淺談幾何圖形計數問題

【摘要】運用首項加末項乘以項數除以二有規律的數幾何圖形。

【關鍵詞】計數；規律；線段；角；點

一、數線段

例1已知直線l上有100個點，那么直線l上共有多少條線段？

分析：因為直線l上有100個點，線段很多，如果一條一條的來數，顯然很麻煩，也容易出錯。所以我們必須退回到最簡單的情形，看能否找到規律，進而用規律解決此問題。

解：設直線l上有n個點。

當n=1時，沒有線段

當n=2時，只有1條線段，

當n=3時，第三個點與前兩個點各連接一條線段，

即增加2條線段，共有1+2條線段

歸納：當直線l上有n個點時，共有1+2+3+4+…+（n-1）條線段。

二、數角

例2以點O為公共端點的四條射線OA、OB、OC、OD組成的角（小于平角）共有多少個？五條射線呢？n條射線呢？

分析：同數線段一樣，我們要按順序，有規律的去找角。如果只有兩條射線OA、OB時，只有1個角，當出現第三條射線OC時，與OA、OB分別組成∠COA、∠COB，即增加2個角，共1+2個角。當出現第四條射線OD時，與OA、OB、OC分別組成∠DOA、∠DOB、∠DOC，即增加3個角，共1+2+3個角。當出現第五條射線時增加4個角，即1+2+3+4個角。歸納：當條射線時，共有1+2+3+4+…+（n-1）個角。

解：當n=4時，共有1+2+3=6個角。

當n=5時，共有1+2+3+4=10個角。

三、數交點

例3在同一平面內有4條直線兩兩相交，最多有多少個交點？n條直線呢？

分析：當有2條直線a1、a2時，最多有1個交點；

當第三條直線a3出現后與前兩條直線各有一個交點，最多有1+2個交點；

歸納可得，當有n條直線兩兩相交時，最多有1+2+3+…+（n-1）個交點。

解：當n=4時，最多有1+2+3=6個交點；

當n條直線兩兩相交時，最多有1+2+3+…+（n-1）個交點。

（作者單位：陜西省咸陽市楊凌高新中學）