問題驅動式教學

【摘要】由于在高中數學《新的課程標準》的課程理念中提出高中數學教學過程中要充分的關注學生的學習過程，引導學生去探索求知。而學習過程還是一個不斷發現問題和解決問題的過程，因此在問題驅動下的教學模式便成為當下教育教學研究的熱點。所謂問題驅動式教學即是由教師創設合理的學習情境，巧設問題，營造適合學生心理體驗的氛圍，將學生自主學習和探究過程置于一個特定的情境中。以問題制造困惑，在問題的驅動下激發思考，引發學生探究的欲望和興趣，以目標導引解決困惑。

【關鍵詞】問題驅動；焦點三角形；橢圓

由于在高中數學《新的課程標準》的課程理念中提出高中數學教學過程中要充分的關注學生的學習過程，引導學生去探索求知。而學習過程還是一個不斷發現問題和解決問題的過程，因此在問題驅動下的教學模式便成為當下教育教學研究的熱點。所謂問題驅動式教學即是由教師創設合理的學習情境，巧設問題，營造適合學生心理體驗的氛圍，將學生自主學習和探究過程置于一個特定的情境中。以問題制造困惑，在問題的驅動下激發思考，引發學生探究的欲望和興趣，以目標導引解決困惑。本文就通過對《有關橢圓焦點三角形問題》的教學設計探討一下驅動式教學模式下學生的學習過程。

一、課題引入

我們在學習橢圓時經常會遇到以其焦點和曲線上的點為頂點的三角形，一般定義為焦點三角形，該三角形中的邊角關系是必須掌握的重點知識，也是高考的熱點內容之一，尤其是近幾年的出題頻率呈上升趨勢。焦點三角形雖然不是教材中明確的授課內容，但它是考察基礎知識、基本技能、基本方法和三者綜合運用能力的重要載體，它是對曲線定義更深層次的考察。焦點三角形問題實質是圓錐曲線定義的深化，所以系統的研究有關橢圓焦點三角形問題是很有必要的。

二、問題探究

設橢圓的標準方程為+=1（a>b>o），左右焦點分別為F1（-c，o）F2（c，o）其中a2=b2+c2。設橢圓上任意一點P（x0，y0）記|PF1|=m，|PF2|=n，∠F1PF2=θ

問題一 三角形PF1F2的周長是定值嗎？

由于△F1PF2的周長=|PF1|+|PF2|+|F1F2|

=2a+2c

即△F1PF2的周長是定值。

問題二 |PF1|與|PF2|有最小值嗎？

當P與A1重合時，|PF1|min=a-c

當P與A2重合時，|PF2|min=a-c

問題三 m#8226;n有最大值和最小值嗎？

∵m+n=2a ∴n=2a-m

∴m#8226;n=-m2+2am

∴m#8226;n=-（m-a）2+a2

∴a-c≤m≤a+c

∴b2≤m#8226;n≤a2

即m#8226;n有最大值為a2 m#8226;n的最小值為b2

問題四 三角形PF1F2 的面積有沒有最大值？

S△FPF=|F1F2|#8226;h

S△FPF=#8226;2c#8226;y0

S△FPF=c#8226;y0

∴當P在Y軸上時|y0|max=b

此時三角形PF1F2 面積的最大值=b#8226;c

問題五 ∠F1PF2=θ有最大值嗎？

當點P在Y軸上時，θ有最大值

問題六 若∠F1PF2=θ，三角形PF1F2面積為定值嗎？

∵m+n=2a ∴m2+n2+2mn=4a2

又∵m2+n2-2mncosθ=4c2

∴m#8226;n=

∴ =m#8226;nsinθ=

當θ為定值時，S△FPF也為定值

問題七 延長PF2交圓錐曲線于M點，連結F1M，三角形F1PM的周長是否為定值？

∵ =PF1+PF2+MF1+MF2=4a

∴三角形F1PM的周長為定值

問題八 當PF2⊥x軸時，弦長|PM|的值為多少？

當PF2⊥x軸時，P點的坐標為（c，）

∴|PM|=

三、課堂測試

1.已知F1、F2是橢圓C：+=1（a>b>0）的兩個焦點，p為橢圓C上的一點，且PF1⊥PF2。若△PF1F2的面積為9，則b=____________。

2.如果一個橢圓短軸上的一個頂點與兩個焦點構成一個正三角形，求橢圓的離心率。

問題驅動式教學的流程設計在數學教學中，學生正是通過一個一個的數學問題的提出和解決，從而認識到數學定理的發現、形成和發展過程，學會數學的思維、數學的交流、數學的推理和數學問題的解決。通過這個綜合過程，激發了學生學習的興趣，培養了學生良好的數學思想。

（作者單位：江西省寧都中學）