化，正向變異使其性能提高，而負向變異使其性能退化；自然選擇使適者得以生存、繁殖，不適者遭到淘汰和滅絕。經過長期進化，生物種群的性能就會不斷地提高。GA模仿生物進化過程，包括繁殖、突變、染色體交叉和選擇等幾個步驟，對大量個體（染色體）進行反復地篩選，最終找到近似最優(yōu)解。基本步驟如下。

2.1 編碼和初始化

為了方便計算機處理，規(guī)定染色體（或基因）由兩種類型的堿基（以0或1表示）排列構成，其序列表示染色體型或染色體上的基因型（圖1）。假設進行參數優(yōu)化的生物數學模型由單個函數構成。該函數有a個參數s1sa，在GA中，這a個參數的0、1編碼被看作是生物染色體（或生物個體）。計算之初，首先隨機產生一個包含b個個體的生物種群（第一代），表示為g1，g2，……，gb。染色體可以包含一個基因或多個基因，在這里，染色體包含a個基因，一個基因編碼一個被優(yōu)化的參數。這樣，一個染色體就含有模型的全部參數。因此，可以用來求解模型，并對照測定值計算模型誤差。原始種群的染色體型（或基因型）由計算機隨機產生，稱為原始種群的初始化。

經過初始化的染色體具有了初始值，即該染色體的二進制數的值。該值大小稱為染色體的表型。上述0、1編碼的s屬于整數域。如果s屬于實數域，則需公式把s映射到實數域上。在程序編制過程中，染色體群體可以使用二維數組來實現(xiàn)。初始化利用隨機函數隨機產生0或1，填寫表示染色體群的二維數組。

2.2 突變

突變是以很小的概率（稱為突變率，pm）隨機地改變染色體上的一個堿基（即隨機地使編碼基因的二進制數的一個位發(fā)生從1到0或從0到1的翻轉）。突變發(fā)生在哪個染色體上以及在染色體上哪個位點都是由計算機隨機確定的。

2.3 交叉

染色體交叉也稱基因重組，是指一對染色體之間發(fā)生部分交換，產生新的染色體。染色體交叉以一定的概率發(fā)生，稱為“交叉率”（pc）。染色體上發(fā)生交叉的位點由計算機隨機產生（豎線表示交叉位點）。與突變操作相類似，利用概率發(fā)生函數，當概率大于交叉率pc時進行交叉操作。即首先利用概率發(fā)生函數在整數1~b范圍內隨機選擇配對的染色體，然后在整數1~（m-1）范圍內隨機選擇交叉發(fā)生的位置（m為二進制數編碼的染色體的位數），兩染色體的選定位置之后的部分進行互換，完成交叉操作。

2.4 解碼和適應度計算

解碼過程需要把二進制正整數轉換成十進制正整數。如果模型參數以實數表示，需要先把二進制轉換成十進制正整數，然后按照線性轉換方法映射到實數域中。

利用各染色體的基因型（即g1，g2，……，gb）和適應度函數（反比于模型預測值與試驗測定值之間的誤差平方和），可以計算各染色體的對環(huán)境的適應度。適應度為大于0的正數，誤差越大，適應度越小。適應度用來確定一個個體被遺傳到下一代的概率。求適應度函數最小值的優(yōu)化問題時，可以增加一個負號，把求函數最小值的問題轉換成求最大值的問題。

2.5 選擇和繁殖

以每個染色體的適應度作為選擇該染色體的概率，利用賭盤對每個染色體進行隨機選擇。賭盤由隨機函數控制轉動和隨機停止，選擇b次，得到b個個體。f值大（適應度高）的個體被選擇的幾率高，f值小的個體被淘汰的幾率高。被選中的染色體得以復制和繁殖，產生生物種群的第二代。第二代的最大和平均適應度一般比第一代有所提高。生物種群一代又一代地經過突變、交叉、選擇和繁殖，適應度不斷提高，最終得到近似于最優(yōu)的解。

