通過(guò)幾個(gè)典型例題解析二次函數(shù)中的“數(shù)形結(jié)合”思想方法

【摘 要】數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法在初中數(shù)學(xué)中具有相當(dāng)?shù)闹匾浴１疚耐ㄟ^(guò)對(duì)幾個(gè)典型的例子剖析來(lái)展示數(shù)形結(jié)合的思想在二次函數(shù)中對(duì)判斷參數(shù)的正負(fù)、解決方程組的問(wèn)題、比較函數(shù)值大小的問(wèn)題、推導(dǎo)二次函數(shù)平移后的方程等中的應(yīng)用。

【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合 二次函數(shù)

前言

函數(shù)向來(lái)離不開(kāi)圖像。通過(guò)函數(shù)圖像，我們可以很直觀地理解函數(shù)，從而更好地應(yīng)用函數(shù)。二次函數(shù)是初中生接觸解析幾何的開(kāi)端，它不僅在中考中占著很重要的地位，還對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)具有很重要的意義。學(xué)生在解決二次函數(shù)的問(wèn)題時(shí)往往遇到很多問(wèn)題，于是本文將介紹對(duì)于解決二次函數(shù)問(wèn)題很有啟發(fā)意義同時(shí)也是中考中經(jīng)常要考的考點(diǎn)——數(shù)形結(jié)合。

1.由圖像判斷a、b、c的正負(fù)

例1：（如圖1所示）拋物線方程為y=ax2+bx+c(a≠0)，則可以得出以下結(jié)論： a ＜0 ；b＞0；c＞0

解析：∵拋物線開(kāi)口向下，

∴a ＜0

∵拋物線頂點(diǎn)在第一象限，

∴-＞0 即＜0，

∴ b＞0

∵拋物線與y軸交于y軸的正半軸，

∴ c ＞ 0

借由拋物線的圖，我們可以清晰地知道：拋物線的開(kāi)口方向由a決定，a ＞0 則開(kāi)口向上，a ＜0則開(kāi)口向下；在判斷出了a的情況下，再借助頂點(diǎn)的位置（即頂點(diǎn)橫坐標(biāo)x=-的正負(fù)），才可判斷出b的大小。最后，在拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)中，與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，c），c的值由交點(diǎn)縱坐標(biāo)決定，因此可以判斷c的大小。

2.數(shù)形結(jié)合可以將求解方程的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為交點(diǎn)問(wèn)題，比較函數(shù)值大小的問(wèn)題

例1：關(guān)于x的一元二次方程x2－x－n=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根，則拋物線y=x2－x－n的頂點(diǎn)在()

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限

解析：本題的實(shí)質(zhì)問(wèn)題在于討論拋物線與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題。譬如求方程y=ax2+bx+x (a≠0)y=kx+b的時(shí)候，數(shù)形結(jié)合的思想就可以把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為y=x2-x-ny=0通過(guò)圖象求兩條曲線交點(diǎn)的問(wèn)題。于是題設(shè)的問(wèn)題變?yōu)榻忸}目條件給出x2－x－n=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根，則表明拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn)。a＞0，拋物線開(kāi)口向上，對(duì)稱軸（即頂點(diǎn)橫坐標(biāo)）x=-= 0.5＞0，所以拋物線的頂點(diǎn)在x軸正上方的第一象限，即答案A。

例2：已知二次函數(shù)在y=ax2+bx+c(a≠0)的圖像過(guò)點(diǎn)A（7，6），B（1，3），C(5，3)。若點(diǎn)D（-3，y1），E（-2，y2），F(xiàn)（4，y3）也在二次函數(shù)的圖像上，則y1、y2、y3的大小關(guān)系？

解析：此題的一般思路是根據(jù)A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)求得函數(shù)解析式，然后把D、E、F三點(diǎn)中的橫坐標(biāo)代入求得縱坐標(biāo)的值，從而比較y1、y2、y3的大小關(guān)系，但此過(guò)程會(huì)耗費(fèi)相當(dāng)長(zhǎng)的計(jì)算時(shí)間。如果將此題聯(lián)系函數(shù)圖像解答將會(huì)簡(jiǎn)單很多，如圖2所示。由A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)可以得到拋物線的對(duì)稱軸為直線x=3（其中B、C兩點(diǎn)為軸對(duì)稱點(diǎn)，因?yàn)樗麄兊目v坐標(biāo)值相等），且由三點(diǎn)的位置可知拋物線開(kāi)口向上，因此在對(duì)稱軸的左邊也就是x＜3時(shí)，y隨x的增大而減小，在對(duì)稱軸的右邊也就是x＞3時(shí)，y隨x的增大而增大，故y1＞y2，又因?yàn)辄c(diǎn)F（4，y3）距對(duì)稱軸x=3的距離小于點(diǎn)E（-2，y2）距對(duì)稱軸的距離，所以y1＞y2＞y3。解此類問(wèn)題除了要熟悉不同類型拋物線的頂點(diǎn)兩側(cè)函數(shù)值的變化趨勢(shì)，還要通過(guò)判斷不同X與拋物線對(duì)稱軸的距離來(lái)比較函數(shù)值的大小。

3.數(shù)形結(jié)合可以求得平移后的拋物線解析式

例1：拋物線y =8x2向左平移5個(gè)單位長(zhǎng)度，向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，問(wèn)得到的新拋物線的表達(dá)式是什么？

解：y =8（x+5）2+2

通過(guò)數(shù)形結(jié)合讓我們能很容易地得出平移的實(shí)質(zhì)就是點(diǎn)的移動(dòng)，所以能得出以下簡(jiǎn)潔的規(guī)律。所有拋物線平移的規(guī)律：左加右減，上加下減（注：左右移動(dòng)是在x的后面直接加減，上下移動(dòng)是在整個(gè)式子的后面加減）。

通過(guò)以上幾類對(duì)二次函數(shù)問(wèn)題的分析，充分展示了對(duì)于此類問(wèn)題使用數(shù)形結(jié)合的思想方法的優(yōu)越性。數(shù)形結(jié)合思想方法的重點(diǎn)在于根據(jù)問(wèn)題本身的特點(diǎn)，通過(guò)直觀的方式和圖與數(shù)間的內(nèi)在聯(lián)系來(lái)尋求解決思路，以解決問(wèn)題。教師通過(guò)在教學(xué)中滲透數(shù)形結(jié)合的方法，可以大大開(kāi)拓學(xué)生的思維，把抽象問(wèn)題直觀化，對(duì)學(xué)生實(shí)現(xiàn)舉一反三，提高學(xué)習(xí)興趣絕對(duì)是大有裨益的。希望廣大師生能夠重視這個(gè)思想方法。

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文