由數列遞推關系求通項

數列回歸2011年高考解答題是今年廣東高考數學卷的一大特點．該試題為：

設b>0，數列{an}滿足a1=b，an=■（n≥2）．

（1）求數列{an}的通項公式；

（2）證明：對于一切正整數n，an≤■+1．

毫無疑問，第（1）問解決是第（2）問解決的基礎，因此，第（1）問是本題的關鍵，本文也僅就第（1）問由數列遞推關系求通項展開評析，供復習時參考．

在平時復習中考生已經熟練掌握了三大重點遞推關系求數列通項及解決策略如下：

1． an與Sn的關系an=S1，n=1Sn-Sn-1．n≥2

如果題中遞推關系是關于Sn的等式或關于 an和Sn的等式，則令等式中的n取n-1后再取得另一個等式，兩式作差結合an=Sn-Sn-1，n≥2一般就可以解決．

2． an=Aan-1+B（A≠1）

此種遞推關系通常將等式化為an+■= A（an-1+■）構造新數列為等比數列{an+■}，于是可以求出an．

3． an=■（A≠0）

此種遞推關系的解決方法是先兩邊取倒數得■=■=■+A，即■-■=A，故得一個新等差數列{■}，于是即可解決．

因此，2011年廣東高考試題是以考生比較熟悉的遞推關系為命題載體來命制試題，在試題背景上沒有難為考生，讓考生都能順利的步入“賽道”，但在兩邊取倒數得■=■=■+■（1）后就有一部分考生無法做下去了，因為（1）式還不同于類型3，需要繼續變形為■=■·■+■（2），此時，（2）式就成為類型2的遞推關系了，但如果直接按類型2做下去，就又忽略了當■=1，數列{■}為等差數列的情形，這一點也是考生很容易失分的地方，也就是說接下去應該分兩種情況討論解答：

①當■=1，即b=２時，（2）式可化為■=■+■，故數列{■}是首項為■=■=■，公差為■的等差數列，所以■=■+（n-1）·■=■，故an=2．

②當■≠1，即b≠2時，（2）式可化為■+■=■（■+■），故數列{■+■}是首項為■+■=■+■=■，公比為■的等比數列，所以■+■=■（■）n-1，解得an=■．

從上面的解答過程可以看出，實際上2011年廣東高考試題中的遞推關系不僅有類型3，而且也有類型2，因此，今后的考生應該注意，在高考中更多的數列遞推關系考查是類型3與2及類型1與2的復合體考查．

變式：設數列{an}的前n項和為Sn，b∈R，且滿足ban-2n=（b-1）Sn，求數列{an}的通項公式．

解析：因為ba1－21＝（b-1）S1，所以a1=2．

由ban-2n=（b-1）Sn（1），得ban-1-2n-1=（b-1）Sn-1（2），（1）－（2）得ban－ban-1-2n-1=（b-1）an，即an=ban-1＋2n-1，故■=■·■+■（n≥2）（*）．

①當■=1，即b=2時，（*）式化為■=■+■，故數列{■}是首項為■=1，公差為■的等差數列，所以■=1+（n-1）·■=■，得an=（n+1）·2n-1．

②當■≠1，即b≠2時，（*）式化為■+■=■（■+■），故數列{■+■}是首項為■+■=1+■，公比為■的等比數列，所以■+■=（1+■）·（■）n-1，解得an=■．

評注：從題中條件看明顯是an與Sn關系的遞推關系，因此，可以用方程組作差的方法得到（*）式，而（*）式又成為類型2的遞推關系，當然，如廣東高考試題一樣需要分兩種情況討論解決，其中①也是考生容易忽略的．

同類比較：

數列是高中數學中具有十分重要地位的內容之一，是每年高考必考的內容之一，一般在解答題中都會有考查．2011年全國各省市18份試卷中基本都有考查，其中以遞推關系為命題背景來考查的省份約占■．比較這些以遞推關系為命題背景的試題，可以發現，2011年廣東卷試題難度適中且具有較好的區分度，但缺乏一定的創新性．下面，我們再具體分析三道有一定代表性的遞推關系求數列通項的2011年新課標地區的高試考題來比較分析．