3 遺傳算法優(yōu)化生物數學模型參數

以上介紹了由單個方程構成的生物數學模型。但復雜生物數學模型大多包含多個方程，既包含代數方程又包含微分方程。例如，酶或微生物反應動力學方程大多是代數方程，而質量平衡方程則為微分方程。以乳酸桿菌在乳酸起始濃度在0~90g/L范圍內，厭氧發(fā)酵葡萄糖產生乳酸過程為例，方程（2）、（3）分別為菌體生長比速率（micro;）和乳酸合成比速率（qP）方程，為代數方程；方程（4）~（6）為菌體（X）、乳酸（P）和葡萄糖（S）質量平衡方程，為微分方程：

上述模型參數列于表1，共有8個參數。比生長速率（方程2）包含底物抑制、產物抑制和最大菌體濃度限制。產物合成比速率包括生長相關與生長不相關兩項因素（方程3）。底物消耗包括菌體生長和產物合成對底物的消耗（方程6）。定義染色體結構為長度為80位的二進制數，包含8個基因，每個基因占10位（圖1）。一個染色體包含數學模型全部8個參數，代入數學模型能夠計算得到一組過程變量（X，S，P曲線）。根據實驗測定值可以計算出相應參數下數學模型預測值與實驗值之間的誤差平方和，進一步計算出該染色體的適應度，誤差越小適應度越高。利用遺傳算法求出使誤差平方和趨于極小值的一組參數值即為參數的優(yōu)化結果。上述計算過程完全由計算機軟件自動完成，微分方程求解采用四階龍格-庫塔法。進行軟件編程，實現(xiàn)微分方程組求解和遺傳算法之間的有機結合。遺傳算法終止運算的方式有幾種，一是設定誤差限值，當誤差小于設定限值時自動停止。這種方法有時會由于限值過低，運算難以終止。二是設定最大循環(huán)計算次數，即遺傳算法的最大傳代數，計算達到最大傳代數即停止計算。本例即采取這種方式。三是監(jiān)測誤差變化趨勢，在經過規(guī)定的傳代數之后，如果最小誤差不再下降即終止計算。

上述計算中，交叉率為0.4，突變率為0.1。交叉率和突變率的設定還是由經驗確定的。交叉率越低，收斂越快；但頻率太低也可能導致收斂于一個局部最優(yōu)解。突變率通常取較小的數值，一般為0.001~0.1。選取高的突變率可以增加個體的多樣性，但也可能引起不穩(wěn)定。但太小的突變率則可能得不到全局最優(yōu)解。上述計算中，種群數量設為30。選擇較大的初始種群數量可以在搜索空間中有更多的搜索點，因而容易找到全局最優(yōu)解；但種群數量太大增加了每次迭代運算所需的時間。由圖2可以看到，利用遺傳算法進行數學模型參數優(yōu)化得到了很好的擬合結果。

4 結語

與傳統(tǒng)優(yōu)化算法相比，遺傳算法的適用范圍更廣，被優(yōu)化函數的導數不存在的情況下也可以使用。對于十分復雜的情況，遺傳算法在性能上優(yōu)于一般的非線性回歸計算方法。在發(fā)酵工程領域，遺傳算法用于計算最優(yōu)控制軌跡或控制點[2-4]。遺傳算法在生物數學模型參數優(yōu)化中可以得到很好的結果，在生物工程領域將會得到越來越廣泛的應用。

參考文獻

[1] Goldberg D E. Genetic algorithm in search， optimization and machine learning [M]. 1989.

Addison Wesley.

[2] Shioya S. Optimization and control of bioprocesses by the genetic algorithm [J].

Bioscience and Industry， 1995， 53: 1402-1404.

[3] 王丹，高玲，林建強，曲音波，林建群，余世袁，用遺傳算法優(yōu)化流加培養(yǎng)的底物

流加軌跡[J]，應用微生物. 2002， 32(3): 40-43.

[4] Shimizu K. Knowledge based control and its applications. In: Bioprocess system

analysis method--the principle of system analysis method and its applications.

Pp 219-230. 1997. Corona Publishing Co.， Ltd.， Japan.