分類例析2011年高考中的數列求和

雖然教材中只涉及兩類特殊數列，即等差數列與等比數列的前n項和，但因為數列求和問題能考查對數列的整體認識，對通項公式的理解，能夠體現等價轉化這一重要數學思想，因此，數列求和一直是高考重要考查內容之一．例如，2011年高考中，全國各省市共18份（其中江蘇文理同卷）理科試卷中，有大綱全國卷、課標全國卷、浙江卷、陜西卷、四川卷、遼寧卷、山東卷和安徽卷共8份試卷考查了數列求和問題，占比接近50%，絕對稱得上重點考查了！下面，我們就通過分類例析2011年高考中的數列求和試題，來了解高考中數列求和的一般常見考查方式和解決策略．

方法一、公式法

公式法通常是求等差數列或等比數列的前n項和問題，等差數列前n項和公式為Sn=na1+■d=■，等比數列的前n項和Sn=■=■（q≠1）．

例1.（浙江理科19題）已知公差不為0的等差數列{an}的首項a1為a（a∈R），設數列的前n項和為Sn，且■，■，■成等比數列．（1）求數列{an}的通項公式及Sn；（2）記An=■+■+■+…+■，Bn=■+■+■+…+■，當n≥2時，試比較An與Bn的大小．

解析： 由（■）2=■·■，得（a1+d）2=a1（a1+3d），因為d≠0，所以d=a1=a，于是an=na，Sn=■． 因為■=■=■（■-■），所以An=■+■+■+…+■=■（■-■）+■·（■-■）+■（■-■）+…+■（■-■）=■（1-■）；又a2n-1=a2n-1，所以■=■（■）n-1，于是Bn=■+■+■+…+■=■·

■=■[1-（■）n].（下略）

評注： 上述解析過程中在得到等差數列{an}通項后，就可以用等差數列求和公式得其前n項和Sn，又■=■（■）n-1知數列{■}是等比數列，故可以用等比數列求和公式求Bn．當然，求An時是在用下面的方法二：裂項相消法．

例2．（陜西理科19題）如圖，從點P1（0，0）作x軸的垂線交曲線y=ex于點Q1（0，1），曲線在Q1點處的切線與x軸交于點P2．再從P2作x軸的垂線交曲線于點Q2，依次重復上述過程得到一系列點：P1，Q1；P2，Q2；．．．；Pn，Qn，記Pk點的坐標為（xk，0）（k=1，2，…，n）．（1）試求xk與xk-1的關系（2≤k≤n）；（2）求P1Q1+P2Q2+P3Q3+…+PnQn．

解析： Pk-1（xk-1，0），由y′=ex得Qk-1（xk-1，■）點處切線方程為y-■=■（x-xk-1），于是，令y=0得xk=xk-1-1（2≤k≤n），因此，數列{xk}是首項為x1=0，公差為-1的等差數列，則xk=0+（k-1）（-1）=-（k-1），所以PkQk=■=e-（k-1），則數列{PkQk}是首項為P1Q1=e0=1，公比為■的等比數列，故P1Q1+P2Q2+P3Q3+…+PnQn=■=■．

評注： 本題是一道交匯導數、函數知識命制的點列問題，由xk得到PkQk后，可以知道數列{PkQk}是等比數列，因此，可以用等比數列求和公式求解P1Q1+P2Q2+P3Q3+…+PnQn的值．

另外，還有大綱全國卷文科17題：“設等比數列{an}的前n項和為Sn，已知a2=6，6a1+a3=30，求an與Sn．”也是

公式法求和，答案為an=3·2n-1，Sn=3（2n-1），或an=2·3n-1，Sn=3n-1．

方法二、裂項相消法

將通項分裂成兩項或以上的差，通過相加過程中的相互抵消，最后只剩下有限項的和．

例3． （課標全國理科17題）等比數列{an}的各項均為正數，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6．（1）求數列{an}的通項公式；（2）設bn=log3a1+log3a2+…+log3an，求數列{■}的前n項和．

解析： 根據基本量思想，解方程組可以得an=（■）n；或者由a32=9a2a6=9a42得q2=■，因為q>0，故q=■，于是2a1+3a2=2a1+3a1·■=3a1=1，得a1=■，則an=■（■）n-1=（■）n．因此，log3an=log3（■）n=-n，從而可得bn=log3a1+log3a2+…+log3an=-1-2-…-n=-■，故■=-■=-2（■-■），所以■+■+…+■=-2（■-■）-2（■-■）-…-2（■-■）-2（1-■）=-■，即數列{■}的前n項和為-■．

評注： 在求bn時在用等差數列求和公式，將■=-■化為■=-2（■-■）是裂項相消法的關鍵．

例4. （大綱全國理科20題）設數列{an}滿足a1=0且■-■=1．（1）求{an}的通項公式；（2）設bn=■，記Sn=■bk，證明：Sn<1．

解析： 由等差數列定義知數列{■}是首項為■=1，公差為1的等差數列，從而根據■=n可得an=■，于是可得bn=■=■-■，所以Sn=■bk=■-■+■-■+…+■-■=1-■<1．

