尋蹤覓根 探軌開來

我省高中實行新課改后的五年高考試題中，均有一道立體幾何大題．究其原因有兩個：①依據新課程標準，遵照本年考試大綱；②符合考試大綱中的能力要求．從這五年的試題來看，有如下特點：根植基礎，應用創(chuàng)新；不斷變化，推陳出新；三視體積，位置角度；幾何坐標，考核能力．

解好一道立體幾何大題一般必需具備空間想象能力、推理論證能力、運算求解能力，還需要應用、創(chuàng)新意識．因此，著力分析近五年的高考立幾試題，追根溯源，對照反思，把握核心，揭示本質，有利于高中數學教學，提高教學效率．下面從以下幾方面來作分析．

一、尋蹤覓根

(一) 尋蹤

五年試題回放（表一）

(二) 覓根

五年試題與考試大綱的對比

⑴文、理均要求的空間想象能力

能根據條件作出正確的圖形，根據圖形想象出直觀形象；能正確地分析出圖形中基本元素及其相互關系；能對圖形進行分解、組合；會運用圖形與圖表等手段形象地解釋揭示問題的本質．

空間想象能力是對空間形式的觀察、分析、抽象的能力，主要表現為識圖、畫圖和對圖形的想象能力．識圖是指觀察研究所給圖形中幾何元素之間的相互關系；畫圖是指將文字語言和符號語言轉化為圖形語言以及對圖形添加輔助圖形或對圖形進行各種變換；對圖形的想象主要包括有圖想圖和無圖想圖兩種，是空間想象能力高層次的標志．

⑵文、理考試范圍與要求

把文、理對知識要求的三個層次了解、理解、掌握分別記為A、B、C，且看下表 (表二)

二、探軌開來

(一) 探軌

1． 近五年試題分析 (以下字母均為表二中的相關字母)

注：表示平行線分線段成比例定理與直角三角形面積．

2． 試題特點如下：

⑴立幾圖形常變常新

①在常見的圖形中加入創(chuàng)新元素（如2009理18中的正投影）；

②兩個圖形的和美疊加（如2008年文18、2009年文18）；

③二維到三維的翻折（如2007年理19）；

④兩個圖形的錯位疊加（如2010年文18、2010年理18、2011年文18）；

⑤由三視圖還原立體幾何圖形（如2007年文17）；

⑥由立體幾何圖形畫出三視圖中的某一視圖（如2009年文18(1)）.

⑵考核目標基本穩(wěn)定

以平面幾何知識為基礎，以三能兩意（即空間想象、推理論證、運算求解能力與應用、創(chuàng)新意識）為主線，考察考生解決問題的能力，文科要求相對比較基礎，而理科則多在掌握層次運作出題．試題有以下特點：

①以平面幾何知識為基礎

從這五年的試題也可以看出，解題過程中分別用到：勾股定理（或逆定理）、平行線分線段成比例定理（或逆定理）、直徑所對的圓周角是直角、1/4圓弧所對的圓心角是直角、三角形全等或相似的判定與性質、求四邊形或梯形或矩形或三角形面積的公式、平行四邊形的證明、一內角為60°的菱形性質、等腰三角形底邊上的高的性質等．比如2011年理科若對一內角為60°的菱形性質不熟悉，那么要解好這一道題就不那么容易了．

②以空間想象能力為主線

在這五年的試題中，要會作圖、識圖、畫圖、想圖．具體如下：

會作圖，如2007年文17、2009年文18、2009年理18；

會識圖，如2008年理20等；

會畫圖，如2007年文17等；

會想圖，如2010年理18、2011年理18等．

而識圖、畫圖、想圖這五年試題必有要求．

文科比理科相對更重視作圖，如由三視圖還原立體幾何圖形或由立體幾何圖形作三視圖，而理科則相對要求高些，對識圖、畫圖、想圖必需熟練掌握．

③從所要求的三個層次了解、理解、掌握來看，文科試題的重心靠前，理科試題的重心偏后．有些重點內容幾乎年年都考，比如，空間中線面平行、垂直的有關判定定理（或性質定理）．而理科對解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角的計算問題要求較多等．