例1．（2011年大綱全國理科）設數列{an}滿足a1=0且■-■=1．（1）求{an}的通項公式；（2）設bn=■，記Sn=■bk，證明：Sn＜1．

解析：由遞推關系■-■＝１知數列{■}是首項為■=1，公差為1的等差數列，故■=1+（n-1）·1=n，故an=1-■．

評注：本題是以等差數列的定義式為遞推關系的數列題，難點是要考生能將■、■看成是數列{■}中的項，因此重在考查考生對新數列的一定認知能力．

例2．（2011年湖北理科）已知數列{an}的前n項和為Sn，且滿足：a1=a（n≠0），an+1=rSn（n∈N*，n∈R，r≠-1）．（1）求數列{an}的通項公式；（2）若存在R∈N*，使得SK+1，SK，SK+2成等差數列，試判斷：對于任意的m∈N*，且m≥2，am+1，am，am+2是否成等差數列，并證明你的結論．

解析：由遞推關系an+1=rSn，考生馬上能夠通過模式識別，知道這是平時復習中常見的數列通項與前項和之間的關系，于是不難得到下面的解法：

由an+1=rSn①，得an=rSn-1②，①－②得an+1-an=ran，即an+1=（1+r）an（n≥2），于是當r=0時，數列{an}從第二項開始是常數列，又a2=rS1=0，所以an=a，n=10，n≥2；當r≠0且r≠1時，數列{an}從第二項開始是以a2=rS1=ra為首項，1+r為公比的等比數列，因此，當n≥2時，an=ra·（1+r）n-2，所以，an=a，n=1ra·（1+r）n-2，n≥2．綜上所述，an=a，n=1ra·（1+r）n-2.n≥2

評注：考生通過數列通項與前項n和之間的關系入手解題是不難的，但在得到關系an+1=（1+r）an（n≥2）后，對r=0和r≠0且r≠1需分類討論解決是比較容易漏解的，即往往忽略前者，而且在解后者時也會漏掉r≠0，就算前面兩種情況都不出現問題，但在最后可以將兩種情況合并也是許多考生都沒有注意到的，總之，本題是“細節決定分數”的典型考題．

例3．（2011年四川理科）設d為非零實數，．an=■[C1nd+2C2nd2+…+（n-1）Cn-1n+nCnndn]（n∈N*）.（1）寫出a1，a2，a3，并判斷{an}是否為等比數列．若是，給出證明；若不是，說明理由．（2）設bn=ndan（n∈N*），求數列{bn}的前n項和Sn．

解析： 根據遞推關系可以求出a1=■·1C11d1=d，a2=■（C12d+2C22d2）=d（1+d），a3=■（C13d+2C23d2+3C33d3）=d（1+d）2，通項an顯然沒有辦法這樣求解了，但注意到a1，a2，a3實際可以看成是d乘以（1+d）0，（1+d）1，（1+d）2的展開式，所以，毫無疑問肯定會猜想an是d乘以（1+d）n-1的展開式，而（1+d）n-1=C0n-1+C1n-1d+C2n-1d2+…+Cn-1n-1dn-1，比較題中的條件，聯想到二項式性質■Ckn=Ck-1k-1，則an=■[C1nd+2C2nd2+…+（n-1）Cn-1ndn-1+nCnndn]=d[■C1n+■·C2nd1+…+■Cn-1ndn-2+■Cnndn-1]=d（C0n-1+C1n-1d1+…+Cn-2n-1dn-2+Cn-1n-1dn-1）=d（1+d）n-1．因為d≠0，所以，當d≠-1時，{an}是以d為首項，d+1為公比的等比數列；當d=-1時，a1=-1，an=0（n≥2），{an}不是等比數列．

評注：本題的遞推關系是在平時的復習中非常罕見的形式，考生在讀題時會被“完全陌生的問題背景”所嚇倒，其實，這也是對考生個性品質的考查．本題在設計中先求a1，a2，a3也是在為考生搭“腳手架”，即為數列{an}通項的求解提供解題思路．觀察、歸納能力是解本題必須的，當然知道二式項性質■Ckn=Ck-1n-1是解題的關鍵．本題通過與二項式結合命題具有較強的創新性，重在考查考生數學知識交匯運用、綜合運用的能力．

（作者單位：浙江省紹興縣越崎中學）

責任編校 徐國堅

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