評注： 將bn化為■-■是裂項相消法的模式特征．

方法三、分組求和法

一個數列雖然既不是等差數列，也不是等比數列，但若將它適當拆開分組，則可分為幾個等差數列、等比數列或常見數列，于是可以先分別求和，然后再合并求和．

例5． （山東卷理科20題）等比數列{an}中，a1，a2，a3分別是下表第一、二、三行中的某一個數，且a1，a2，a3中的任何兩個數不在下表的同一列．

（1）求數列{an}的通項公式；（2）若數列{bn}滿足：bn=an+（-1）nlnan，求數列{bn}的前n項和Sn．

解析： 因為當a1=3或a1=10時都不合題意，當a1=2時，當且僅當a2=6，a3=18時符合題意，所以公比q=3，故an=2·3n-1，因此bn=2·3n-1+（-1）ln（2·3n-1）=2·3n-1+（-1）n（ln2-ln3）+（-1）nnln3，所以Sn=2（1+3+…+3n-1）+[-1+1-1+…+（-1）n]（ln2-ln3）+[-1+2-3+…+（-1）nn]ln3，于是當n為偶數時，Sn=2×■+■ln3=3n+■ln3-1；當n為奇數時，Sn=2×■-（ln2-ln3）+（■-n）ln3=3n-■ln3-ln2-1．

綜上所述，Sn=3n+■ln3-1，n為偶數3n+■ln3-ln2-1.n為奇數

評注： 在得到bn=2·3n-1+（-1）n（ln2-ln3）+（-1）nnln3后，就可以確定應分三個數列分別求和，然后再合并求和的方法進行，當然，由于通項中含有（-1）n，因此要對n按奇數、偶數兩種情況討論．

例6．（安徽理科18題）在數1和100之間插入n個實數，使得這（n+2）個數構成遞增的等比數列，將這（n+2）個數的乘積記作Tn，再令an=lgTn，n≥1．（1）求數列{an}的通項公式；（2）設bn=tanantanan+1，求數列{bn}的前n項和Sn．

解析： 設t1，t2，…，tn+2，構成等比數列，其中t1=1，tn+2=100，則Tn=t1·t2·…·tn+1·tn+2①，Tn=tn+2·tn+1·…·t2·t1②，①×②并利用tp·tq=t1·tn+2=100（其中p+q=n+3，p，q∈N*）得Tn2=（t1tn+2）·（t2tn+1）……（tn+1t2）·（tn+2t1）=100n+2，于是Tn=10n+2，所以an=lgTn=n+2，故bn=tan（n+2）tan（n+3）．由tan1=tan[（k+1）-k]=■，得tan（k+1）tank=■-1，于是Sn=b1+b2+…+bn=tan3tan4+tan4tan5+…+tan（n+2）tan（n+3）=■-1+■-1+…+■-1=■-n．

評注： 仔細分析本題的解決可以發現不僅用到了分組求和，也用到了裂項相消思想，同時，在求Tn時還用到了倒序相乘思想．想到兩角差的正切公式變形是解題的關鍵．

此外，重慶文科16題：“設{an}是公比為正數的等比數列，a1=2，a3=a2+4．（1）求{an}的通項公式；（2）設{bn}是首項為1，公差為2的等差數列，求數列{an+bn}的前n項和Sn．”顯然是用分組求和的典型結構，答案是an=2n，Sn=2n+1+n2-2．

方法四、錯位相減法

這是在推導等比數列的前n項和公式時所用的方法，這種方法主要用于求數列{an·bn}的前n項和，其中{an}，{bn}分別是等差數列和等比數列．

例7．（四川理科20題）設d為非零實數，an=■[C1nd+2C2nd2+…+（n-1）Cn-1ndn-1+nCnndn]（n∈N*）．（1）寫出a1，a2，a3并判斷{an}是否為等比數列．若是，給出證明；若不是，說明理由．（2）設bn=ndan（n∈N*），求數列{bn}的前n項和Sn．

解析： 由an=d（d+1）n-1知bn=nd2（d+1）n-1，所以Sn=d2[1+2（d+1）+3（d+1）2+…+（n-1）（d+1）n-2+n（d+1）n-1]①，當d=-1時，Sn=d2=1，當d≠1時，①式兩邊同乘d+1得（d+1）Sn=d2[d+1+2（d+1）2+3（d+1）3+…+（n-1）（d+1）n-1+n（d+1）n]②，①－②得-dSn=d2[1+d+1+（d+1）2+（d+1）3+…+（d+1）n-1-n（d+1）n]=d2[■-n（d+1）n]=d2·[■-n（d+1）n]，化簡得Sn=（d+1）n（nd-1）+1．

評注： 當d≠-1時，{bn}是等差數列{n}乘等比數列{d2（d+1）n-1}結構，故用錯位相減法求和．

例8．（遼寧理科17題）已知等差數列{an}滿足a2=0，a6+a8=-10．（1）求數列{an}的通項公式；（2）求數列{■}的前n項和．

解析： 由基本量思想可得an=2-n，所以Sn=1·（■）0+0·（■）1+（-1）·（■）2+…+（3-n）·（■）n-2+（2-n）·（■）n-1①，①式兩邊同乘■得■Sn=1·（■）1+0·（■）2+（-1）·（■）3+…+（3-n）·（■）n-1+（2-n）·（■）n②，①－②得，■Sn=1+（-1）·（■）1+（-1）·（■）2+…+（-1）·（■）n-2+（-1）·（■）n-1-（2-n）·（■）n=1+■-（2-n）·（■）n=1+（■）n-1-1-（2-n）·（■）n=n·（■）n，故Sn=n·（■）n-1．

評注： 數列{■}是等差數列{2-n}乘等比數列{（■）n-1}的結構，故用錯位相減法求和．

通過整理，不難發現除了倒序相加法外，中學常見數列求和方法基本都考查到了．分析本文不同求和方法可以看出，數列求和方法選擇的恰當與否關鍵是根據數列中各項的特點，歸納出數列的通項，然后再根據通項公式的特征，確定數列求和的方法．

（作者單位：浙江省紹興縣越崎中學）

責任編校徐國堅

“本文中所涉及到的圖表、公式、注解等請以PDF格式閱讀”