⑶在解決問題的過程中，推理論證與運算求解的能力不可或缺．否則，僅有空間想象能力，就會陷入“茶壺里煮餃子，有貨倒不出”的窘景．

⑷關注立體幾何與各模塊之間的聯系，如與以下內容的聯系：

①函數（包括三角函數）與函數極值；

②導數及其應用；

③正、余弦定理；

④兩角和的三角公式；

⑤空間向量運算．

除試題中已經出現的之外，也可以與解析幾何、概率等產生聯系．

⑸解題中還需靈活運用數學思想，具有應用與創(chuàng)新意識，如表三．

⑹同年文、理試題有時相近，也有不同．由于文、理學生以后發(fā)展方向有所差異，故考試大綱要求不同．一般來講，同年文科試題都比理科試題較易，目標要求更低．

3． 感悟實踐

【練習1】 由底面全等的圓錐與圓柱重疊組成的工件，如圖所示，過軸DOO′的平面與工件的交線為五邊AA′B′BD．點C是圓錐底面圓周上的一點（不與A、B兩點重合），延長母線DC交圓柱下底面一點E，連結O′E交下底面圓周于C′，連結A′C、A′E、A′C′、BC、CC′．設OO′＝OD＝OB＝R．

（1）試棱錐E-AA′B′BD的體積的最大值；

（2）求證：平面BDC⊥平面A′CC′；

（3）若∠BOC=?茲，直線A′C與平面AA′B′BD所成的角為?漬，試求?茲與?漬的關系．

【提示】（1）2R3；（2）可證BC⊥平面A′CC′；（3）sin?漬=■．

(二)開來

回顧這五年的立體幾何試題，讓人感到既在情理之中，又在意料之外．雖然變化，卻不離其宗，即考核數學的能力不變．下面對立體幾何的第一輪復習，提供幾點參考意見：

1． 俗話說：“磨刀不誤砍柴工”，要順利解決立體幾何中的問題，首先應修補好平面幾何基礎知識，把基礎補牢．

2． 復習中要依綱靠本，打好根基．熟悉作圖、識圖、畫圖、想圖，咬定“青山”不放松．聯想探究，把握本質．

3． 立體幾何的圖形往往變化萬端，除以往高考試題中出現的以外，還要注意以下可能出現的情形：

①某種熟悉的立體幾何圖形側放、倒放；

②立體幾何圖形之間的包含（內含或外切）；

③某立體幾何圖形的伸張（三維到三維）或展平（三維變二維）；

④某一幾何元素運動時求（或證）另一幾何特性（或數值），等．

要樂意接受各種創(chuàng)新的立體幾何圖形，要知道不管出現什么圖形，其根本目的是考查立體幾何中線線、線面、面面關系中所蘊涵的數學能力．能經受不同立體幾何圖形的考驗．

4． 理科考生解答立體幾何問題，是選擇幾何法，還是坐標法．從這五年的試題特點來看，高考試題命制者更看重立體幾何中所蘊含的演繹推理能力，用幾何法完成求解過程一般都較簡捷，而坐標法多數建系不易，且坐標運算費時，故建議優(yōu)先選擇幾何法．當然，最終選擇什么還是要根據考生自己的解題習慣來定．

三、實踐感悟

當你感受了這五年的命題軌跡，是否把握立體幾何這一章的復習了？接下來再給一道練習試試．

【練習2】 如圖，AB為圓O的直徑，點E、F在圓O上，AB∥EF，矩形ABCD和圓O所在的平面互相垂直.已知AB=2．設EF=m，AD=n．

(1)求證：平面DAF⊥平面CBF；

(2)若m=1，試求直線AB與平面CBF所成角的大小；

(3)（理科生做）若二面角D-FE-B的大小為60°，試求點(m，n)的軌跡方程．

【提示】(1)AF⊥平面CBF；(2) 30°；(3)■+■=1(0

愿你在立體幾何的復習中能咬住核心內容，根植課本，緊扣考綱，通過不斷練習來檢驗自己，以提高學習效率．最后，以鄭板橋這首詩來結束全文：“咬定青山不放松，立根原在破巖中．千磨萬擊還堅勁，任爾東西南北風．”

（作者單位：江門市新會華僑中學）

責任編校徐國堅

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